1、8/6/20222011年广州市初三数学市教研1在中考复习中如何在中考复习中如何讲题？讲题？广州市五羊中学广州市五羊中学 高惠平高惠平8/6/20222011年广州市初三数学市教研2在中考复习中如何在中考复习中如何讲题？讲题？n讲题，是每个数学教师的常规工作之一。通过讲题，梳理知识脉络，归纳解题方法，提炼数学思想方法，提升学生的思维水平和数学素养。在初三数学总复习中讲题，更是承担着重要的作用。8/6/20222011年广州市初三数学市教研3在中考复习中如何讲题？在中考复习中如何讲题？1为什么讲？为什么讲？讲题的目标讲题的目标2讲什么？讲什么？讲题的内容讲题的内容3怎么讲？怎么讲？讲题的实施讲题
2、的实施8/6/20222011年广州市初三数学市教研4一、关于“为什么讲？”讲题的目标设计n梳理知识脉络n归纳解题方法n提炼数学思想方法n提升学生的思维水平和数学素养 8/6/20222011年广州市初三数学市教研5一、一、“为什么讲？为什么讲？”讲题目标设计讲题目标设计n初三复习中对题目的讲解，要初三复习中对题目的讲解，要以知识脉络为线索回顾所涉及以知识脉络为线索回顾所涉及到的到的知识点知识点、联想运用这些知、联想运用这些知识所涉及到的识所涉及到的一般方法或数学一般方法或数学模型模型，主要突出对解题思路的，主要突出对解题思路的探索、解题方法的归纳和解题探索、解题方法的归纳和解题经验的总结。经
3、验的总结。8/6/20222011年广州市初三数学市教研6一、关于一、关于“为什么讲？为什么讲？”讲题目标设计讲题目标设计n通过讲题，使学生能够：通过讲题，使学生能够：内化知识，内化知识，收获思想，收获思想，领悟方法，领悟方法，掌握解决问题的策略，掌握解决问题的策略，也为学生以后的工作学习也为学生以后的工作学习提升素质与能力。提升素质与能力。8/6/20222011年广州市初三数学市教研7二、关于“讲什么？”讲题的内容n通过教师讲题，引导学生“学什么”和“怎么学”n引导学生将教师讲的内容变成自己的东西：知道理解内化那是什么那是什么怎样得到怎样得到我能做什么我能做什么8/6/20222011年广
4、州市初三数学市教研8二、关于“讲什么？”讲题的内容n其间要引导学生说出其间要引导学生说出“如何想如何想?”、“有何困有何困惑惑?”，再将教师思考问题的过程有序地展示。，再将教师思考问题的过程有序地展示。n但这种思考问题的过程并非是教师个人解题但这种思考问题的过程并非是教师个人解题经验的炫耀，而是以学生的知识贮备、思维经验的炫耀，而是以学生的知识贮备、思维水平、解题能力为基点的，与学生数学学习水平、解题能力为基点的，与学生数学学习经验相适应的探索数学解题方法的过程的展经验相适应的探索数学解题方法的过程的展现。现。n因此，引导学生因此，引导学生“怎么学怎么学”对学生数学学习对学生数学学习经验的丰富
5、具有更重要的意义，也对学生解经验的丰富具有更重要的意义，也对学生解决问题的能力有深远的影响。决问题的能力有深远的影响。8/6/20222011年广州市初三数学市教研9三、关于“如何讲”讲题的方法n解数学题一般可分解数学题一般可分为三个步骤：为三个步骤：u审题审题,理解题意理解题意（明确已知和结（明确已知和结论）论）u探求解题思路探求解题思路u正确解答正确解答n教师讲题的四个步教师讲题的四个步骤：骤：u审清题意审清题意u分析问题分析问题u解题过程解题过程u题后反思题后反思8/6/20222011年广州市初三数学市教研10教师讲题的四个步骤：教师讲题的四个步骤：第一步：审清题意第一步：审清题意n通
6、过读题，能直接找到什么？n要得到的结论是什么？n图形中或题目中隐含的条件是什么？8/6/20222011年广州市初三数学市教研11教师讲题的四个步骤：教师讲题的四个步骤：第二步：分析问题第二步：分析问题n可以联想到什么知识点或数学模型？可以联想到什么知识点或数学模型？n从已知条件出发，能得出哪些中间从已知条件出发，能得出哪些中间结论？（据因求果）结论？（据因求果）n从结论出发，寻找需要的条件？从结论出发，寻找需要的条件？（执果索因）（执果索因）8/6/20222011年广州市初三数学市教研12n逻辑推理逻辑推理n规范表述规范表述n注意容易混淆和出错的地方注意容易混淆和出错的地方 教师讲题的四个
7、步骤：教师讲题的四个步骤：第三步：解题过程第三步：解题过程8/6/20222011年广州市初三数学市教研13n海珠区的教研员罗晓斌老师对讲题后如何指导学生海珠区的教研员罗晓斌老师对讲题后如何指导学生进行解题后的反思做了如下的具体说明：进行解题后的反思做了如下的具体说明：n1.反思思维过程反思思维过程n2.反思解题过程反思解题过程 n3.反思一题多解反思一题多解 n4.反思一题多变反思一题多变 n5.反思对题目的整体印象反思对题目的整体印象 教师讲题的四个步骤：教师讲题的四个步骤：第四步：题后反思第四步：题后反思8/6/20222011年广州市初三数学市教研14教师讲题的四个步骤：教师讲题的四个
8、步骤：第四步：题后反思第四步：题后反思n 题目中或图形中有没有容易被忽略的隐含题目中或图形中有没有容易被忽略的隐含 条件？怎样找出来的？条件？怎样找出来的？n 是否有多种解题思路？是否有多种解题思路？n 蕴含了哪些数学思想方法？蕴含了哪些数学思想方法？n 是否用到某种常用的数学模型（数量关系是否用到某种常用的数学模型（数量关系 或几何构图）？或几何构图）？n 解题过程中是否有得分的关键步骤有缺失？解题过程中是否有得分的关键步骤有缺失？是否能预防预警？是否能预防预警？n 寻找解题思路的过程中，自己容易疏忽的寻找解题思路的过程中，自己容易疏忽的 地方是哪里？地方是哪里？n 自己最欣赏此题的哪一部分
9、？自己最欣赏此题的哪一部分？n变式举例。变式举例。8/6/20222011年广州市初三数学市教研15明确两点：n1.教师讲题的对象是学生！教师讲题的对象是学生！n2.教师在讲题前既要从自己做题的角度去教师在讲题前既要从自己做题的角度去揣摩习题，还要以学生做题的角度去思揣摩习题，还要以学生做题的角度去思考习题，更要以命题者的角度去审视题考习题，更要以命题者的角度去审视题目，只有这样，才能最大限度的挖掘习目，只有这样，才能最大限度的挖掘习题的潜能，提高讲题的效率。题的潜能，提高讲题的效率。8/6/20222011年广州市初三数学市教研16综合题讲题举例8/6/20222011年广州市初三数学市教研
10、17什么是什么是“综合题综合题”？n所谓综合题，就是横跨两个或两个以上所谓综合题，就是横跨两个或两个以上知识块的具有一定复杂性、有一定难度知识块的具有一定复杂性、有一定难度的问题，需要利用包含两个或两个以上的问题，需要利用包含两个或两个以上知识块中的若干知识点，经过适当的计知识块中的若干知识点，经过适当的计算和推理才能获解的问题。在初中数学算和推理才能获解的问题。在初中数学中，综合题往往涉及到代数、几何或概中，综合题往往涉及到代数、几何或概率统计等多个知识点、多项基本技能、率统计等多个知识点、多项基本技能、多种数学思想方法。多种数学思想方法。8/6/20222011年广州市初三数学市教研18数
11、学思想是综合题的灵魂n解数学综合题必须要有解数学综合题必须要有科学的分析问题的方科学的分析问题的方法法，数学思想是数学综合题的灵魂。，数学思想是数学综合题的灵魂。n教师通过讲题，引导学生领悟和总结解数学教师通过讲题，引导学生领悟和总结解数学综合题中所隐含的重要的数学转化思想、数综合题中所隐含的重要的数学转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、图形结合思想、分类讨论思想、方程思想、图形变换思想等等，并结合实际问题及变式问形变换思想等等，并结合实际问题及变式问题加以领会和掌握，这是学生掌握解综合题题加以领会和掌握，这是学生掌握解综合题方法的关键，是教师讲解综合题要达到的一方法的关键，是教师
12、讲解综合题要达到的一个目标。个目标。8/6/20222011年广州市初三数学市教研19已知关于已知关于 x 的一元二次方程的一元二次方程)0(012abxax有两个相等有两个相等 的实数根，的实数根，求求4)2(222baab的值。的值。【审清题意【审清题意】1.已知一元二次方程根的情况，已知一元二次方程根的情况，相应的知识点：根的判别式；相应的知识点：根的判别式；2.求代数式的值，有可能是具体的数值求代数式的值，有可能是具体的数值3.关键：有两个字母关键：有两个字母a、b，如何处理？，如何处理？【题后反思】核心知识；易错、易失分点；转化思想与消元方【题后反思】核心知识；易错、易失分点；转化思
13、想与消元方法法【分析问题【分析问题】从根的判别式得出从根的判别式得出b2-4a=0,可转化成可转化成b2=4a，作用：代入所求，作用：代入所求的式子，消元。二元化一元后，再化简所求式子。的式子，消元。二元化一元后，再化简所求式子。例例1.2010年广州市第年广州市第19题题初中数学专题讲座与测评初中数学专题讲座与测评P5、P298/6/20222011年广州市初三数学市教研20变式举例已已知知210 xy，求求222()()2()2xyxyy xyy的的值值。已知已知21ab，求，求abababbababa2222222的值。的值。8/6/20222011年广州市初三数学市教研21例例2.20
14、10年广州市第年广州市第23题题初中数学专题讲座与测评初中数学专题讲座与测评P8、P33 BAOCyx已知反比例函数已知反比例函数 y8mx(m 为常数为常数)的图象经过点的图象经过点 A（1，6）（1）求）求 m 的值；的值；（2）如图）如图 9，过点，过点 A 作直线作直线 AC 与函数与函数 y8mx的图象交于点的图象交于点 B，与与 x 轴交于点轴交于点 C，且，且 AB2BC，求点，求点 C 的坐标的坐标 第（第（2）小题）小题【审清题意【审清题意】1.点点A、B在双曲线上在双曲线上反比例函数反比例函数A、B、C三点在同一直线上三点在同一直线上一次函数一次函数2.点点C在在x轴上轴上
15、纵坐标为纵坐标为03.AB=2BC A、B、C三点的线段比三点的线段比4.求点求点C坐标，即求点坐标，即求点C的横坐标。的横坐标。【分析问题】关键：【分析问题】关键：点的坐标转为线段；利用线段构造相似点的坐标转为线段；利用线段构造相似三角形；三角形；疑惑：求疑惑：求OC的长，还是求的长，还是求AB的解析式？的解析式？BAOCyx8/6/20222011年广州市初三数学市教研22变式：越秀区初二数学上学期期末考第21题如如图图，在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，点点A A（4 4,4 4），B B（2 2,-4 4）若若点点A A关关于于x轴轴、y轴轴的的对对称称点点分分别别是是点点C C、
16、D D，请请分分别别写写出出点点C C、D D的的坐坐标标；在在y轴轴上上求求作作一一点点P P，使使PAPB最最小小（不不写写作作法法，保保留留作作图图痕痕迹迹）；(3 3)在在（2 2）中中，求求出出P P点点的的坐坐标标 x y O.A A.B B PA【题后反思【题后反思】核心知识；核心知识；易错、易失分点；易错、易失分点；分析问题的方法。分析问题的方法。8/6/20222011年广州市初三数学市教研23例3.2009年广州市第10题初中数学专题讲座与测评P44【考题精练】第2题10.如图如图 6，在，在ABCD 中，中，AB=6，AD=9，BAD 的平分线交的平分线交 BC 于点于点
17、 E，交交 DC 的延长线于点的延长线于点 F，BGAE，垂足为，垂足为 G，BG=24，则则CEF 的周长为（的周长为（）（A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.5 【审题【审题】1.抓关键字眼：抓关键字眼：ABCD、BAD的平分线、垂直，作必要的标记的平分线、垂直，作必要的标记2.在图中标出已知数据及相等的线段、相等的角；在图中标出已知数据及相等的线段、相等的角；3.分解图形：分解图形：8字图，字图，A字图、等腰三角形。字图、等腰三角形。【题后反思】梳理解题所用的各个概念与定理（核心知识）；【题后反思】梳理解题所用的各个概念与定理（核心知识）；分解图形发现的盲点；转化思想；多种解法
18、分解图形发现的盲点；转化思想；多种解法【变式：小题大做，降低难度【变式：小题大做，降低难度】（1）与）与CEF相似的三角形有几个？选其中一个加相似的三角形有几个？选其中一个加以证明；以证明；（2）判断图中有几个等腰三角形？）判断图中有几个等腰三角形？（3）求）求AE的长；（的长；（4）求）求ABCD的面积。的面积。8/6/20222011年广州市初三数学市教研24例4.2010年四川眉山市第24题初中数学专题讲座与测评P13?F?E?C?B?A?B?C如图，如图，RtAB C 是由是由 RtABC 绕点绕点 A 顺时针旋顺时针旋转得到的，转得到的，连结连结 CC 交斜边于点交斜边于点 E，CC
19、 的延长线交的延长线交 BB 于点于点 F（1）证明：）证明：ACEFBE；（2）设）设ABC=，CAC =，试探索，试探索、满足什么关系时，满足什么关系时，ACE 与与FBE 是全等三角是全等三角形形，并说明理由，并说明理由 8/6/20222011年广州市初三数学市教研25图形的研究方法：n【审清题意】n 1.观察图形，直观感知常见的几何构图：如8字图、A字图、直角三角形的两锐角互余等等。n2.画图引入适当的符号，数形结合，题意直观化。n（1）图中有两个全等三角形的对应边；（2）旋转角相等等。n 3.分拆图形：n4.隐含条件：对顶角相等。n5.隐含结论：顶角相等的两个等腰三角形相似（两边对
20、应成比例且夹角相等），或顶角相等的两个等腰三角形的底角相等（等边对等角，三角形的内角和）。（这是突破此题的一个关键点！）n【分析问题】执果索因分拆图形分拆图形图形的再发现图形的再发现旋转图中的两个三角形旋转图中的两个三角形都是等腰三角形！都是等腰三角形！8/6/20222011年广州市初三数学市教研26【题后反思】n1、旋转不变性是图形的本质属性，在图形运动的、旋转不变性是图形的本质属性，在图形运动的过程中获得的全等三角形，因其对应边的位置关过程中获得的全等三角形，因其对应边的位置关系及数量关系所构造出等腰三角形，是一种常见系及数量关系所构造出等腰三角形，是一种常见到的构图。对复杂的复合图形进
21、行分解，可以获到的构图。对复杂的复合图形进行分解，可以获取基本图形的性质。取基本图形的性质。n2、本题主要用到了图形变换的数学方法和转化、本题主要用到了图形变换的数学方法和转化、化归的数学思想，其中由等腰三角形等边对等角化归的数学思想，其中由等腰三角形等边对等角及直角三角形两锐角互余的性质也体现了由及直角三角形两锐角互余的性质也体现了由形入形入数数的数形结合的思想方法。的数形结合的思想方法。n3、在有关轴对称、平移、旋转等图形全等变换的、在有关轴对称、平移、旋转等图形全等变换的问题中，规范地正确书写全等三角形的对应边、问题中，规范地正确书写全等三角形的对应边、角，是一个最基本的得分点。角，是一
22、个最基本的得分点。8/6/20222011年广州市初三数学市教研27变式举例：保留题干，改变问题背景如图，如图，矩形矩形 A B CD 是由是由矩形矩形 ABCD 绕点绕点 C 顺时针旋转得到的，顺时针旋转得到的，连结连结 BB 、DD ，并延长，并延长 BB 交交 CD 于点于点 E，交，交 DD 于点于点 F（1）证明：）证明：BCEDFE；（2）若若BCB =60时，时，BCEDFE，试试求求ABBC的值的值?F?E?D?A?B?D?C?B A8/6/20222011年广州市初三数学市教研28例5.2006年广州市第25题已知抛物线已知抛物线222(0)yxmxmm（1）求证：该抛物线与
23、）求证：该抛物线与x轴有两个不同的交轴有两个不同的交点；点；（2）过点）过点(0)Pn，作作 y 轴的垂线交该抛物线于点轴的垂线交该抛物线于点 A和点和点B （点（点 A在点在点P 的左边），是否存在实数的左边），是否存在实数mn，使得，使得2APPB？若存在，则求出若存在，则求出mn，满足的条件；若不存在，请说明理由满足的条件；若不存在，请说明理由 第（第（1）题【审清题意）题【审清题意】从解析式能读出哪些信息？从解析式能读出哪些信息？与这一问最直接相关的是什么？与这一问最直接相关的是什么？【题后反思】基本性质要熟练，先画草图再计算，【题后反思】基本性质要熟练，先画草图再计算，三种解法比比看
24、，数形结合最巧妙。三种解法比比看，数形结合最巧妙。8/6/20222011年广州市初三数学市教研29解答过程：解：解：（1）证法证法 1：22229224myxmxmxm，当0m 时，抛物线顶点的纵坐标为2904m，顶点总在x轴的下方 而该抛物线的开口向上，该抛物线与x轴有两个不同的交点（或者，当0m 时，抛物线与 y 轴的交点2(02)m，在x轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与x轴有两个不同的交点）8/6/20222011年广州市初三数学市教研30解答过程：证法证法 2：2224 1(2)9mmm ，当0m 时，290m，该抛物线与x轴有两个不同的交点 证法证法 3：当时0y，有022
25、2mmxx，由配方法或求根公式解得：mxmx2,21，0m，21xx，该抛物线与x轴有两个不同的交点 8/6/20222011年广州市初三数学市教研31已已 知知 抛抛 物物 线线222(0)yxmxmm （1）求求 证证：该该 抛抛 物物 线线 与与x轴轴 有有 两两 个个 不不 同同 的的 交交 点点；（2）过过 点点(0)Pn，作作 y 轴轴 的的 垂垂 线线 交交 该该 抛抛 物物 线线 于于 点点 A 和和 点点 B （点点 A 在在 点点 P 的的 左左 边边），是是 否否 存存 在在 实实 数数 mn，使使 得得2APPB？若若 存存 在在，则则 求求 出出 mn，满满 足足 的
26、的 条条 件件；若若 不不 存存 在在，请请 说说 明明 理理 由由 第（第（2）小题【审清题意】：）小题【审清题意】：根据三个信息点先画出草图（可能需要不断地调整尝试）根据三个信息点先画出草图（可能需要不断地调整尝试）过点过点P（0，n）作）作y轴的垂线交该抛物线于点轴的垂线交该抛物线于点A和点和点B；点点A在点在点B的左边；的左边；AP=2PB此图易丢！此图易丢！命题：已知线命题：已知线段段AB=a，点，点P是直线是直线AB上的上的一点，且一点，且AP=2BP，则，则AP=？8/6/20222011年广州市初三数学市教研32例6.变式举例：多题同源，不离其宗（2008 湖湖北北荆荆州州）已
27、已知知：如如图图，Rt?AOB 的的两两直直角角边边 OA、OB 分分别别在在 x 轴轴的的正正半半轴轴 和和 y 轴轴的的负负半半轴轴上上，C 为为 OA 上上一一点点且且 OCOB，抛抛物物线线)(2()(2(mppmxxy（m、p 为为常常数数且且022pm）经经过过 A、C 两两点点 （1）用用 m、p 分分别别表表示示 OA、OC 的的长长；（2）当当 m、p 满满足足什什么么关关系系时时，?AOB 的的面面积积最最大大（1）证证明明：（p，0）在在抛抛物物线线上上；（2）用用 m，p 分分别别表表示示 OA,OC 的的长长；（3）当当 m，p 满满足足什什么么关关系系时时，AOB的
28、的面面积积最最大大。（2007 四四川川绵绵阳阳）已已知知 x1，x2是是关关于于 x 的的方方程程)(2()(2(mppmxxy的的两两个个都都实实数数根根。（1）求求 x1，x2的的值值；（2）若若 x1，x2是是某某直直角角三三角角形形的的两两直直角角边边的的长长，问问当当实实数数 m，p 满满足足什什么么条条件件时时，此此直直角角三三角角形形的的面面积积最最大大？并并求求出出其其最最大大值值。8/6/20222011年广州市初三数学市教研33能把复杂的问题简单化就是完美，能把复杂的问题简单化就是完美，能把简单的问题深刻化就是杰出！能把简单的问题深刻化就是杰出！让我们共同努力，使自己体验
29、讲题的快乐，让我们共同努力，使自己体验讲题的快乐，让学生在倾听讲题的快乐中享受数学之美！让学生在倾听讲题的快乐中享受数学之美！n谢谢各位老师！请多提宝贵意见！8/6/20222011年广州市初三数学市教研341.反思思维过程反思思维过程n把老师的解题前的思维过程过滤一遍，和自己的把老师的解题前的思维过程过滤一遍，和自己的思维过程进行对比，取长补短。这是最重要的，思维过程进行对比，取长补短。这是最重要的，但又是同学们忘记做的，他们认为只要听但又是同学们忘记做的，他们认为只要听“懂懂”了就了就“会会”了，殊不知课上的了，殊不知课上的“懂懂”是师生共同是师生共同参与努力的结果，要想自己参与努力的结果
30、，要想自己“会会”，必须有一个，必须有一个“内化内化”的过程，而这个过程必须从课内延伸到的过程，而这个过程必须从课内延伸到课外。切记从课外。切记从“懂懂”到到“会会”必须有一个自身必须有一个自身“领悟领悟”的过程，这是谁也无法取缔的过程。的过程，这是谁也无法取缔的过程。8/6/20222011年广州市初三数学市教研352.反思解题过程反思解题过程n特别是解题的严密性和科学性，题特别是解题的严密性和科学性，题中易混易错的地方，找出错误原因中易混易错的地方，找出错误原因和解决办法，提高辨析错误的能力。和解决办法，提高辨析错误的能力。8/6/20222011年广州市初三数学市教研363.反思一题多解
31、反思一题多解 n思考多种解法，从中比较孰繁思考多种解法，从中比较孰繁孰简，孰优孰劣，久而久之，孰简，孰优孰劣，久而久之，就具备了对每一道题在最短时就具备了对每一道题在最短时间内找到最优方法的能力。间内找到最优方法的能力。8/6/20222011年广州市初三数学市教研374.反思一题多变反思一题多变 n对于一道题不局限于就题论题，对于一道题不局限于就题论题，而要进行适当变化引申，一题而要进行适当变化引申，一题变多题，拓宽思路，提高应变变多题，拓宽思路，提高应变能力，防止思维定势的负面影能力，防止思维定势的负面影响。响。8/6/20222011年广州市初三数学市教研385.反思对题目的整体反思对题目的整体印象印象 n即解决此题所用的数学思想方法，题即解决此题所用的数学思想方法，题目的来源，知识和题目的联系，与以目的来源，知识和题目的联系，与以前做的题目的联系，有无一般性的规前做的题目的联系，有无一般性的规律等。律等。
