1、第六章 定积分及其应用第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质第二节第二节 定积分的计算定积分的计算第三节第三节 反常积分反常积分第四节第四节 定积分的应用定积分的应用第一节 定积分的概念与性质一、定积分问题举例一、定积分问题举例二、定积分定义二、定积分定义三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义四、定积分的性质四、定积分的性质曲边梯形的面积曲边梯形的面积 设函数yf(x)在区间a,b上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.一、定积分问题举例观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面
2、积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积？niiixfA10)(lim.求曲边梯形的面积 (1)分割:ax0 x1 x2 xn1 xn b,xixixi1;小曲边梯形的面积近似为f(i)xi (xi1ixi);(2)近似代替:(4)取极限:设maxx1,x2,xn,曲边梯形的面积为 (3)求和:曲边梯形的面积近似为 ;niiixfA10)(lim l变速直线运动的路程变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数,且v(t)0,计算物体在时间段T1,T2内所经过的路程S.(1)分割:T1t0t1t2 tn1tnT2,tititi1;(2)取近似:物体在时间段ti
3、1,ti内所经过的路程近似为 Siv(i)ti (ti1 iti);物体在时间段T1,T2内所经过的路程近似为 (3)求和:(4)取极限:记maxt1,t2,tn,物体所经过的路程为 niiitvS1)(;niiitvS10)(lim.在小区间xi1,xi上任取一点i(i1,2,n),niiixf1)(;作和maxx1,x2,xn;记xixixi1(i1,2,n),ax0 x1x2 xn1xnb;在区间a,b内任取分点:定义定义 设函数f(x)在区间a,b上有界.若当0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间a,b的分法和i的取法无关,则此极限称为函数f(x)在区间a,b上badxxf)(,的定
4、积分,记为niiibaxfdxxf10)(lim)(.即 二、定积分定义定积分各部分的名称 积分符号,f(x)被积函数,f(x)dx 被积表达式,x 积分变量,a 积分下限,b 积分上限,a,b积分区间，niiixf1)(积分和.v函数的可积性 如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在,则称f(x)在区间a,b上可积.定理1 如果函数f(x)在区间a,b上连续,则函数f(x)在区间a,b上可积.定理2 如果函数f(x)在区间a,b上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间a,b上可积.v定积分的定义niiibaxfdxxf10)(lim)(.3)一般地,f(x)在a,b上的定积分表示介
5、于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.1）当f(x)0时,定积分 在几何上表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与y=0 所围成的封闭图形的面积.2）当f(x)0时,定积分 在几何上表示曲边梯形面积的负值.()baf x dx()baf x dx三、定积分的几何意义1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(.性质1 性质2 2 babadxxfkdxxkf)()(.性质3 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.4 abdxdxbaba1.性质4 性质5 如果在区间a,b上 f(x)0,则 badxxf0)(ab).四、定积分的性质推论1
6、 若在a,b上 f(x)g(x),则 babadxxgdxxf)()(ab).推论2 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a,b上的最大值及最小值,则 baabMdxxfabm)()()(ab).如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使下式成立:性质7(定积分中值定理)baabfdxxf)()(.积分中值公式.第二节 定积分的计算一、积分上限函数及原函数存在定理一、积分上限函数及原函数存在定理二、牛顿二、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式三、定积分的换元法三、定积分的换元法四、定积分的分部积分法四、定积分的分部积分法一、积分上限函数及原函数存在定理二、牛顿莱布
7、尼茨公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba证证:根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令,)(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xFab定理定理2函数,则三、定积分的换元法四、定积分的分部积分法第三节 反常积分一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分一、无穷限的反常积分 定义定义 设函数设函数 在区间在区间 上连续取上连续取 ，如果极限如果极限 存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数 在
8、无穷区间在无穷区间 上的上的反常积分反常积分记作记作 ，即即)(xf,)aab babdxxf )(lim)(xf )(adxxf,)a )(adxxf babdxxf )(lim此时也称反常积分此时也称反常积分 存在或收敛存在或收敛；如果极限；如果极限不存在，就称反常积分不存在，就称反常积分 不存在或发散不存在或发散。)(adxxf )(adxxf 类似的，可以定义类似的，可以定义 在区间在区间 及及 上上的广义积分。的广义积分。)(xf ,b bdxxf )(baadxxf )(lim )(dxxf cdxxf )()(cdxxf bcbcaadxxfdxxf )(lim)(lim 注注
9、广义积分广义积分 收敛的充分必要条收敛的充分必要条件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积分之一发散，则左端的广义积分发散。分之一发散，则左端的广义积分发散。)(dxxf 设函数设函数 在区间在区间 上连续，而上连续，而 取取 ，如果极限，如果极限 存在，则称此极限为存在，则称此极限为函数函数 在区间在区间 上的广义积分。记作上的广义积分。记作 即即)(xf ,(ba0 badxxf 0)(lim)(xf.)(badxxf )(limxxfa ,(ba二、无界函数的反常积分 badxxf )(badxxf 0)(lim此时也称广义积分此时也称广义积分
10、 存在或收敛存在或收敛；如果极限；如果极限不存在，就称广义积分不存在，就称广义积分 不存在或发散不存在或发散。badxxf )(badxxf )(badxxf )(badxxf )(类似的，可以定义类似的，可以定义 在区间在区间 及及 上的广上的广义积分。义积分。)(xf)(a,b),ba badxxf 0)(lim cadxxf )(bcdxxf)(bccadxxfdxxf 0 0)(lim)(lim).(a,bc 其其中中第四节 定积分的应用一、定积分的微元法一、定积分的微元法二、定积分在几何上的应用二、定积分在几何上的应用三、定积分在物理上的应用三、定积分在物理上的应用一、定积分的微元法
11、用定积分概念解决实际问题的三个步骤：用定积分概念解决实际问题的三个步骤：二、定积分在几何上的应用（一）平面图形的面积（一）平面图形的面积设设 旋旋 转转 体体 是是 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy 和和 直直 线线)(,babxax，及及 x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕 x轴轴旋旋转转而而成成（如如下下图图），我我们们来来求求它它的的体体积积 V.在在区区间间 ,ba上上点点 x处处垂垂直直 x轴轴的的截截面面面面积积为为 在在x的的变变化化区区间间,ba内内积积分分，得得旋旋转转体体体体积积为为 ).()(2xfxA.d)(2baxxfV.d)(2dcyyVO y x b
12、 a A(x)（二）体积（二）体积.d1)d()d(d222xyyxQTMQMTs22这这里里xysd1d2也也称称为为弧弧微微分分公公式式.在在x的的变变化化区区间间,ba内内积积分分，就就得得所所求求弧弧长长 .d)(1d122babaxxfxys（三）平面曲线的弧长（三）平面曲线的弧长三、定积分的物理应用举例（一）变力沿直线做功（一）变力沿直线做功 如如果果物物体体在在运运动动的的过过程程中中所所受受的的力力是是变变化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.（二）（二）水压力水压力 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水
13、深深不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想（三）（三）引力引力 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算就不能用此公式计算2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为.0 yF
