1、高 等 数 学 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节定积分的概念与性质第二节 微积分基本定理第三节定积分的换元积分法与分部积分法第四节广义积分第五节定积分的应用第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分问题举例一例51 求曲边梯形的面积。曲边梯形：设函数y=f(x)在区间a,b上非负、连续。由曲线y=f(x)及直线x=a、x=b、x轴所围成的平面图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边。如图5-1所示。由于曲边梯形的高度f(x)在区间a,b上是变动的,故不能利用矩形面积公式直接计算.为了计算曲边梯形的面积,我们采用如下做法。如图5-2所示。第一节第一节 定积分的概念与性质定
2、积分的概念与性质图51图52第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质为方便起见,我们也用A1,A2,A3,An表示相应小曲边梯形的面积。在每个小区间xI1,xi上任取一点i,并以f(i)为高、xi1,xi为底作一小矩形,则有Aif(i)(xixi1)。由于函数f(x)在区间a,b上连续,当分割非常细时,在每个小区间上f(x)的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似代替相应小曲边梯形的面积,即Aif(i)(xixi1)(i=1,2,n).第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质求曲边梯形面积的这种方法概括起来就是“分割、近似、求和、取极限”的过程。由于曲边梯形的面积是一个客
3、观存在的常量,所以上述极限值与对区间a,b的分割方法以及点i的取法无关。第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念二定义51 设f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入n1个分点a=x0 x1x2xn1xn=b把区间a,b分割成n个小区间x0,x1,x1,x2,xn1,xn各小区间的长度依次为x1=x1x0,x2=x2x1,xn=xnxn1第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质可积条件三对于定积分有这样一个重要的问题：函数f(x)在a,b上满足什么条件时,f(x
4、)在a,b上一定可积？这个问题我们不做深入讨论,只给出以下几个定理。定理51(必要条件)若函数f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上有界。定理52(充分条件)若函数f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上可积。定理53 若函数f(x)在a,b上具有有限个第一类间断点,则f(x)在a,b上可积。第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的几何意义四第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质图53图54图55第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的性质五第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质4表明无论点c是区间a,b的内分点还是外分
5、点,这一性质均成立。这个性质只用几何图形加以说明。若c是内分点,由图56可以看出,曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形AacC的面积加曲边梯形CcbB的面积；若c是外分点,由图57可以看出,曲边梯形AabB的面积等于曲边梯形AacC的面积减去曲边梯形BbcC的面积。第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质图56图57第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质这个性质的几何意义是由曲线y=f(x)及直线x=a、x=b、x轴所围成的曲边梯形的面积等于区间a,b上某个矩形的面积,其中矩形的底是区间a,b,高为区间a,b内某一点处的函数值f()（如图58所示）。图58第二节第二节 微积
6、分基本定理微积分基本定理变上限定积分一第二节第二节 微积分基本定理微积分基本定理第二节第二节 微积分基本定理微积分基本定理牛顿莱布尼茨公式二第二节第二节 微积分基本定理微积分基本定理这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系。其几何意义表示图59中阴影部分所示的面积。图59第二节第二节 微积分基本定理微积分基本定理第三节第三节 定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法与分部积分法换元积分法一定理56 若函数f(x)在区间a,b上连续,又函数x=(t)满足下列条件：(1)()=a,()=b,且a(t)b,(t)；(2)(t)在,上具有连续导数上述公式称为定积分换元公
7、式.在应用换元公式x=(t)时要特别注意：用变换把原来的积分变量x换为新变量t时,原积分限也要相应换成新变量t的积分限,也就是说,换元的同时也要换限。换元时原上限对应新上限,原下限对应新下限。第三节第三节 定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法与分部积分法定理57的几何意义表明了一个具有普遍意义的性质：奇函数在关于原点对称的区间上定积分为零(如图510所示)；偶函数在关于原点对称的区间上定积分为其一半区间上的两倍(如图511所示)。第三节第三节 定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法与分部积分法图510 图511第三节第三节 定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法
8、与分部积分法分部积分法二第三节第三节 定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法与分部积分法第四节第四节 广广 义义 积积 分分无限区间上的广义积分一第四节第四节 广广 义义 积积 分分为了简便起见,我们一般仿照正常积分的牛顿莱布尼茨公式的表达形式,将广义积分形式地写为该式中只要将积分上限理解为极限过程即可。图512中介于曲线y=f(x)、直线x=a以及x轴之间的一块向右无限延伸的阴影区域的面积。图512第四节第四节 广广 义义 积积 分分第四节第四节 广广 义义 积积 分分无界函数的广义积分二第四节第四节 广广 义义 积积 分分第五节第五节 定积分的应用定积分的应用定积分的微元法一定积
9、分的应用问题中,一般总可按“分割、近似求和、取极限”三个步骤来进行,最终把所求的量表示为定积分的形式。在应用学科中广泛采用的方法是将所求量U（总量）表示为定积分的方法,即微元法,这个方法的主要步骤如下：(1)由分割写出微元。根据具体问题选取一个积分变量,如选x为积分变量,并确定它的变化区间a,b,任取a,b的一个子区间x,x+dx(称为区间微元),求出对应于这个区间微元上部分量U的近似值,即求 UdU=f(x)dx第五节第五节 定积分的应用定积分的应用平面图形的面积二设函数y=f(x)在区间a,b上连续,求由连续曲线y=f(x)及直线x=a,x=b,x轴所围成的平面图形面积A(ab),如图51
10、3和图514所示。第五节第五节 定积分的应用定积分的应用图513 图514第五节第五节 定积分的应用定积分的应用例523 求由曲线y=x3与直线x=1,x=2及x轴所围成的平面图形的面积(如图515所示)。图515第五节第五节 定积分的应用定积分的应用下面讨论由连续曲线y=f(x)、y=g(x)和直线x=a,x=b所围成的平面图形的面积的求法(ab),如图516所示。同理可知,若曲线x=(y),x=(y)在区间c,d上连续,如果选择y为积分变量,则由曲线x=(y),x=(y)与直线x=c,x=d所围成的平面图形(如图517所示)的面积。第五节第五节 定积分的应用定积分的应用图516 图517第
11、五节第五节 定积分的应用定积分的应用例524 计算由抛物线y=x2及x=y2所围成的平面图形的面积。解 作出图形，如图518所示。求出曲线y=x2和曲线x=y2的交点坐标为(0,0),(1,1)图518第五节第五节 定积分的应用定积分的应用例525 求由抛物线4y2=x与直线所围成的面积。解 作出图形,如图519所示。若选y为积分变量,则所求面积不需要分块,计算也将变得简单,如图520所示。第五节第五节 定积分的应用定积分的应用图519图520第五节第五节 定积分的应用定积分的应用旋转体的体积三一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体,该直线称为旋转体的旋转轴。例如,圆柱、圆锥
12、和球体可以依次看成由矩形、直角三角形和半圆绕相应的旋转轴旋转一周而成的旋转体。现在求由连续曲线y=f(x)及直线x=a,x=b,x轴所围成的曲边梯形,绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积,如图521所示。类似地,可以得到由连续曲线x=(y)及直线y=c,y=d,y轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积,如图522所示。第五节第五节 定积分的应用定积分的应用图521图522第五节第五节 定积分的应用定积分的应用事实上,公式(57)中的被积表达式f(x)2dx就是过积分区间a,b上任一点x处所作垂直于x轴的旋转体的一横截面面积,这就是说,若已知旋转体的一横截面(垂直于x轴)面积的表达式,即可写出旋转体体积的定积分表达式。第五节第五节 定积分的应用定积分的应用例526 求由曲线y=x2,y=2x2所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积。画出草图(如图523所示)。图523第五节第五节 定积分的应用定积分的应用如图524所示,该旋转体可视为由上半椭圆，轴所围成的图形绕x轴旋转而成的立体。图524Thank You!
