1、 引例引例 设矩形的长、宽分别用,x y表示，则矩形的面积S为Sxy若测量,xy,x y时产生的误差为则该矩形面积产生的误差为()()Sxxyyxyy xx yx y 上式右端包含两部分，它是关于,xy的线性函数;另一部分是,x y 当(,)(0,0),xy即22()()0 xy 时,y xx y一部分是 引例引例 设矩形的长、宽分别用,x y表示，则矩形的面积S为Sxy若测量,xy,x y时产生的误差为则该矩形面积产生的误差为()()Sxxyyxyy xx yx y 上式右端包含两部分，它是关于,xy的线性函数;另一部分是,x y 当(,)(0,0),xy即22()()0 xy 时,y xx
2、 y一部分是 x y 是比 高阶的无穷小，因此略去高阶无穷小，而用y xx y近似表示,S 则其差()Sy xx yx y 是一个比 高阶的无穷小，称y xx y为函数Sxy在(,)x y处的全微分。定理定理7.27.2（必要条件）（必要条件）则该函数在点则该函数在点),(yx的偏导数的偏导数、必存在，必存在，为为),(yx可微分，可微分，),(yxfz=在点在点),(yx的全微分的全微分且函数且函数),(yxfz=在点在点如果函数如果函数d.zzzxyxyzx zy 多元函数的各偏导数并不能保证全微分存在多元函数的各偏导数并不能保证全微分存在 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在
3、 微分存在微分存在例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf 记全微分为记全微分为ddd.zzzxyxy全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数dddd.uuuuxyzxyz 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况习惯上，自变量的增量习惯上，自变量的增量,xy分别记作分别记作d,d,xy分别称为自变量分别称为自变量,x y的微分。的微分。分之和这件事分之和这件事称为二元函数的微分符合称为二元函数的微分符合 解zxzy(2,1)5,zx(2,1)2,zyd5d2d.zxy所求全微分例例7.187.18 计算函数在点)1,2(处的全微分.2xzx yy12,xyy22,xxy 解解zxzyddd(,)4(,)(,)44zzzxyxy2(47).82 sin(2),yxysin(2),yxycos(2)xy例例7.19 7.19 求函数求函数cos(2),zyxy 当当,4x y d,4x dy 时的全微分时的全微分.解解uxuyuz所求全微分所求全微分de dyzuxe,yze1,yzxzee,yzzxy例例7.20 7.20 计算函数计算函数eeyzzuxy的全微分的全微分.(e1)dyzxzy(ee)d.yzzxyz
