1、 二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分第四节常义积分常义积分积分限有限积分限有限被积函数有界被积函数有界推广推广一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分反常积分反常积分(广义积分广义积分)广义积分 第五五章 一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分引例引例.曲线曲线21xy 和直线和直线1x及及 x 轴所围成的开口曲轴所围成的开口曲边梯形的面积边梯形的面积21xy A1可记作可记作12dxxA其含义可理解为其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1 定义定义1.1.设设,),)(aCxf,ab 取若若xxfbabd)(lim存在存在,则称此极限为则称此极限
2、为 f(x)的无穷限的无穷限广义积分广义积分,记作记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称广义积分这时称广义积分xxfad)(收敛收敛;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称广义积分就称广义积分xxfad)(发散发散.类似地类似地,若若,()(bCxf则定义则定义xxfxxfbaabd)(limd)(,),()(Cxf若若则定义则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim(c 为任意取定的常数为任意取定的常数)只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在,就称就称xxfd)(发散发散.无穷限的广义积分也称为无穷限的广义积分也称为第一类广义积分第一类广义积分.,并非
3、不定型并非不定型,说明说明:上述定义中若出现上述定义中若出现 它它表明该反常积分发散表明该反常积分发散 .,)()(的原函数的原函数是是若若xfxF引入记号引入记号;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似则有类似牛牛 莱公式的计算表达式莱公式的计算表达式:xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF 例例1.1.计算广义积分计算广义积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2思考思考:?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx注意注意:对广义积分对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用只有
4、在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零”的性质的性质,否则会出现错误否则会出现错误.211xy Oxy 例例2.2.计算广义积分计算广义积分 dxex.解解 00dxedxexx dxex2-0-0 xxee 例例+计算反常积分计算反常积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb.1 例例3.3.计算广义积分计算广义积分 dxxx 02321arctan2 ttx arctantxtan 解令解令，即，即，则，则tdtdx2sec 0 x0 t，且当，且当时，时，x当当时，时
5、，2022320232sectan11arctan tdtttdxxx 202020sinsincos tdttttdtt12cos220 t.例例4.4.证明第一类证明第一类 p p 积分积分 apxxd证证:当当 p=1 时有时有 axxdaxln apxxd appx11当当 p 1 时有时有 1p1p,11 pap当当 p 1 时收敛时收敛;p1 时发散时发散.,因此因此,当当 p 1 时时,广义积分收敛广义积分收敛,其值为其值为;11 pap当当 p1 时时,广义积分发散广义积分发散.例例5.5.计算广义积分计算广义积分.)0(d0 ptettp解解:tpept 原式原式0 0d1t
6、eptptpep 210 21p xxxedln12 1.计算计算 2002年考研数学年考研数学(一一)填空填空3分分解解xxxedln12 xxedlnln12 exln11 2.位于曲线位于曲线)0(xxeyx下方下方,x轴轴上方的上方的无界图形的面积是无界图形的面积是解解 2002年考研数学年考研数学(二二)填空填空3分分xxeAxd0 xex d0d00 xeexxx 1 二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分引例引例:曲线曲线xy1 所围成的所围成的1x与与 x 轴轴,y 轴和直线轴和直线开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积可记作可记作 10dxxA其含义可理解为其含义可理解为
7、 10dlim xxA 12lim0 x )1(2lim0 2 xy10A1xy(瑕积分瑕积分)定义定义2.2.设设,()(baCxf而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,0取存在存在,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称广义积分这时称广义积分xxfbad)(收敛收敛;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称广义积分就称广义积分xxfbad)(发散发散.类似地类似地,若若,),)(baCxf而在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限若极限baxxfd)(lim0数数 f(x)在在 a,b 上的广义积分上的广义积分,记作记作则
8、定义则定义则称此极限为函则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点而在点 c 的的无界函数的积分又称作无界函数的积分又称作第二类广义积分第二类广义积分,无界点常称无界点常称邻域内无界邻域内无界,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为为瑕点瑕点(奇点奇点).例如例如,xxxd11112xxd)1(11间断点间断点,而不是反常积分而不是反常积分.则本质上是常义积分则本质上是常义积分,则定义则定义 注意注意:若瑕点若
9、瑕点,)()(的的原原函函数数是是设设xfxF的计算表达式的计算表达式:xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛则也有类似牛 莱公式的莱公式的若若 b 为瑕点为瑕点,则则若若 a 为瑕点为瑕点,则则若若 a,b 都为瑕点都为瑕点,则则,bac 则则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?112dxx211111x下述解法是否正确下述解法是否正确:,积分收敛积分收敛例例6+.6+.计算广义积分计算广义积分.)0(d022axaxa解解:显然瑕点为显然瑕点为 a,所以所以原式原式0arcsinaax1ar
10、csin2例例7.讨论广义积分讨论广义积分112dxx的收敛性的收敛性.解解:112dxx012dxx102dxx101 x011x所以反常积分所以反常积分112dxx发散发散.221xay Oxyaa1t 例例8.8.证明广义积分证明广义积分 10dPxx证证:当当 p=1 时时,当当 p 1 时收敛时收敛;p1 时时发散发散.10dxx10ln x当当 p1 时时 10dpxx0111 pxp1 p,11p 1 p,所以当所以当 p 1时时,该广义积分收敛该广义积分收敛,当当 p1时时,该广义积分发散该广义积分发散.例例+.+.证明广义积分证明广义积分 baqaxx)(d证证:当当 q=1
11、 时时,当当 q 1 时收敛时收敛;q1 时时发散发散.baaxxdbaax ln当当 q1 时时 baqaxx)(d abqqax1)(11 q,1)(1qabq 1 q,所以当所以当 q 1 时时,该广义积分收敛该广义积分收敛,其值为其值为;1)(1qabq 当当 q 1 时时,该广义积分发散该广义积分发散.例例9 9.计算广义积分计算广义积分 30321xdx 313210323032111xdxxdxxdx 313110311313 xx 311331113lim23313lim xxxx .解解:3233 例例10.10.计算广义积分计算广义积分 11xxdx 2211111xxdx
12、xxdxxxdx解解 tx 112 tx令令，即，即tdtdx2，则，则2arctan2)1(211010221 ttttdtxxdx2arctan2)1(211212 ttttdtxxdx所以所以 11xxdx 内容小结内容小结 1.广义积分广义积分积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极限 2.两个重要的广义积分两个重要的广义积分 apxxd baqaxx)(d1 p1 p)0(a baqxbx)(d1 q,1)(1qabq 1 q,)1(11 pap 说明说明:(1)(1)有时通过换元有时通过换元 ,广义积分和常义积分可以广义积分和常义积分可以互互相转化
13、相转化.例如例如,1021dxx）令令txsin(20d txxxd111042 10121d122xxxx 102112)()d(xxxx)1(xxt 令令 022dtt(2)当一题同时含两类广义积分时当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分分别讨论每一区间上的广义积分.反反 常常 积积 分分思考题思考题1(选择题选择题),0 x设设).(1d1d10202 xxtttt则则xA arctan)(xBarctan2)(2)(C0)(D解答解答 xxttttxf102021d1d)(令令),0(x )(xf0)(xf恒等于常数恒等于常数.,时时当当
14、 x xxttttxf102021d1d)(202 .2)(xfC 221111xx 211x 备用题备用题1 1 试证xxxxxd11d04204 ,并求其值.解解:041dxx令xt1 tttd1112014 tttd1042 xxxd1042 xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042 xxxxd121021122 xxxxd121021122 )1(d2)(121021xxxx 012arctan221xx22 2.2.解解：,)2()1()1()(32xxxxxf设求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx为与的无穷间断点,故 I 为广义xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf积分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan10
