1、11TT()(),1,2,;nikkjijknkijkijka aa ai jnAAAE证明矩阵的各列 或行 元素满足正交条件或根据正交矩阵的定义，先求出，然后计算方方法法一一：方方法法二二：一、证明所给矩阵为正交矩阵TTTTTTTTTTTTTTT ,2 .()22 ()()22 )(nn设 是阶列向量是阶单位矩阵证明是正交矩阵证明：先证明，然后根据正交矩阵的定义证例 1.明a EAEaaa aAAAAEAEaaEaaAa aa aA AAAEaaEaaa aa aTTTTTTTTTTTTT2TTTTTTTTTT22()()22 ()()44()()()0 ()()44 ()()Eaaaaa
2、aa aaaaaa aa aEaaa a a aa aa aa0a aa a a aa a aaA AEaaaaEa aa aA，故是正交矩阵。将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化。1 2 3111100 ,010001,已知向量是线性无关向量组 求与之等价的正交单例 2.位向量组。二、将线性无关向量组化为正交单位向量组1121221121112T1211222113112233211322121122(1)(2),0,1,(1 0)2(3),11,2,3kkkkkkk 先正交化，再单位化取令使得与 正交,故,令且法一：与解正交得T111333
3、3123T111T222T333(1).(4),22 (0 0)22666 (0)6633333 ();6662 故将单位化 得T1111121121T122T22222(1)(0 0)22(2),211,(1 0)222666(0)663kk 同时进行正交化与单位化取令使得与 正解二：交故法得31 1223321113222T3T333(3),26 ,261 1 1 (1)3 3 33333()6662kkkk 令且与,正交得故第一步第一步计算 A 的特征多项式；第二步第二步求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部特征值；第三步第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特
4、征值的特征向量。三、特征值与特征向量的求法23243202 423.324()22(8).(1)423(),.ff例3.AAEAA计算 阶矩阵的全部特征值和特征向量第一步，计算的特征多项式第二步，求出特征多项式的全部根 即解的全部特征值：12311123123123T11111()0,8,1,.8,()05240 28204250(2 1 2).8(0)fxxxxxxxxxxkk AAEA令解之得求的全部特征值第三步：求出 的全部特征向量当求对应线性方程组的一组基础解系。即化简求得此方程组的一组基础解系所以 对于的全部特征向量为的实数232123123123TT23232322331,():4
5、240,220,4240,:(1 0 1)(1 2 0)1(,xxxxxxxxxxkkk k EA0A同理对求相应线性方程组的一个基础解系求解得此方程组的一个基础解系于是 的属于的全部特征向量为：是不全112233.),kkkA为零的实数从而，的全部特征向量为112111111 ,.()()niinff 例 4.PAPAAAPPAP APEP APP PP APEA PEAP设阶方阵 的全部特征值为属于的特征向量为求的特征值与特征向量首先证明 与有相同的特征值只需证明它们有相同的特征多项式解：四、已知A的特征值，求与A相关矩阵的特征值112111111111111111,()0,()()(),
6、()()()0,()()(),niiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiAPPAEAEAPPAPPPPEA PPEAPEA PPPPPEAPAPPPPAPPP P AP就是的全部特征值其次求属于 的特征向量即又即故是属.i于 的特征向量T1110TTT ,()(1)(2),(1)()()().nnnTnfEaaaff例5.AAAAAAAAEAEAEAAA-1设是阶方阵 其特征多项式为求：求的特征多项式当非奇异时 求的特征多项式.与有相同的特征多项式五、求方阵A的特征多项式121111212111000(2),111()()()()1.nnnnnnAfaaaaa AAAEA-1-1-1-1设
7、是 的全部特征值 则是的全部特征值 故的特征多项式为13223123212332 3 3 1,1,2,5,;5 ()5,()(13 )()5 nif xxxfif 1.6.例ABAABAEAAAAAAAAA设是 阶矩阵，它的个特征值为设求利用的行列式与特征用特征根计算方阵的行列式解：值的重要关系来计算。令因为是的全部特征值；所以是的全部特征值。故六、关于特征值的其它问题123123123()()()()(4)(6)(12)288.5 ()5,1,1,2,()(),(),()5()(1)(1)(2)72.ffffggggggggg AAEAAEAAAEA下面求令因为的所有特征值为所以的所有特征值
8、为方法一：12312323222 1,1,2,1(1)22.5(5),|5,|1,1,2,()(1)(1)(2),5(5)(5 1)(5288,5288/472.|1)(AAAEAfEAf AABAAAAEBAAEBBAEA方法二：方法三因因为 的所有特征值为所以为的所有特但：征值为故又352)72,5572.(1)AEEA 2212 ,0,;,0,.,(1)8?(2),1,?(1)1,1,8 kkkkkkknk 2.例 7.AEAEAAEAEAAAEEAAAEAAEAEA当是的特征值时不可逆当不是的特征值时可逆设为阶方阵若，是否可逆设是的特征值 且是否可逆用方阵的特征值，来讨解：的特征值为故
9、论的可逆性不 ,8 1.kk AEAEA是的特征值 从而可逆。一般地，对，均可逆(2)1 1 10 (1)0 ()(1)0 ()(1)0 .nn AEAEAEAEAAEAEEAAEAEAEAE因为，所以不是的特征值，于是又故均为可逆矩阵七、判断方阵A可否对角化 nnAA矩阵可对角化的充要条件是有个互异的特征值或有个线性无关的特征向量。00 0 11 22 0 (1)?(2),0(),nni jnaaaaji例 8.AAA设是阶下三角阵，在什么条件下 可对角化如果且至少有一证明不可对角化。1121 22 1 2 11 22 11 22 000(1)()()()().()0,()()()0,(1)
10、(,1,2,)nnnnnnnniiiijaaaaaaaaafaaafainij i jn AAAEAA令即得的所有特征值：当解：时，即当 aaiijjA时，可对角化。112 11 111 11 11 1111 11 11 11 (,)(1)(1)()(2)niiiiidiaginaaaaaaaaaa APP APAP APEAPE PPPE若可对角化，则存在可用反逆矩阵，使是的特征值，由可知，所以这与至少有一个证法：0 0000(),jjiA矛盾 故不可对角化。*321.2 ,2.1,1,2,23 1 1 014 13.4 3 0130 10 2002 2 1(),n AAAABAAABAAA
11、BA设是阶方阵，是的伴随矩阵，则方阵的特征值是特征向量是三阶方阵的特征值为则的特征值为设、，且的特征值为和二重 2 0 02 004.0 0 1 00 0 010 1 yxxyBAB那么的特征值为已知矩阵与相似，则八、综合练习1233 0 1 2 13 ,(1)1 2 3(2)2 6.,12 20 0 010,0 1 0000 0 1(1);(2),7.1,2,1,23,(ttyxxyA5.AABABPP APBBAAA设是矩阵的特征值 求的值对应于的所有特征向量。设矩阵 与 相似 其中求 和 的值求可逆阵使得已知三阶矩阵 的特征值为设矩阵试求21);(2)3.BBAE矩阵 的特征值及其相似对角矩阵行列式及的值1322208.(7)212?020,.9.,3,.10.,:.11.,:(1)0,0,(2),.kkAAnAAAEAABABABAnAAAAEA UUAU分 判断矩阵可否对角化若可对角化 求出可逆矩阵使为对角矩阵设 为 阶实对称矩阵 且满足证明 是正定的矩阵设 与 是正定矩阵 证明是正定矩阵的充要条件是 与 可交换设 为 阶实方阵 证明若但则 不可相似于对角阵若则 相似于对角阵
