1、第九章 二重积分第一节第一节 二重积分的概念及其性质二重积分的概念及其性质第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算第三节第三节 二重积分的应用二重积分的应用第一节 二重积分的概念及其性质一、二重积分的概念一、二重积分的概念二、二重积分的性质二、二重积分的性质一、二重积分的概念（一）（一）曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积*高高特点：平顶特点：平顶.),(yxfz D柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限分割、求和、取极限”的方的方法，如下动画演示法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平
2、顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.),(lim10iiniifV xzyo),(iii（二）（二）平面薄片的质量平面薄片的质量 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块
3、质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量xyo),(iii如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域 D 上的二重积分，记为 Ddyxf),(，即 Ddyxf),(iiniif ),(lim10.),(,),(,),(,1积积分分和和叫叫做做，积积分分变变量量叫叫做做与与被被积积表表达达式式叫叫做做面面积积元元素素做做叫叫被被积积函函数数叫叫做做积积分分区区域域叫叫做做其其中中iiiniyxfyxdyxfdyxfD 对二重积分定义的说明对二重积分定义的说明：(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中
4、，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值二、二重积分的性质(,)(,)DDkf x y dkf x y d性质性质设设k为常数，为常数，性质性质2(,)(,)(,)(,)DDDf x yg x y df x y dg x y d DDDdyxfdyxfdyxf
5、12),(),(),(性质性质3 若积分区域若积分区域D被一条曲线分为两个部分被一条曲线分为两个部分D1,D2，则，则性质性质4(,)(,),(,)(,)DDDf x yg x yf x y dg x y d如果在积分区域 上恒有则 DMdyxfm ),(性质性质5 设设M,m是函数是函数f(x,y)在闭区域在闭区域D上的最大值与最小上的最大值与最小值值,是是D的面积的面积,则则 Dfdyxf ),(),(:),(,),(使使得得下下式式成成立立一一点点上上至至少少存存在在则则在在的的面面积积是是上上连连续续闭闭区区域域在在设设函函数数 DDDyxf)(6 二二重重积积分分的的中中值值定定理理
6、性性质质第二节 二重积分的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算二、二重积分在极坐标下的计算二、二重积分在极坐标下的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算如果积分区域为：如果积分区域为：,bxa ).()(21xyx X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1x)(2x,ba为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD a0 xbzyx应用计算应用计算“平行截面面积平行截面面积为已知的立体求体积为已知的立体求体积”的的方法方法)
7、(2xy),(yxfz)(0 xA)(1xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf X X型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴的直线与区域轴的直线与区域边界相交不多于两个交点边界相交不多于两个交点.Y Y型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x x轴的直线与区域边轴的直线与区域边界相交不多于两个交点界相交不多于两个交点.若
8、区域如图，若区域如图，则必须分割则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321 DDDD3D1D2D二、二重积分在极坐标下的计算 设有极坐标系下的积分区域设有极坐标系下的积分区域D,用一组以极点为圆心的同心圆用一组以极点为圆心的同心圆(r=常数常数)及过极点的一组射线及过极点的一组射线(=常数常数)将区域将区域D分割成分割成n个小区域个小区域.rr.dd)sin,cos(dd),(*DDrrrrfyxyxf dddrr 平面上的点的直角坐标平面上的点的直角坐标(x,y)与该点的极坐标与该点的极坐标(r,)之之间的关系：间的关系：x=rcos ,y=
9、rsin ，)()(,),(*21 rrrrD )()(21d)sin,cos(ddd)sin,cos(rrDrrrrfrrrrf(1)若极点若极点O在区域在区域D*之外之外,且且D*由射线由射线=,=和两和两条连续曲线条连续曲线r=r1()，r=r2()围成围成)(0,),(*rrrD )(0d)sin,cos(ddd)sin,cos(rDrrrrfrrrrf(2)若若r1()=0,即极点即极点O在区域在区域D*的边界上的边界上,且且D*由射由射线线=,=和连续曲线和连续曲线r=r()围成围成)(0,20),(*rrrD 20)(0d)sin,cos(ddd)sin,cos(rDrrrrfr
10、rrrf(3)若极点若极点O在区域在区域D*内内,且且D*的边界曲线为连续封的边界曲线为连续封闭曲线闭曲线r=r()(0 2)第三节 二重积分的应用一、几何应用一、几何应用二、物理应用二、物理应用一、几何应用（一）（一）求立体的体积和平面图形的面积求立体的体积和平面图形的面积例例1 计算由曲面计算由曲面2241yxz 及及 xoy 面所围的立体面所围的立体体积。体积。xyzo1121xyzo1121解解设立体在设立体在第一卦限上第一卦限上的体积为的体积为 V1。由立体的对称性，所求立由立体的对称性，所求立体体积体体积 V=4V1。121xyo241xy D立体在第一卦限部分可以看立体在第一卦限
11、部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲成是一个曲顶柱体，它的曲顶为顶为,4122yxz .410,210:2xyxD121xyo241xy D立体在第一卦限部分可以看立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲成是一个曲顶柱体，它的曲顶为顶为,4122yxz 它的底为它的底为于是，于是，dyxVD)41(221 dyyxdxx 241022210)41(2104103223)41(dxyyxx 2104103223)41(dxyyxx 210232)41(32dxxtxsin21 令令xt02102 204 cos2132 dtt)22143(31 16 所求立体的体积所求立体的体积14VV
12、.4 例例2 求两个圆柱面求两个圆柱面222Ryx 222 Rzx 及及所围所围的立体在第一卦限部分的体积。的立体在第一卦限部分的体积。xyzoRRRxyzoRRRRxyo22xRy RD解解所求立体所求立体可以看成可以看成是一个曲是一个曲顶柱体，顶柱体，它的曲顶为它的曲顶为,22xRz .0,0:22xRyRxD它的底为它的底为Rxyo22xRy RD,22xRz .0,0:22xRyRxD它的底为它的底为它的曲顶为它的曲顶为于是，立体体积为于是，立体体积为 dxRVD 22dyxRdxxRR 220220 RxRdxyxR002222 RdxxR022)(RxxR0323 .323R 例例
13、3 求球体求球体22224azyx 被圆柱面被圆柱面axyx222 )0(a所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解解显然，所求立体应在第一、显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。第四、第五、第八卦限。而且，四个卦限部分的体积而且，四个卦限部分的体积是对称相等的。是对称相等的。因此，若设第一卦限部分的体因此，若设第一卦限部分的体积为积为 V1，则所求立体的体积为，则所求立体的体积为.41VV xyzoa2a2a2V1 可以看成是一个曲顶柱体，可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的曲顶为xyzoa2a2a2.4222yxaz 22xaxy 它
14、的底它的底D 由半圆周由半圆周及及 x 轴围成。轴围成。a2xyo cos2ar D用极坐标系表示用极坐标系表示:D,20 .cos20 ar 于是，于是，dyxaVD 42221 drdrraD 422a2xyo cos2ar D dyxaVD 42221 drdrraD 422drrrada 4cos202220 )4(42122cos202220radrada 2033)sin1(38 da)322(383 a所求立体体积所求立体体积14VV )322(3323 a（二）（二）求曲面的面积求曲面的面积设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区
15、域为在在,Dd 设小区域设小区域,),(dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS.dsdAdAdsszd ，则有，则有为为；截切平面；截切平面为为截曲面截曲面轴的小柱面，轴的小柱面，于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以 如图，如图，d),(yxMdAxyzs o,面上的投影面上的投影在在为为因为因为xoydAd,cos dAd所以所以,11cos22yxff dffdAyx221 ,122 DyxdffA-曲面曲面 S 的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyyzxzAxyD 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy
16、 曲面面积公式为：曲面面积公式为：.122dzdxxyzyAzxD 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：;122dydzzxyxAyzD 同理可得同理可得二、物理应用（一）（一）平面薄片的质量平面薄片的质量设设xoy平面上有平面上有n个质点，它们分别位于个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别处，质量分别为为nmmm,21 则该质点系的则该质点系的重心重心的坐标为的坐标为 niiniiiymxmMMx11，niiniiixmymMMy11 二、平面薄片的质心当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 DxdAx.1 DydAy DdA 其中其中,),(),(DDdyxdyxxx .),(),(DDdyxdyxyy 由元素法由元素法设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点，在点 ),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx，假定，假定),(yx 在在D上连上连 续，平面薄片的重心续，平面薄片的重心 闭区域闭区域 D 的面积的面积
