1、绝密 启用前 江苏省扬州市 2019 2020 学年度第一学期期末考试试卷 高 三 数 学 2020.01 一. 填空题（本题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分) 1. 已知集合 A = 1,k2, 集合 B = 2,4，且 AB = 2, 则实数 k 的值为. 2. 设 (1+3i)2= a+bi(i 为虚数单位)，则 a+b =. 3. 用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为 90 的样本。在高一抽 40 人，高二抽 30 人，若高三有 400 人，则该校共有人. 4. 右图是一个算法流程图，如输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为. 5. 已知 a R, 则“a
2、= 0”是“f(x) = 2x(a+sinx)”为偶函数的条件. 6. 若一组样本数据 21,19,x,20,18 的平均数为 20, 则该组样本数据的方差为. 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，顶点在原点且以双曲线 x2 y2 3 = 1 的右准线为准线的抛物 线方程是. 8. 已知 = (x,y)|x+y 0,y 0,A = (x,y)|x 0,xy 0，若向区域 上 随机投掷一点 P，则点 P 落在区域 A 的概率为. 9. 等差数列 an 的公差不为零，a1= 1,a2是 a1和 a5的等比中项，则 a1+a5+a9 a2+a4+a6 =. 10. 已知定义在 （0,+） 上的函数y
3、= f(x)的导函数为 f(x),且xf(x)+ f(x) f(3) 的解集为. 11. 已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，圆台的高为 23 cm，母线与轴的夹角为 30，则这个圆台的轴截面的面积等于cm3. 12. 已知函数 f(x) = 1 2x+ 3 2, x 1 lnx,x 1 , 若存在实数 m,n(m b 0) 的离心率为 1 2，右准线的方程为 x = 4，F1,F2 分别为 椭圆C 的左、右焦点，A,B 分别为椭圆 C 的左右顶点. (1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 过 T(t,0)(t a) 作斜率为 k(k 1) 的有穷正项数列 an，记 bk= mi
4、na1,a2, ,ak(k = 1,2, ,m)， 即 bk为 a1,a2, ,ak中的最小值，设由 b1,b2, ,bm组成数列 bn 称为 an 的“新型数列”. (1) 若数列 an 为 2019,2020,2019,2018,2017，请写出 an 的“新型数列”bn 的所有项； (2) 若数列an满足an= (1 2 )n10 ,n 6, 22n,n 7, 且其对应的 “新型数列” bn的项数m21,30， 求 bn 的所有项的和； (3) 若数列 an 的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的 an 及其对应 的“新型数列”bn. 2020 届考研究系列试卷第 4 页
5、 (共 4 页) 数学参考答案第 1 页（共 9 页） 扬州市 20192020 学年度第一学期期末检测试题 高三数学参考答案高三数学参考答案 一、一、 填空题：填空题： 1. 4 2. 2 3. 1800 4. 35 5. 充要 6. 2 7. 2 2yx 8. 1 4 9. 9 7 10. 14xx 11. 8 3 12. 2 5,21e 13. 21 2 14.52, 52 二、解答题：二、解答题： 15解：(1) ( )3sin2f xxcos22sin(2) 6 xx ， 3 分 函数sinyx的单 调递增区间为2,2 22 kk ，kZ. 令22,2 622 xkk ，, 36 x
6、kk . ( )f x的单调递增区间为, 36 kk ，kZ. 7 分 (2) 3 ( )2sin(2) 62 f ， 3 sin(2) 64 . (0,) 6 ，2, 66 2 ， 22 37 cos(2)1sin (2)1( ) 6644 ， 9 分 sin2sin 2sin(2)coscos(2)sin 666666 337 13 37 42428 . 14 分 16.(1) 因为ABC是以BC为底边的等腰三角形，M是BC的中点， 所以AMBC. 因为EB 平面ABC，AM 平面ABC，所以EBAM. 又BC、EB 平面EBC，EBBCB，所以AM 平面EBC. 6 分 (2)证法一：如
7、图 16-1，连结BN并延长，交AD的延长线于I，连结IC. 因为EB 平面ABC，DA平面ABC， 所以EBDA，所以 ENBN NDNI ，9 分 又N为ED的中点，所以BNNI，即N为BI的中点. 又M是BC的中点，所以在BCI中，MNCI.11 分 又MN 平面DAC，CI 平面DAC，所以MN平面DAC. 14 分 数学参考答案第 2 页（共 9 页） 图 16-1 图 16-2 图 16-3 证法二：如图 16-2，因为EB 平面ABC，DA平面ABC，所以EBDA， 所以, , ,A B E D四点共面. 在平面ABED中，分别过,E N作EPBA，NQBA，分别交AD于,P Q
8、. 取AC的中点O，连结,MO OQ. 因为EPBA，EBPA，所以四边形ABEP为平行四边形，所以EP BA. 上面三行也可以叙述为： 在AD上取一点P，使APBE. 在平面ABED中，过N作NQBA，交AD于Q. 取AC的中点O，连结,MO OQ. 因为EBDA，APBE，所以四边形ABEP为平行四边形. 所以EP BA. 因为EPBA，NQBA，所以NQEP， 又N是ED的中点，所以 1 2 NQEP，所以 1 2 NQBA. 因为,M O分别为,BC CA的中点，所以在ABC中， 1 2 MOBA. 所以MO NQ，所以四边形MOQN为平行四边形，所以MNOQ， 又MN 平面DAC，O
9、Q 平面DAC，所以MN平面DAC. 14 分 法三：如图 16-3，取AB的中点H，连结MH、NH. 在ABC中，因为,M H分别为,BC BA的中点，所以MHBA. 又MH 平面DAC，BA平面DAC，所以MH平面DAC.9 分 因为EB 平面ABC，DA平面ABC， 所以EBDA，又EBDA，所以四边形ADEB为梯形. 又,N H分别为,ED BA的中点，所以NHDA. 又NH 平面DAC，DA平面DAC，所以NH平面DAC. 因为,NH MH 平面NHM，NHMHH，所以平面NHM平面DAC，11 分 又MN 平面NHM，所以MN平面DAC.14 分 17解：(1) 因为 3 AOB
10、，OCOB，所以 6 AOC . I N E C B A M D O P Q N E C B A M D H N E C B A M D 数学参考答案第 3 页（共 9 页） 又ABC中， sinsinsin APAOOP AOPAPOOAP ， 所以 sin1 sin2sin AOAOP AP APO sin sin3sincos6 sinsin2sin AOOAP OP APO 4 分 所以 f 3sincos3sincos6 22 2sin2sin2sin a aa 3sincos63 32cos 33 2sin2sin22sin aa aa ， 7 612 .7 分 (2) 2 22
11、sincos2cos12cos 33 2sin2sin faa ， 由 0f得 1 cos 2 ，又 7 612 ，所以 3 9 分 当 63 时， 0f， f在, 6 3 上单调递减 当 7 312 时， 0f， f在 7 , 3 12 上单调递增 所以当 3 时， f取最小值此时 3 3 OP 13 分 答：当点P距离O处 3 3 千米时，总费用的最小 14 分 18(1) 因为椭圆C的离心率为 1 2 ，所以 1 2 c a . 因为椭圆C的右准线的方程为4x ，所以 2 4 a c . 解之得2a ，1c ，所以 2 4a ， 222 3bac. 所以椭圆C的标准方程为 22 1 43
12、 xy . 4 分 (2) 设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy. 因为过( ,0)()T tta作斜率为k(0)k 的直线l交椭圆C于,M N两点， 所以:()l yk xt. 由 22 (), 3412 yk xt xy 得 2222 2 (34)84120kxk txk t， 所以 2 12 2 2 2 12 2 8 , 34 412. 34 k t xx k k t x x k 6 分 因为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F，所以 111 (1,)FMxy， 222 (1,)F Nxy. 因为 12 FMF N，所以 1221 (1)(1)xyxy，即 1221
13、 (1)()(1)()k xxtk xxt， 数学参考答案第 4 页（共 9 页） 整理得 2112 ()()2t xxxxt，所以 2 12 21 22 86 22 3434 xxk xx tkk ， 又 22 122112 ()()4xxxxx x， 所以 22 2 22 222 86412 ()()4 343434 k tk t kkk ， 即 4 22 22 64364 4(3)(34)k tk tk，即 4 22 22 1694(3)(34)k tk tk， 整理得 22 4(4)9kt (*).10 分 因为直线AM，BN的斜率分别为 12 ,k k，且( 2,0)A ，(2,0)
14、B， 所以 222 12121212 12 12121221 ()()() 22(2)(2)2()4 yykxt xtkx xt xxt kk xxxxx xxx 2 22 22 22 2 2 22 4128 3434 4126 24 3434 k tk t ktt kk k t kk 22 22 222 2 22 4128(34) 412124(34) kk tk ttk k tk 2222 2 2222 9 3 (312)3(4)9 4 416124(4)129124 ktkt k tkkt .16 分 19.解：(1) 当1a 时， g xxb， lnfxx，设切点 00 ,A xf x
15、， 因为 g xxb是 f x的一条切线， 所以 00 ln1fxx，解得 0 xe，所以 0 0f xf e 又切点,0A e在切线yxb上，所以0eb得be 4 分 (2) 当 b e a 时，令 ln1h xf xg xxxa xe 则 lnh xxa 若1a ，则当xe时， 0h x 恒成立， h x在, e 上单调递增， 0h xh e，即 f xg x符合题意6 分 若1a 时，由 0h x ，得 a xee 当 a exe时， 0h x ， h x在, a e e 上单调递减， 0h xh e 与已知 h x在,xe上恒成立矛盾，舍去9 分 综上，1a 10 分 (3) 法一：
16、ln1xxxaxb， lnxxa 若1a ，则 0x在区间 2 , e e上恒成立， x在区间 2 , e e 上单调递增 因为 x在区间 2 , e e 上有零点， 所以 222 0 0 eaeb eeaeb ，解得 22 aebeae 所以 2 222 442414abaaeaeee ， 当1a 时，等号成立，此时bae 12 分 数学参考答案第 5 页（共 9 页） 若12a时， 当 a exe时， 0x， x在1, a e上单调递减 当 2a exe时， 0x， x在 1, a e上单调递增 因为 x在区间 2 , e e 上有零点， 所以 10 aaaa eeaaebeb ，所以 a
17、 be ，所以 22 44 a abae 令 2 4 a h aae，12a 则 24220 aa h aaeae，所以 h a在1,2上单调递减 所以 222 2444h aee14 分 若2a ，则 0x在区间 2 , e e上恒成立， x在区间 2 , e e 上单调递减 因为 x在区间 2 , e e 上有零点， 所以 222 0 0 eaeb eeaeb ，解得 22 eaebae 所以 2 222222424 44424444abaaeeaeeeee， 当 2 2ae时，等号成立，此时 24 2bee； 综上， 2 4ab的最小值是 24 44ee 16 分 法二： ln1xxxa
18、xb，设 x在 2 , e e 上的一个零点为 0 x， 则 0000 ln10xxxaxb， 000 ln1bxxax 2 222 0000000 44ln1424ln14abaxxaxaxxxx 2 000 4ln14xxx，当 0 2ax时等号成立12 分 令 2 4ln14t xxxx， 2 exe，则 4ln8txxx 因为 2 exe，则1ln2,x4ln84 280xxe，即 0tx 所以 t x的区间 2 , e e 上单调递减， 所以 t x的最小值为 224 44t eee 故 2 4ab的最小值为 24 44ee 16 分 20.解：(1) 数列 n b为2019,2019,2019,2018,2017； 3 分 (2) 由已知得:当6n时， n a关于 n 递减；当7n时， n a关于 n 递减， 又 67 aa， * nN 时， n a关于 n 递减. * N21 n am又21,3021mm n b共 21 项,且各项分别与 n a中各项相同, 5 分 其和为 26 21 111 10241024102415 141 222 T
