1、第十二章 差分方程第一节第一节 差分方程的基本概念差分方程的基本概念第二节第二节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程第一节 差分方程的基本概念一、差分的定义一、差分的定义二、差分方程的基本概念二、差分方程的基本概念一、差分的定义二、差分方程的基本概念.,2称为差分方程的函数方程含有未知函数的差分xxyy0),(2 xnxxxyyyyxF形式：形式：.,1的方程，称为差分方程个以上时期的符号含有未知函数两个或两xxyy)1(0),(0),(11nyyyxGyyyxFnxxxnxxx或形式：.称称为为差差分分方方程程的的阶阶大大值值与与最最小小值值的的差差方方程程中中未未知知数数下下标标
2、的的最最 注：注：由差分的定义及性质可知，差分方程的由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。不同定义形式之间可以相互转换。是三阶差分方程；是三阶差分方程；如如0234235 xxxyyy.0133112 tttyyyxt，即即可可写写成成事事实实上上，作作变变量量代代换换程，程，但实际上是二阶差分方但实际上是二阶差分方，虽然含有三阶差分，虽然含有三阶差分，013 xxyy，因此它是二阶差分方程因此它是二阶差分方程由于该方程可以化为由于该方程可以化为0133123 xxxyyy 差分方程的解差分方程的解.)(该该差差分分方方程程的的解解边边恒恒等等，则则称称此此函函数数为
3、为两两代代入入差差分分方方程程后后，方方程程如如果果函函数数xy 含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解阶数相同的差分方程的解.差分方程的通解差分方程的通解为了反映某一事物在变化过程中的客观规律为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件差分方程所附加的条件.通解中任意常数被初始条件确定后的解通解中任意常数被初始条件确定后的解.初始条件初始条件差分方程的特解差分方程的特解第二节 一阶常系数线性差分方程一、齐次方程一、齐次方程 的解法的解法二、
4、非齐次方程二、非齐次方程 的解法的解法一、齐次方程一、齐次方程 的解法的解法二、非齐次方程二、非齐次方程 的解法的解法一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式 1 2 .21次线性差分方程次线性差分方程所对应的一阶常系数齐所对应的一阶常系数齐为为注：注：)0(01为常数为常数 aayyxx)(1xfayyxx )00(xfa为常数，为常数，一、齐次方程一、齐次方程 的解法的解法迭迭代代法法.1)0(01为常数为常数 aayyxx 1）依依次次可可得得，为为已已知知，由由方方程程（设设10
5、y01ayy 0212yaayy 0323yaayy .100 xxxxCaYCyyay 通通解解为为）的的方方程程（为为任任意意常常数数，于于是是差差分分满满足足差差分分方方程程，令令容容易易验验证证，01yaayyxxx .0211的通解的通解求求例例 xxyy解解21 a.21xxCY 差分方程的通解为差分方程的通解为特特征征根根法法.2)0(01为常数为常数 aayyxx 1）变变形形为为方方程程（1 )0(01为常数为常数 ayayxx .1函函数数的的形形式式一一定定为为某某一一指指数数可可以以看看出出，根根据据xxxy ）得）得，代入（，代入（设设1)0(xxy01 xxa 0
6、a 即即a 特征方程特征方程特征根特征根）的一个解，）的一个解，是（是（于是于是1xxay .1）的通解）的通解是（是（从而从而xxCay .1的的通通解解用用特特征征根根法法求求例例解解012 特征方程特征方程.21xxCY 差分方程的通解为差分方程的通解为21 特征根特征根二、非齐次方程二、非齐次方程 的解法的解法.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一项项是是对对应应的的齐齐次次差差，解解一一项项是是该该方方程程的的一一个个特特的的和和组组成成：差差分分方方程程的的通通解解由由两两项项一一阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性.2 xxxyYy）的通解为）的通解为即差分方程（即差分方程（
7、2)(1xfayyxx )00(xfa为常数，为常数，即即可可求求出出特特解解求求出出待待定定系系数数程程然然后后将将它它们们代代入入差差分分方方相相同同的的形形式式与与假假定定待待定定的的特特解解待待定定系系数数法法,.)(xfyx .较较为为方方便便解解采采用用待待定定系系数数法法求求其其特特时时，是是某某些些特特殊殊形形式式的的函函数数当当右右端端 xyxf:的的求求法法下下面面讨讨论论特特解解 xy 型型xpxfn)(为为方方程程 2 xpayynxx 1 xpyaynxx 1即即是它的解，代入上式得是它的解，代入上式得设设 xy xpyaynxx 1 .1 次次多多项项式式是是次次多
8、多项项式式，是是且且也也应应该该是是多多项项式式，是是多多项项式式，因因此此由由于于 nynyyxpxxxn1.(1)nnnnxbxbxbxQy 110)(令令011 a不不是是特特征征方方程程的的根根，即即(2)nnnnxbxbxbxxxQy 110)(令令011 a是是特特征征方方程程的的根根，即即综上讨论综上讨论，设设)(xQxynkx 是特征方程的根是特征方程的根不是特征方程的根不是特征方程的根1110k解解.32221的通解求差分方程例xyyxx对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程，02 特征根特征根，2 xxCY2 不不是是特特征征方方程程的的根根，1，设设CBxAxy
9、x 2代入方程代入方程,得得963 CBA，9632 xxyx于于是是原方程通解为原方程通解为.96322 xxCyxx解解,543xxCy 方方程程的的通通解解为为12374337370 Cy代入，则代入，则将将.4351237 xxy故故方方程程的的特特解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解xxCY5 不不是是特特征征方方程程的的根根，1，设设Ayx 代入方程代入方程,得得，43 A解解 .44Cxyx 方方程程的的通通解解为为.1简简单单的的方方式式求求解解这这类类方方程程可可用用另另一一种种较较是是特特征征方方程程的的根根，.234231的通解求差分方程例xxxyyxx，右边为，右边为方程左边为方程左边为xy 2323223 xxxxxx 21 xxx 3x 3xyx 故故 型型xpxfnx )(2.101，1类型类型 102，xxxzy 设设代入方程得代入方程得 为为方方程程 2 xpayynxxx 1 xpzaznxxxxx 11 xpazznxxx 1 ，即即得得消消去去1类型类型.xxxzy 于是于是
