1、高等数学多元复合函数的求导法则 那么为什么还要介绍多元那么为什么还要介绍多元复合函数的微分呢？复合函数的微分呢？这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如如),(22xyyxfz 它是由它是由),(vufz xyvyxu ,22及复合而成的复合而成的由于由于 f 没有具体给出，没有具体给出，时时在在求求yzxz ,一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此要一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此要引入多元复合函数的微分法来解决这一问题。引入多元复合函数的微分法来解决这一问题。)(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法
2、则定理定理.若函数,)(,)(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续,),(vu在点在点 t 可导,tvvztuuztzddddddz则复合函数证证:设 t 取增量t,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt有增量u,v,0t令,0,0vu则有to)(全导数公式全导数公式)tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu)(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd推广推广:1)中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形.例如,),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微.tzdd3
3、21fff2)中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.例如,),(,),(,),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(,)(,)(twtvtu又如,),(,),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时,有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意:这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀口诀:分线相加分线相加,连线相乘连线相乘xfxvvfyvvf与不同,v设xxzsin,求.ddxz令,yxz,sin xy 则xyyzxzxzdd
4、ddzxxy1yyxxxxycosln xxxxxxlncossinsin 例例解解例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet zuvxy设,sinve
5、zu,22yxu,yxv求,xz.yzxzxuuzxvvz22sinxyveu1cos veu)cos()sin(2(222yxyxxyeyx 例例解解zuvxy设,sinvezu,22yxu,yxv求,xz.yzyzyuuzyvvzyxveu22sin)1(cosveu)cos()sin(2(222yxyxyxeyx 例例解解设,),(22xyeyxfz求。xzzxy12xyxfxz)(221212fyefxxyxefxy)(2yz 2 21fexfyyzxy 自己做 例例解解设函数,),(vuxfz,),(uyxv),(yxgu 均可微,求,xz.yzzxuvxyxyuxyg gxz uf
6、 xgvfxxgu xf 例例解解设函数,),(vuxfz,),(uyxv),(yxgu 均可微,求,xz.yzzxuvxyxyuxyg gyz uf ygvfyygu 例例解解为简便起见,引入记号,2121vuffuff),(1zyxzyxf例例.设 f 具有二阶连续偏导数,),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解:令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性 设函数设函数
7、),(vufz 具有连续偏导数，则有全微分具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时，有时，有dyyzdxxzdz .全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质：无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dyyzdxxzdz dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以
8、过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分且作微分运算的结果对自变量的微分 ,dzdydx来说是线性的，从而为解题带来很多方便，而来说是线性的，从而为解题带来很多方便，而且也不易出错。且也不易出错。设,sinvezu,xyu,yxv应用全微分形式不变性求，xz。yzvvzuuzzddd)dd(sinyxxyveuxyxyxyexyd)cos()sin(yyxyxxexyd)cos()sin()d(dcosyxveu与yyzxxzzddd比较,得)cos()sin(yxyxyexzxy
9、例例解解设,sinvezu,xyu,yxv应用全微分形式不变性求，xz。yzvvzuuzzddd)dd(sinyxxyveuxyxyxyexyd)cos()sin(yyxyxxexyd)cos()sin()d(dcosyxveu与yyzxxzzddd比较,得)cos()sin(yxyxxeyzxy 例例解解总结：总结：关于多元复合函数求偏导问题关于多元复合函数求偏导问题 这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几不求强记，而要切实做到彻
10、底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式：运用公式：用图示法表示出函数的复合关系用图示法表示出函数的复合关系函数对某个自变量的偏导数的结构函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）（项数及项的构成）的结构是求抽象的复合函的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键数的二阶偏导数的关键 ),(),(vufvufvu弄清弄清 ),(),(vufvufvu仍是复合函数仍是复合函数且复合结构与原来的且复合结构与原来的 f(u,v)完全相同完全相同即仍是以即仍是以 u,v 为中间变量，以为中间变量，以 x,y 为自变量的为自变量的
11、复合函数复合函数因此，求它们关于因此，求它们关于 x,y 的偏导数时必须使链式法则的偏导数时必须使链式法则),(vufuzu uvxyxvfxufvufxxvfxufvufxvvvuvuvuuu ),(),(在具体计算中最容易出错的地方是对在具体计算中最容易出错的地方是对),(vufu再求偏导数这一步再求偏导数这一步 是与是与 f(u,v)具具有相同结构的复合函数，易被误认为仅是有相同结构的复合函数，易被误认为仅是 u 的函数，从而导致漏掉的函数，从而导致漏掉这这一一项项uvf原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量注意引用这些
12、公式的条件注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续）外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导内层函数可导 的合并问题的合并问题视题设条件而定。视题设条件而定。(,)uf u v,uvvuff三、小结三、小结1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（理解其实质）（理解其实质）思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P31 题7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx)1(y12)(11yx22yxxy22vuuP31 题7;8(2);P73 题11机动 目录 上页 下页 返回
13、 结束 vuyvuxyxz,arctanP31 题8(2)xuy11f 11fyyu1f)(2yx2f z1zu2f)(2zy2121fzfyx22fzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyyxfu,1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f yex21f 23f 作业作业 P31 2;4;6;9;10;12(4);13 P73题 11第五节 目录 上页 下页 返回 结束 yexuyxufz,),(备用题备用题,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1.已知求.),(22xyyxf解解:由1),(2xxf两边对 x 求导,得02),(),(2221xxxfxx
14、fxxxf2),(211),(22xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.)1,1(,1()1(ff1)(dd3xxx1)1,1(f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf),(,(2xxfxf),(1xxf),(2xxf 1x 351,1)1,1(f,),(,()(xxfxfx,2)1,1(xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1,1(处可微,且设函数,3)1,1(yf解解:由题设23)32(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 不悲伤，定会快乐。不犹豫，定会坚持。不过，一切纪律都当小心地施用，除了诱导学生去把他们的工作完全作好以外，没有别种目的。夸美纽斯成功永远属于一直在跑的人。假如你从来未曾害怕受窘受伤害，那就是你从来没有冒过险。抛弃时间的人，时间也抛弃他。莎士比亚天空的高度是鸟儿飞出来的，水无论有多深是鱼儿游出来的。认真可以把事情做对，而用心却可以做到完美。不要在你的智慧中夹杂着傲慢。不要使你的谦虚心缺乏智慧。要想人前显贵，必得人后受罪。如果你不知道从哪里来，那么你就不知道到哪里去；如果你不知道该到哪里去，那么你就不能够持久的走在一条正确的道路上。名人之所以能够成为名人，是因为他们在同伴嬉乐或休息时不停地攀登；凡人之所以成为凡人，是因为别人忙于攀登时他却安然入睡。我不是天生的王者，但我骨子里流着不服输的血液。
