1、绝密 启用前 江苏省无锡市 2019 2020 学年度第一学期期末考试试卷 高 三 数 学 2020.01 一. 填空题（本题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分) 1. 集合 A = x | x = 2k1,k Z,B = 1,2,3,4, 则 AB =. 2. 已知复数 z = a+bi(a,b R), 且满足 iz = 9+i(其中 i 为虚数单位), 则 a+b =. 3. 某校高二 (4) 班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有 7 人用时为 6 分钟，有 14 人用时为 7 分钟，有 15 人 用时为 8 分钟，还有 4 人用时为 10 分钟，则高二 (4) 班全体同学中午
2、用餐平均用时为. A BC D E A1 B1C1 D1 第7题图 开始 结束 S1,n1 SS+ 2 n n+1 log nn+1 S-1 Y 输出 n 第8题图 4. 函数 f(x) = (a1)x3(a 1,a = 2) 过定点. 5. 等差数列 an(公差不为 0), 其中 a1,a2,a6成等比数列，则这个等比数列的公 比为. 6. 小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道做答， 小李会其中的三道题，则抽到的 2 道题小李都会的概率为. 7. 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB = 1,AD = 2,AA1 = 1,E 为 BC 的中点， 则点 A
3、 到平面 A1DE 的距离是. 8. 如图所示的流程图中，输出 n 的值为. 9. 圆C : (x+1)2+(y2)2= 4 关于直线 y = 2x1 的对称圆的方程为. 10. 正方形 ABCD 的边长为 2, 圆 O 内切于正方形 ABCD,MN 为圆 O 的一条动 直径，点 P 为正方形 ABCD 边界上任一点，则 # PM # PN 的取值范围是. 11. 双曲线C : x2 4 y2 3 = 1 的左右顶点为 A,B, 以 AB 为直径作圆 O, P 为双曲线右 支上不同于顶点 B 的任一点，连接 PA 交圆 O 于点 Q, 设直线 PB,QB 的斜率分 别为 k1,k2, 若 k1
4、=k2, 则=. 12. 对于任意的正数 a,b, 不等式 (2ab+a2)k 4b2+4ab+3a2恒成立，则 k 的最大 值为. 13. 在 RtABC 中，C 为直角，BAC 45, 点 D 在线段 BC 上，且CD = 1 3CB, 若 tanDAB = 1 2, 则 BAC 的正 切值为. 14. 函数 f(x) = ? ?x21?+x2+kx+9 在区间 (0,3) 内有且仅有两个零点，则实数 k 的取值范围是 . 二. 解答题（本题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题满分 14 分) 在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为
5、 a,b,c, 向量 m m m = (2a 3b,3c), 向量 n n n = (cosB,cosC)且m m m n n n. (1) 求角 C 的大小； (2) 求 y = sinA+ 3sin(B 3 ) 的最大值. 2020 届考研究系列试卷第 1 页 (共 4 页) 16. (本小题满分 14 分) A B C D E O P 在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 是平行四边形，O 为其中心， PAD 为锐角三角形， 且平面 PAD底面ABCD,E 为 PD 的中点， CDDP. (1) 求证：OE平面PAB; (2) 求证：CDPA. 17. (本小题满分 14 分)
6、 O x y F1F2 P Q M R 已知椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1、F2, 焦距为 4, 且椭圆过点 ( 2, 5 2 ) , 过点 F2且不平行于坐标轴的直线 l 交椭圆于 P,Q 两 点，点 Q 关于 x 轴的对称点为 R, 直线 PR 交 x 轴于点 M. (1) 求 PF1Q 的周长； (2) 求 PF1M 面积的最大值. 2020 届考研究系列试卷第 2 页 (共 4 页) A B CD MN PQ 44 b b 18. (本小题满分 14 分) 一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形 MNPQ 的室内发酵 馆，
7、发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形 ABCD(如图所 示), 其中 AD AB. 结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为 450 米 3, 深 2 米. 若池底和池壁每平方米的造价分别为 200 元和 150 元，发 酵池造价总费用不超过 65400 元. (1) 求发酵池 AD 边长的范围； (2) 在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为 4 米和 b 米的走 道 (b 为常数). 问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积 最小. 19. (本小题满分 14 分) 已知 an,bn 均为正项数列，其前 n 项和分别为 Sn,Tn, 且 a1= 1 2,b1 = 1
8、,b2= 2, 当 n 2,n N时， Sn1= 12an,bn= 2(T2 n T2 n1) bn+1+bn1 2Tn1. (1) 求数列 an,bn 的通项公式； (2) 设 cn= (bn+2)an b2 n+bn , 求数列 cn 的前 n 项和 Pn. 2020 届考研究系列试卷第 3 页 (共 4 页) 20. (本小题满分 14 分) 设函数 f(x) = lnxax,a R,a = 0. (1) 求函数 y = f(x) 的单调区间； (2) 若函数 y = f(x) 有两个零点 x1,x2(x1 x2). 1求实数 a 的取值范围； 2求证：x1x2随着 x2 x1 的增大而
9、增大. 2020 届考研究系列试卷第 4 页 (共 4 页) 江苏省无锡市 2019 2020 学年度第一学期期末考试试卷 高三数学非官方参考答案 2020.01 一. 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 1,3;2. 8;3. 7.5;4. (0,2); 5. 4;6. 1 2; 7. 6 3 ;8. 4; 9. (x3)2+y2= 4;10. 0,1;11. 3 4; 12. 22; 13. 3 ；14. ( 26 3 8)； 二. 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。请在答题卡指定区内作容解容答时应写出文字说明、证
10、明过程或 演算步骤. 15. 解：(1) 6 (2) A = 6 时，y取得最大值 2 16. 解：(1) OEPB(三角形中位线) (2) 在平面 PAD 中作 PHAD(面面垂直性质定理) 17. 解：(1) 4a = 12 (2) 当且仅当 P 在短轴顶点处时，PF1M 面积取最大值 135 4 . (此题和本公众号刊发的宿迁中学全真模拟 17 题同题) 18. 解：(1) AD 15,25 (2) 当 b ( 0, 36 25 时，AD = 25,AB = 9 米时，发酵馆的占地面积最小; 当 b (36 25,4 ) 时， AD = 30b b ,AB = 15b 2 米时，发酵馆的占地面积最小; 当 b 4,+) 时，AB = AD = 15 米 时，发酵館的古地面积最小. 19. 解：(1) an= (1 2 )n ,bn= n(n N) (2) cn= 1 n2n1 1 (n+1)2n ,Pn= 1 1 (n+1)2n (n N) 20. 解：(1) 增区间为 ( 0, 1 a ) ，减区间为 (1 a,+ ) (2) 1a ( 0, 1 e ) 2参考去年无锡期末卷极值点偏移做法。 2020 届考研究系列试卷第 5 页 (共 4 页)
