1、第第 四四 章章空空 间间 力力 系系cosyFFcoszFF直接投影法1、力在直角坐标轴上的投影cosFFx间接（二次）投影法间接（二次）投影法sinxyFFsin cosxFFsin sinyFFcoszFF已知：已知：,nF 求：力求：力 在三个坐标轴上的投影在三个坐标轴上的投影.nFsinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF解：解：RxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFF合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理RiFF空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 2 2、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件合力的
2、大小合力的大小222()()()RxyzFFFFcos(,)xRRFF iF 方向余弦方向余弦cos(,)yRRFFjFcos(,)zRRFF kF空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系平衡的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程称为空间汇交力系的平衡方程.0 xF 0yF 0zF 0RF 该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点力的作用线通过汇交点.空间汇交力系平衡的空间汇交力系平衡的充要条件充要条件：该力系中所有：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零各力在三
3、个坐标轴上的投影的代数和分别为零.已知：物重已知：物重P=1010kN，CE=EB=DE；030求：杆受力及绳拉力求：杆受力及绳拉力解：画受力图，列平解：画受力图，列平 衡方程衡方程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45cos30sin21FFFA0zF030cos30sin45cos30sin45cos21PFFFA123.54kNFF8.66kNAF 求：三根杆所受力求：三根杆所受力.已知：已知：P=1000N,各杆重不计各杆重不计.解：各杆均为二力杆，取球铰解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图。画受力图。0 xF 045sin45sinOCOB
4、FF0yF 045cos45cos45cosOAOCOBFFFN1414OAF（拉（拉）N707OCOBFF0zF sin450OAFP()OM Fr F（3 3）作用面：力矩作用面）作用面：力矩作用面.（2 2）方向）方向:转动方向转动方向(1(1）大小）大小:力力F F与力臂的乘积与力臂的乘积三要素：三要素：1 1、力对点的矩以矢量表示、力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢xyzFF iF jF krxiyjzk()()()zyxzyxyFzF izFxF jxFyF k()()()()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk力对点力对点O O的矩在三个坐标轴上的投影为的矩在三个坐标轴上的
5、投影为()OzyxMFyFzF()OxzyMFzFxF()OyxzMFxFyF 2.2.力对轴的矩力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零力对该轴的矩为零.()()zOxyxyM FM FFd()()()()xxxxyxzzyMFMFMFMFFyFz()()()()yyxyyyzxzMFMFMFMFFzFx 3 3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩之关系、力对点的矩与力对过该点的轴的矩之关系 ()zyxMFFxFy()()OzyxxMFyFzFMF()()OxzyyMFzFxFMF()()OyxzzMFxFyFMF 力对
6、点的矩与力对过该点的轴的矩之关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩之关系 ()()OzyxxMFyFzFMF()()OxzyyMFzFxFMF()()OyxzzMFxFyFMF()()()OxyzMMF iMF jMF k已知：已知：,alF求：求：,xyzMFMFMF1co sxzMFF dFla 2co syzMFF dFl 1sinzxMFF dFla 解：把力解：把力 分解如图分解如图F1 1、力偶矩以矢量表示力偶矩矢、力偶矩以矢量表示力偶矩矢1212FFFF空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1 1）大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（3 3）作用面：力偶作用面。作用面：力偶
7、作用面。（2 2）方向：转动方向；方向：转动方向；BAMrF(,)()()OOOABMF FMFMFrFrF(,)()OABBAMF FrrFrFM 2 2、力偶的性质、力偶的性质FF（2 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变变而改变.(1(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 .（3 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小 与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变
8、与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.1212111(,)()(,)RRBARBABABABAM FFrFrFFrFrFrFM F F=(4)(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变的作用效果不变.211FFF332FFF=(5)(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.定位矢量定位矢量力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量自由矢量滑移矢量滑移矢量力矢是力矢是?力矩矢是力矩矢是?力
9、偶矩矢是力偶矩矢是?3 3力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件111222,.,nnnMrF MrFMrF=iMMM为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.222()()()xyzMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦,xxyyzzMMMMMM称为空间力偶系的平衡方程称为空间力偶系的平衡方程.000 xyzMMM0M 空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等合力偶矩矢等于零，即于零，即 cosxMMcosyMMcoszMM44 44 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主主矢
10、和主矩矩1 1 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化iiFF()iOiMMF空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.RixyzFFF iF jF k 主矩主矩()OiOiMMMF()()()OxyzMMF iMF jMF k主矢主矢空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力（1 1）合力合力ORdMF合力合力.合力作用线距简化合力作用线距简化中心为中心为2 2空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）0
11、,0,ROROFMFM0,0ROFM 过简化中心合力过简化中心合力()()OROROMdFMFMF由此，再次引申出由此，再次引申出合力矩定理合力矩定理.（2 2）合力偶）合力偶一个合力偶，此时与简化中心无关。一个合力偶，此时与简化中心无关。0,0ROFM（3 3）力螺旋）力螺旋0,0,/ROROFMFM中心轴过简化中心的力螺旋中心轴过简化中心的力螺旋既不平行也不垂直既不平行也不垂直0,0,ROROFMF M力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为sinORMdF（4 4）平衡）平衡平衡平衡0,0ROFM 空间任意力系平衡的充要条件：空间任意力系平衡的充要条件：1 1.空间任意力系的平衡
12、方程空间任意力系的平衡方程000 xyzFFF000 xyzMMM 空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.该力系的主矢、主矩分别为零该力系的主矢、主矩分别为零.3.3.空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例2.2.空间约束类型举例空间约束类型举例000zxyFMM空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程已知：已知：P=8 8kN,101kNP各尺寸如图各尺寸如图求：求：A
13、、B、D 处约束力处约束力解：研究对象：小车解：研究对象：小车列平衡方程列平衡方程0zF01DBAFFFPP 0FMx10.21.220DPPF 0FMy06.02.16.08.01DBFFPP5.8kN,7.777kN,4.423kNDBAFFF已知：已知：F、P及各尺寸及各尺寸求：求：各杆内力各杆内力解：研究对象，长方板解：研究对象，长方板列平衡方程列平衡方程 0ABMF 026PaaF62PF 0AEMF 05F 0ACMF 04F 0EFMF 022216baabFPaaF01F 0FGMF 022bFPbFbPF5.12 0BCMF 045cos232bFPbbFPF2231 1计算
14、重心坐标的公式计算重心坐标的公式1122.CnniiP xP xP xP xP xiiCPxxP1122.CnniiP yP yPyPyP y iiCPyyP1122.CnniiP zP zP zP zP z iiCPzzP计算重心坐标的公式为计算重心坐标的公式为iiCPzzPiiCPxxPiiCPyyP对均质物体，均质板状物体，有对均质物体，均质板状物体，有iiCVxxViiCV yyVi iCVzzViiCAxxAiiCAyyAi iCAzzA称为重心或形心公式称为重心或形心公式2 2 确定重心的悬挂法与称重法确定重心的悬挂法与称重法（1 1）悬挂法悬挂法（2 2）称重法称重法1CP xF
15、 l1CFxlP则则然后，有然后，有2CFxlP22211CFFzrlHPH cosllcossinCCxxhsinHl22coslHl求：其重心坐标求：其重心坐标已知：均质等厚已知：均质等厚Z Z字型薄板尺寸如图所示字型薄板尺寸如图所示.则则用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为解解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可坐标即可.mm151xmm451y21300mmAmm52xmm302y22400mmAmm153xmm53y23300mmAmm2321332211AAAxAxAxAAx
16、AxiiCmm27321332211AAAyAyAyAAyAyiiC求：其重心坐标求：其重心坐标.12344(),033Rrbyyy 由由iiCAyyA222123,(),22ARAr bAr0Cx由对称性，有由对称性，有解：用负面积法，为三部分组成解：用负面积法，为三部分组成.已知：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的mmmmmm13,17,100brR得得mm03.40321332211AAAyAyAyAyC三个大小相等的力三个大小相等的力P分别与坐标轴平行，且分别在三个坐标分别与坐标轴平行，且分别在三个坐标平面内，其作用点依次为（平面内，其作用点依次为（x，0，0），（），（0，y，0
17、）（0，0，z），），预使该力系合成为合力，则预使该力系合成为合力，则x，y，z应满足应满足的关系。的关系。思考题思考题()OM Fr F()()zOxyxyM FM FFd()()OzyxxMFyFzFMF()()OxzyyMFzFxFMF()()OyxzzMFxFyFMF 3 3、空间任意力系向一点的简化、空间任意力系向一点的简化用空间汇交力系与空间力偶系来等用空间汇交力系与空间力偶系来等效或者代替空间任意力系效或者代替空间任意力系.iiFF()iOiMMFRixyzFFF iF jF k 主矩主矩()OiOiMMMF主矢主矢空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力0,0ROFM 过简化中心合力过简化中心合力0,0,ROROFMFMORdMF合力合力.合力作用线距简化合力作用线距简化中心为中心为（1 1）合力合力（2 2）合力偶）合力偶（3 3）力螺旋）力螺旋（4 4）平衡）平衡0,0ROFM 0,0,/ROROFMFM0,0ROFM 000 xyzFFF000 xyzMMM空间任意力系平衡的充要条件：空间任意力系平衡的充要条件：重心坐标的公式重心坐标的公式iiCPxxPiiCPyyPiiCPzzP对均质物体对均质物体iiCVxxViiCV yyVi iCVzzV
