1、第二章 极限与连续第一节第一节 数列的极限数列的极限第二节第二节 函数的极限函数的极限第三节第三节 函数极限的运算法则函数极限的运算法则第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大第五节第五节 函数的连续性和间断点函数的连续性和间断点第六节第六节 连续函数的性质连续函数的性质第一节 数列的极限一、数列一、数列二、数列的极限二、数列的极限三、数列极限的性质和运算三、数列极限的性质和运算一、数列1）数列的概念2）有界数列3）单调数列4）子列二、数列的极限三、数列极限的性质和运算第二节 函数的极限一、函数极限的概念一、函数极限的概念二、函数极限的性质二、函数极限的性质一、函数极限的概念1）自变量趋于有
2、限值时函数的极限2）自变量趋于无穷大时函数的极限二、函数极限的性质第三节 函数极限的运算法则一、函数极限的运算法则一、函数极限的运算法则二、复合函数的极限运算法则二、复合函数的极限运算法则三、两个重要极限三、两个重要极限一、函数极限的运算法则二、复合函数的极限运算法则三、两个重要极限第四节 无穷小与无穷大一、无穷小一、无穷小二、无穷大二、无穷大三、无穷小的比较三、无穷小的比较一、无穷小二、无穷大三、无穷小的比较第五节 函数的连续性与间断点一、函数的连续性概念一、函数的连续性概念二、函数的间断点二、函数的间断点一、函数的连续性概念1）函数的增量2）函数的连续性二、函数的间断点;)()1(0处有定
3、义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf1.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例.1,1,11,10,1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨
4、论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 2.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例.0,0,1,0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy解解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1 xfx),1(f.0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断可去间断点只要改变或
5、者补充间断处函数的定义处函数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 x3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例.0,0,0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷
6、间这种情况称为无穷间例例.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第六节 连续函数的性质一、连续函数的和、差、积、商的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质一、连续函数
7、的和、差、积、商的连续性连续函数的和、差、积、商的连续性二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质定义:.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在,2max y;1min y,),0(上上在在.1minmax yy,sin1xy ,2,0上上在在;0min y,1max yxyo)(xfy 注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.
