1、绝密 启用前 江苏省苏北四市 2019 2020 学年度第一学期期末考试试卷 高 三 数 学 2020.01 参考公式： (1) 样本数据 x1,x2, ,xn的差 s2= 1 n n i=1 (xix)2，其中 x = 1 n n i=1 xi (2) 直棱柱的侧面积 S = ch，其中 c 为底面周长，h 为 (3) 棱柱的体积 V = Sh，其中 S 为底面积，h 为 一. 填空题（本题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分) 1. 已知集合 A = x | 0 0) 的右顶点为 A, 过点 A 作直线 l 与圆 O : x2+y2= b2相切，与椭圆C 交于另一点 P，与右准线
2、交 于点 Q. 设直线 l 的斜率为 k. O x y A P Q (1) 用 k 表示椭圆 C 的离心率； (2) 若 # OP # OQ = 0, 求椭圆C 的离心率. 2020 届考研究系列试卷第 1 页 (共 2 页) 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x) = (a 1 x )lnx(a R). (1) 若曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1) 处的切线方程为 x+y1 = 0，求实数 a 的值； (2) 若 f(x) 的导函数 f(x) 存在两个不相等的零点，求实数 a 的取值范围； (3) 当 a = 2 时，是否存在整数，使得关于 x 的不等式 f(x)
3、恒成立？若存 在，求出的最大值；若不存在，说明理由. 20. (本小题满分 14 分) 已知数列 an 的首项 a1= 3，对任意的 n N, 都有 an+1= kan1(k = 0)，数 列 an1 是公比不为 1 的等比数列. (1) 求实数 k 的值； (2) 设 bn= 4n,n为奇数 an1,n为偶数 ，数列 bn 的前 n 项和为 Sn，求所有正整数 m 的值，使得 S2m S2m1 恰好为数列 bn 中的项. Page 2 数学试卷答案 第 1 页(共 2 页) 四市四市 20192020 学年度高三第一次调研测试学年度高三第一次调研测试 数学数学 I 参考答案与评分标准参考答案
4、与评分标准 一、填空题： 112xx 22i 3 4 5 420 54,+ ) 6 1 2 74 8 1 4 9135 10 3 2 11 22 (2)8xy 123 13 4 7 14 3 4 二、解答题： 15 （1）在PBC中，因为 M，N 分别为棱 PB，PC 的中点， 所以 MN/ BC 3 分 又 MN平面 AMN，BC平面 AMN， 所以 BC/平面 AMN6 分 （2）在PAB中，因为APAB，M 为棱 PB 的中点， 所以AMPB8 分 又因为平面 PAB平面 PBC，平面 PAB平面 PBCPB，AM 平面 PAB， 所以AM 平面 PBC12 分 又AM 平面 AMN，所
5、以平面 AMN平面 PBC 14 分 16 （1）在中，由余弦定理 222 2cosbcbcAa得， 2 5 2022 525 5 bb，即 2 450bb， 4 分 解得5b 或1b （舍） ，所以5b 6 分 （2）由 5 cos 5 A 及0A 得， 22 52 5 sin1cos1() 55 AA，8 分 所以 210 coscos()cos()(cossin) 4210 CABAAA ， 又因为0C ，所以 22 103 10 sin1cos1() 1010 CC， 从而 3 10 sin10 tan3 cos 10 10 C C C ，12 分 所以 22 2tan233 tan2
6、 1tan134 C C C 14 分 17 （1）在SAO中， 2222 534SOSAAO ， 2 分 由 1 SNO SAO可知， 1 SOr SOR ，所以 1 4 3 SOr，4 分 所以 1 4 4 3 OOr，所以 223 144 ( )(4)(3),03 339 V rrrrrr7 分 （2）由（1）得 23 4 ( )(3),03 9 V rrrr， 所以 2 4 ( )(63) 9 V rrr，令( )0V r ，得2r ，9 分 当 (0,2)r 时，( )0V r ，所以 ( )V r 在(0,2)上单调递增； 当 (2,3)r 时，( )0V r ，所以 ( )V r
7、 在(2,3)上单调递减 所以当2r 时， ( )V r 取得最大值 16 (2) 9 V 答：小圆锥的体积V的最大值为 16 9 14 分 18 （1）直线 l 的方程为)(axky，即0akykx， 因为直线 l 与圆 222 byxO：相切，所以b k ak 1 2 ，故 22 2 2 ba b k 所以椭圆C的离心率 2 22 1 1 1 b e ak 4 分 （2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为 2 a x c ， 由 c a x axky 2 )( 得 c aca ka c a ky 22 )(，所以) )( ,( 22 c acak c a Q ，6 分 由 )( 1 2
8、2 2 2 axky b y a x 得02)( 2224232222 bakaxkaxkab， 解得 222 223 kab abka xp ，则 222 2 222 223 2 )( kab kab a kab abka kyp ， 所以) 2- 222 2 222 223 kab kab kab abka P ，（，10 分 因为0OQOP，所以0 2)( 222 22 222 2232 kab kab c acak kab abka c a ， 即)(2)( 22222 cakbbkaa，12 分 由（1）知， 22 2 2 ba b k ，所以 22 4 2 22 22 )(2 )(
9、 ba cab b ba ba a ， 所以caa22 ，即ca2，所以 2 1 a c ，故椭圆C的离心率为 2 1 16 分 19 （1） 2 11 1 ( )lnfxxa x x x ， 因为曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为10xy ， 所以(1)11fa ，得0a 2 分 （2）因为 2 1ln ( ) axx fx x 存在两个不相等的零点 所以( )1lng xaxx 存在两个不相等的零点，则 1 ( )g xa x 当0a时，( )0g x，所以( )g x单调递增，至多有一个零点4 分 当0a 时，因为当 1 (0)x a ，时，( )0g x，( )g x单
10、调递增， 当 1 (+ )x a ，时，( )0g x，( )g x单调递减， 所以 1 x a 时， max 11 ( )()ln()2g xg aa 6 分 因为( )g x存在两个零点，所以 1 ln()20 a ，解得 2 e0a 7 分 因为 2 e0a ，所以 21 e1 a 因为(1)10ga ，所以( )g x在 1 (0) a ，上存在一个零点 8 分 因为 2 e0a ，所以 211 () aa 因为 22111 () ln()1g aaa ，设 1 t a ，则 2 2ln1(e )yttt ， ABC A P N M C B 数学试卷答案 第 2 页(共 2 页) 因为
11、 2 0 t y t ，所以 2 2ln1(e )yttt 单调递减， 所以 222 2ln ee13e0y ，所以 22111 () ln()10g aaa ， 所以( )g x在 1 () a ，上存在一个零点 综上可知，实数a的取值范围为 2 ( e ,0) 10 分 （3）当2a 时， 1 ( )(2)lnf xx x ， 22 11 121ln ( )ln2 xx fxx x x xx ， 设( )21lng xxx ，则 1 ( )20g x x 所以( )g x单调递增， 且 11 ( )ln0 22 g，(1)10g，所以存在 0 1 (1) 2 x ，使得 0 ()0g x，
12、12 分 因为当 0 (0)xx，时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x单调递减； 当 0 (+ )xx，时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x单调递增， 所以 0 xx时，( )f x取得极小值，也是最小值， 此时 0000 000 111 ()(2)ln(2) 12(4)4f xxxx xxx ，14 分 因为 0 1 (1) 2 x ，所以 0 ()( 1 0)f x ， 因为( )f x，且为整数，所以1，即的最大值为116 分 20 （1）由 1 1 nn aka ， 1 3a 可知， 2 31ak， 2 3 31akk， 因为1 n a 为等比数列，
13、所以 2 213 (1)(1)(1)aaa， 即 22 (32)2(32)kkk，即 2 31080kk，解得2k 或 4 3 k ，2 分 当 4 3 k 时， 1 4 3(3) 3 nn aa ，所以3 n a ，则12 n a ， 所以数列1 n a 的公比为 1，不符合题意； 当2k 时， 1 12(1) nn aa ，所以数列1 n a 的公比 1 1 2 1 n n a q a ， 所以实数k的值为2 4 分 （2）由（1）知12n n a ，所以 4 n n nn b n 为奇数, 为偶数, 则 2 2 (41)4(43)44(21)4m m Sm 2 (41)(43)4(21)
14、444mm 1 44 (4) 3 m mm ，6 分 则 2122 44 (4) 3 m mmm SSbmm ， 因为 22+1 324m mm bbm，又 222+322+1 ()()3420 m mmmm bbbb ， 且 23 50bb， 1 30b ，所以 21 0 m S ，则 2 0 m S， 设 2 21 0, m t m S bt S * N，8 分 则1,3t 或t为偶数，因为 3 1b 不可能，所以1t 或t为偶数， 当 2 1 21 = m m S b S 时， 1 44 (4) 3 3 44 (4) 3 m m mm mm ，化简得 2 624844 m mm ， 即
15、2 42mm0，所以m可取值为 1，2，3， 验证 624 135 787 ,3, 323 SSS SSS 得，当2m 时， 4 1 3 S b S 成立12 分 当t为偶数时， 1 2 2 21 44 (4) 33 1 443124 (4)1 3 4 m m m m m mm S S mm mm ， 设 2 3124 4 m m mm c ，则 2 1 1 94221 4 mm m mm cc ， 由知3m ，当4m 时， 54 5 3 0 4 cc ； 当4m 时， 1 0 mm cc ，所以 456 ccc，所以 m c的最小值为 5 19 1024 c ， 所以 2 21 3 015 19 1 1024 m m S S ，令 2 2 21 4 m m S b S ，则 2 3 14 3124 1 4m mm ， 即 2 31240mm，无整数解 综上，正整数 m 的值216 分
