1、高 等 数 学 第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续第一节函数第二节极限第三节极限的运算第四节初等函数的连续性第五节闭区间上连续函数的性质 第一节第一节 函数函数 函数一1.1.函数的概念函数的概念定义11 给定两个实数集D和E，若有一个对应法则f，使得对每个xD，都有唯一确定的值yE与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作y=f(x)，xD。其中，x称为自变量，y称为因变量，D称为函数fx的定义域，全体函数值的集合E称为函数的值域.如果在D中任取某一个数值x0，与之对应的y的数值y0，称为函数f(x)在点x0处的函数值，记作y0=f(x)0。第一节第一节 函数函数 关于函数的定
2、义，我们进行如下说明：定义11中函数f(x)的值域可以由定义域D和对应关系f所确定，因此，定义域D和对应关系f是确定函数的两个主要因素。由此，我们说某两个函数相同，是指它们有相同的定义域和相同的对应关系。第一节第一节 函数函数 第一节第一节 函数函数 2.2.函数的表示法函数的表示法图11常用的函数的表示方法主要有三种：（1）图像法。如图11所示的曲线就表示了一个函数y=f（x）。这时直线x=a与曲线y=f（x）交点P的纵坐标b就是函数值f（a）,b=f（a）。第一节第一节 函数函数 （2）列表法。三角函数表等是最常见的列表表示的函数。（3）解析法（公式法）。其图像如图12所示。图12 第一节
3、第一节 函数函数 3.3.函数的特性函数的特性1）有界性设函数f（x）的定义域为D,若存在正数M,使得对每一个xD,都有f（x）M成立,则称f（x）为上的有界函数,否则,称f（x）为D上的无界函数。有界函数的几何意义：若函数f（x）为D上的有界函数,则函数f（x）的图像完全落在直线y=M与y=-M之间。第一节第一节 函数函数 2）单调性设函数f（x）的定义域为D,区间ID,若对于任意的两个自变量x1,x2I,当x10，a1，x（-，+），其图像如图1-6所示。第一节第一节 函数函数 图1-5 图1-6 第一节第一节 函数函数 （3）对数函数y=logax，a是常数且a0，a1，x（0，+），其
4、图像如图1-7所示。图1-7 第一节第一节 函数函数 (4)三角函数。三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数6种。正弦函数y=sinx，x（-，+），y-1，1，其图像如图1-8所示。图1-8 第一节第一节 函数函数 余弦函数y=cosx，x（-，+），y-1，1，其图像如图1-9所示。图1-9 第一节第一节 函数函数 正切函数 y=tanx，kZ，xk+y（-，+），其图像如图1-10所示。图1-10 第一节第一节 函数函数 余切函数y=cotx，kZ，xk，y（-，+）,其图像如图111所示。图111 第一节第一节 函数函数 第一节第一节 函数函数 图112
5、图113 第一节第一节 函数函数 反正切函数y=arctanx，x（-，），y其图像如图114所示。图114 第一节第一节 函数函数 反余切函数y=arccotx，x（-，），y（0，），其图像如图115所示。图115 第一节第一节 函数函数 2.2.初等函数初等函数第二节第二节 极极 限限数列极限的定义一极限概念是求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A1;再作内接正十二边形，其面积记为A2;再作内接正二十四边形，其面积记为A3;循此下去，每
6、次边数加倍，一般把内接正62n-1边形的面积记为An(nN+).这样，就得到一系列内接正多边形的面积。第二节第二节 极极 限限例如,数列(3)与(4)均为发散数列。因为数列(-1)n的每一项值随着n的改变在1和1这两个数值上摆动,从而不能无限接近于某一个确定的数值；数列n2由于它的通项n2随着n无限增大,也在无限制的增大,从而不能无限接近于某一个确定的数值,所以这两个数列都不收敛。一般地,有如下数列极限的定义。第二节第二节 极极 限限收敛数列的性质二定理1-1（极限的唯一性）如果数列xn收敛，那么它的极限唯一。定理1-2（收敛数列的有界性）如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。定理1-3（收
7、敛数列与其子数列的关系）如果数列xn收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。第二节第二节 极极 限限函数的极限三1.x1.x趋于无穷大时函数的极限趋于无穷大时函数的极限x趋于无穷大表示自变量的绝对值无限增大,记为x。显然,同时包含两种情况：当x0时,记为x+（读作x趋于正无穷大）；当x0时,记为x-（读作x趋于负无穷大）。考察函数f(x)=SX(1xSX)和g(x)=arctanx的图像（如图1-16和图1-17所示）第二节第二节 极极 限限图116 图117第二节第二节 极极 限限第二节第二节 极极 限限2.x2.x趋于有限值时函数的极限趋于有限值时函数的极限x趋于某一定数x0,它
8、表示自变量x以任何方式从x0的左、右两侧趋近于x0,记为xx0。通常x从x0的左侧趋近于x0记为xx0-,x从x0的右侧趋近于x0记为xx0+.可见,xx0同时包含xx0-和xx0+两个过程。第二节第二节 极极 限限由图118可见。由图119可见,函数f(x)=x+2,当x无限趋近于2而不等于2时,对应的函数值就无限地趋近于4。第二节第二节 极极 限限图118 图119第二节第二节 极极 限限3.3.单侧极限单侧极限有些函数在某些点的左、右两侧所对应的函数解析式不同(如分段函数中某些点)或函数仅在某一侧有定义(如区间端点上),函数在这些点上的极限只能单侧地加以讨论。函数图像如图120所示。图1
9、20第二节第二节 极极 限限无穷小量与无穷大量四1.1.无穷小量无穷小量定义19 若函数f(x)在自变量的某一变化过程中的极限为零,则称该函数为自变量在此变化过程中的无穷小量,简称无穷小。通常函数极限有x+,x-,x,xx0+,xx0-,xx0这六种情形。因此,只简单地说函数是无穷小量是不确切的,还必须指出x的趋近方式。第二节第二节 极极 限限另外，无穷小是一个以0为极限的函数，不要把它与很小的数混淆起来。除了常数0可作为无穷小之外,其他任何常数,即使其绝对值很小,都不是无穷小。无穷小量有如下一些性质。性质11 有限个无穷小之和仍为无穷小。性质12 有限个无穷小之积仍为无穷小。性质13 无穷小
10、量与有界函数之积仍为无穷小。第二节第二节 极极 限限2.2.无穷大量无穷大量定义110 若函数fx在自变量的某一变化过程中绝对值fx无限增大,则称函数fx为自变量在此变化过程中的无穷大量,简称无穷大。必须注意,无穷大()不是数,不可与很大的数混为一谈。另外,与无穷小不同的是,在自变量的同一变化过程中,两个无穷大相加或者是相减的结果是不确定的,须具体问题具体考虑。第二节第二节 极极 限限3.3.无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系第三节第三节 极限的运算极限的运算函数极限的运算法则一1.1.极限的四则运算法则极限的四则运算法则第三节第三节 极限的运算极限的运算第三节第三节 极限的运算极限的运
11、算第三节第三节 极限的运算极限的运算两个重要极限二第三节第三节 极限的运算极限的运算第三节第三节 极限的运算极限的运算无穷小的比较三从第二节我们已经知道,两个无穷小的和、差、积仍是无穷小。但是,关于两个无穷小的商,却会出现不同的情况。例如,当x0时,3x,x2,sinx都是无穷小。两个无穷小之比的极限的各种不同情况,反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度。就上面的几个例子来说,在x0的过程中,x20比3x0“快些”,反过来3x0比x20“慢些”，而sinx0与x0“快慢相仿”。下面就无穷小之比的极限存在或为无穷大时,来说明两个无穷小之间的比较。第三节第三节 极限的运算极限的运算第四节第四节 初
12、等函数的连续性初等函数的连续性函数的连续性一1.1.函数在点函数在点x0 x0的连续性的连续性函数连续的概念源于对几何曲线的直观分析,粗略地说,如果函数是连续的,那么它的图像是一条连绵不断的曲线,当然我们不能满足于这种直观的认识,我们需要用数学的语言给出它的精确定义。第四节第四节 初等函数的连续性初等函数的连续性考察如图1-21所示的函数图像。图1-21第四节第四节 初等函数的连续性初等函数的连续性故函数f(x)在点x=0处连续,如图1-22所示。图1-22第四节第四节 初等函数的连续性初等函数的连续性2.2.左连续、右连续左连续、右连续第四节第四节 初等函数的连续性初等函数的连续性3.3.函
13、数在区间上的连续性函数在区间上的连续性第四节第四节 初等函数的连续性初等函数的连续性间断点二第四节第四节 初等函数的连续性初等函数的连续性连续函数的运算三1.1.连续函数的和、差、积、商的连续性连续函数的和、差、积、商的连续性第四节第四节 初等函数的连续性初等函数的连续性2.2.反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性定理1-11 如果函数y=fx在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数x=f1(y)也在对应的区间Iy=yy=f(x),xIx上单调增加(或单调减少)且连续。第四节第四节 初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数的连续性四1.1.初等函数的连续性初等函数的
14、连续性前面证明了三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,类似地可证得幂函数、指数函数和对数函数在其定义域内也是连续的。综合起来得:基本初等函数在其定义域内都是连续的。再由初等函数的定义及定理1-10、定理1-13得:一切初等函数在其定义域内都是连续的。第四节第四节 初等函数的连续性初等函数的连续性2.2.用函数的连续性求极限用函数的连续性求极限第五节 闭区间闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定理一先说明最大值和最小值的概念。对于在区间I上有定义的函数f(x),如果有x0I,使得对任一xI都满足 f(x)f(x0)(f(x)f(x0),则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小
15、值)。第五节 闭区间闭区间上连续函数的性质定理1-14 若函数f(x)在闭区间a,b上连续,则fx在a,b上有最大值和最小值（如图1-23所示）。图1-23第五节 闭区间闭区间上连续函数的性质在区间0,2上有间断点x=1,f(x)虽然在闭区间0,2上有界,但是既无最大值又无最小值。如图1-24所示。图1-24第五节 闭区间闭区间上连续函数的性质介值定理二定理1-15（介值定理）设函数fx在闭区间a,b上连续,且fafb,若C为介于fa与fb之间的任意实数,则至少存在一点a,b,使得f=C。图1-25第五节 闭区间闭区间上连续函数的性质推论1-4（零点定理）若函数fx在闭区间a,b上连续,且fa与fb异号,即fafb0,则至少存在一点a,b,使得 f=0。该推论表明方程fx=0在a,b内有实根。其几何解释如图1-26所示。图1-26Thank You!
