1、1 1/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导一、一、y(n)=f(x)型型四、小结四、小结 二、二、型型(,)yf x y 三、三、型型(,)yf y y 2 2/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导在实际际问题中除了前面讨论过的一阶微分方程在实际际问题中除了前面讨论过的一阶微分方程外，还将遇到一些其他类型的非一阶的微分方程外，还将遇到一些其他类型的
2、非一阶的微分方程.我们我们把二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程把二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.一般一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，利用变换把高阶方程的求解问题化为较低则是降阶，利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程来求解阶的方程来求解.因为一般说来，低阶方程的求解会因为一般说来，低阶方程的求解会比求解高阶的方程方便些比求解高阶的方程方便些.本节主要讨论三种特殊的本节主要讨论三种特殊的高阶微分方程高阶微分方程.3 3/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预
3、备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导一、一、y(n)=f(x)型型21)2()(CdxCdxxfyn 方程的解法方程的解法 积分积分n次次 1)1()(Cdxxfyn 1)1()(Cdxxfyn 21)2()(CdxCdxxfyn 例例1 1 求方程求方程xy(4)-=0 =0 的通解的通解.y 解解 令令 y =P(x)，代入方程，得，代入方程，得 P-P=0，（，（P0）x 解线性方程，得解线性方程，得P=1xc即即 1yxc 两边积分，得两边积分，得y=21212c xc y 31236xcxcc 再积分，得到所求方程的通解为再积分，得到所求方程
4、的通解为 y=421234242xccxxcc 4 4/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导特点：特点：右端不含右端不含 y 解法：解法：降阶降阶令令 ()yp x py 代入原方程得代入原方程得),(pxfdxdp 若已求得其通解为若已求得其通解为),(1cxp 回代回代 py 得得),(1cxdxdy 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程积分得积分得1(,)yx c dx 二、二、型型(,)yf x y 5 5/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常
5、微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导例例2 2 解方程解方程2(1)2.xyxy解解令令()yp x xppx2)1(2 分离变量得分离变量得212xxpdp 12ln)1ln(lncxp 即即)1(21xcp )1(21xcy 对上式再积分，得原方程的通解对上式再积分，得原方程的通解 312()3yxxcc二、二、型型(,)yf x y 6 6/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导三、三、型型(,)
6、yf y y 特点：特点：右端不含右端不含 x降阶降阶解法：解法：令令()dyyp ydx dxdpy 由复合函数求导法则得由复合函数求导法则得dxdydydpdxdpy dydpp 代入原方程得代入原方程得 ),(pyfdydpp 这是一个关于这是一个关于 y，p 的一阶方程的一阶方程7 7/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导三、三、型型(,)yf y y 若已求得它的通解为若已求得它的通解为),(1cypy 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程积分得积分得21)
7、,(1cxdycy 8 8/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导例例 3 320.yyy求求方方程程的的通通解解解：解：),(ypy 设设,dydPpy 则则代入原方程得代入原方程得 ,02 PdydPPy,0)(PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可可得得,1yCdxdy 原方程通解为原方程通解为.12xceCy 三、三、型型(,)yf y y 9 9/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目
8、的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导四、小结四、小结1 1、y(n)=f(x)型型方程的解法方程的解法 积分积分n次次 1)1()(Cdxxfyn 1)1()(Cdxxfyn 21)2()(CdxCdxxfyn 特点：特点：右端不含右端不含 y 降阶降阶令令 ()yp x py 代入原方程代入原方程2 2、型型(,)yf x y 1010/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导四、小结四、小结3 3、型型(,)yf y y 特点：特点：右端不含右端不含
9、 x降阶降阶令令()dyyp ydx dpdpypdxdy 代入原方程得代入原方程得 1111/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导本节的重点与难点重点重点难点难点降阶法解微分方程降阶法解微分方程 ()()nyf x 降阶法解微分方程降阶法解微分方程 (,)yf x y 降阶法解微分方程降阶法解微分方程 (,)yf y y 降阶法解微分方程降阶法解微分方程 (,)yf y y 1212/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预
10、备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导本节的学习目的与要求 1.会用降阶法解微分方程会用降阶法解微分方程 ;()()nyf x 2.会用降阶法解微分方程会用降阶法解微分方程 ;(,)yf x y 3.会用降阶法解微分方程会用降阶法解微分方程 .(,)yf y y 1313/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导预备知识预备知识1.1.可分离变量的微分方程的解法可分离变量的微分方程的解法（2 2）两端积分）两端积分 （1 1）分离变量）分离
11、变量；ddyf xg yx2.2.求下列不定积分求下列不定积分y dx yc 221xdxx 2ln(1)xc1414/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导2.一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程)()(ddxQyxPxy方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程,再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化为线性方程求解化为线性方程求解.3.伯努利方程伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0
12、(n预备知识预备知识1515/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导 3221221sin81CxCxCxeyx 解解 对所给方程接连积分三次对所给方程接连积分三次 得得 1.求微分方程求微分方程ye2xcos x 的通解的通解 12sin21Cxeyx 212cos41CxCxeyx 这就是所给方程的通解这就是所给方程的通解 1616/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练
13、习练习复习复习指导指导解方程解方程2)(1yy 解解pypy 令21pdxdp dxpdp 211arctancxp 即即)tan(1cxp dxcxy)tan(121)cos(lnccx 2.2.1717/10/10 第八章第八章第八章第八章第八章第八章 常微分方程常微分方程常微分方程预备预备知识知识目的目的要求要求重点重点难点难点课堂课堂练习练习复习复习指导指导3.解方程解方程3)(yyy 解解令令py dydppy )1(2ppdydpp 若若0 p21pdydp 1arctancyp 即即)tan(1cyp dxcydy )tan(1积分得积分得21)sin(lncxcy 即即xeccy21)sin(或或12)arcsin(cecyx 若若0 p则则cy 包含在通解中包含在通解中
