1、第一章函数的极限与连续第一章函数的极限与连续 1.1函数及其性质1.2初等函数1.3数学模型方法概述1.4极限的概念1.5极限的运算1.6函数的连续性本章小结1.1函数及其性质函数及其性质 1.1.1函数函数函数是微积分学研究的对象.虽然在中学已经学习了函数的概念，但是在以后的学习中我们不再是进行简单的重复，而是要从全新的视角对函数进行描述并重新分类.1.函数的定义函数的定义定义1-1设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集，如果对于每一个xD，变量y按照一定的法则f总有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，xD其中，x称为自变量；y称为因变量；D称为定义域.在函数的定义
2、中，对于确定的x0D，按照对应法则f，总有唯一确定的值y0与之对应，这个值y0称为函数y=f(x)在x0处的函数值，记作f(x0)或.函数值的全体所构成的集合称为函数的值域，记作M.即0=x xy(),My yf x xD需要指出，按照上述定义，记号f和f(x)的含义是有区别的：前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则；而后者表示与自变量x对应的函数值.表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可用其他的英文字母或希腊字母，如“g”、“F”、“”等.有时还可直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作y=y(x).在同一问题中讨论几个不同的函数时，为了表示区别，需用不同的记号来表示它们.
3、2.函数的两个要素函数的两个要素函数的对应法则f和定义域D称为函数的两个要素.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的；否则就是不同的.函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定；另一种是对抽象算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合.定义域一般用区间来表示.邻域是一个经常应用到的概念.以点x0为中心的任何开区间称为点x0的邻域，记作N(x0).设是任一正数，则开区间(x0，x0+)就是点x0的一个邻域，这个邻域称为点x0的邻域，记作N(x0，)，即点x0称为该邻域的中心；称为该
4、邻域的半径.如图1-1所示.000(,)N xx xxx图 1-1 有时，在分析中需要把用到的邻域的中心去掉.点x0的邻域在去掉中心x0后，称为点x0的去心邻域，记作 ，即 0(,)N x00(,)0N xxxx例例1-1设f(x)=2x2+3x-1是一个特定的函数，试写出其对应法则.解解f(x)=2x2+3x1是一个特定的函数，其对应法则为 f()=2()2+3()1例例1-2设f(x+1)=x23x，求f(x).解解令x+1=t，则x=t1，所以f(t)=(t1)23(t1)=t25t+4即f(x)=x25x+4 例例1-3求下列函数的定义域.(1)；(2)f(x)=arcsin(2x1)
5、.解(1)这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函数的定义域，再求其公共部分即可.要使有意义，必须满足x+20.即x2，定义域为(2，+).要使有意义，必须满足x(x1)0.解得x1或x0，即定义域为(，01，+).于是，所求函数的定义域为(2，01，+).(2)要使arcsin(2x1)有意义，必须满足|2x1|1，即12x11，解得0 x1，所以函数的定义域为0，1.)1(21xxxy21x)1(xx例例1-4下列函数是否相同?为什么？(1)y=lnx2与y=2lnx；(2)与 .解解(1)y=lnx2与y=2lnx是不同的函数，因为它们的定义域不同；(2)与是相同的函数，因为它们的对应
6、法则与定义域均相同.xy vw vw xy vw 3.函数的表示法函数的表示法函数的主要表示方法通常有以下三种：(1)解析法(公式法).自变量x与因变量y的函数关系由数学表达式给出，便于理论研究，微积分中的绝大部分函数都是用这种方法表示的.(2)图像法.把函数关系用平面的点集(x，y)|y=f(x)，xD反映出来.一般情况下，它是一条平面曲线.例如，气象站的温度记录器记录了温度与时间的函数关系，它就是借助于仪器自动描绘在纸带上的一条曲线来表达其关系的.再如，物理和化学试验中的实验曲线也是用图像表示函数的例子.用图像法表示函数形象、直观，函数的性态表现得十分明显.(3)表格法.变量间的函数关系通
7、过列表形式反映出来.例如，火车时刻表就是利用列表的方法，把进(出)站火车的车次与时间的函数关系表示出来.这种表示方法使得自变量与因变量的对应关系一目了然.4.分段函数分段函数某市电话局规定市话的收费标准为：当月所打电话次数不超过30次时，只收月租费10元；超过30次时，每次加收0.20元.则电话费y和用户当月所打电话次数x的关系可用下面的形式给出：)0()30(20.010)30(10 xxxy像这种在自变量的不同范围内，对应法则用不同的式子来表示的函数通常称为分段函数.分段函数是微积分中常见的一种函数.例如，符号函数 1,0sgn0,01,0 xyxxx可以表示成图1-2的形式.注意:(1)
8、分段函数是用几个解析表达式表示一个函数，而不是表示几个函数.(2)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集.例例1-5设函数 sin,41,()1,13,51,3.xxf xxxx 求f()、f(1)、f(3.5)及函数的定义域.解因为4，1)，所以f()=sin()=0.因为11，3)，所以f(1)=1.因为3.53，+)，所以f(3.5)=53.51=16.5.函数的定义域为4，+).1.1.2函数的几种特性函数的几种特性1.函数的有界性函数的有界性定义定义1-2设函数y=f(x)在集合D上有定义，如果存在一个正数M，对于任意xD，恒有|f(x)|M成立，则称函数f(x)在D上有界；否则
9、称f(x)在D上无界.这个性质表明，函数在D上的值域包含在有限区间M，M上，其在几何上表现为，函数表达的图像位于直线y=M和y=M之间的区域内.例如，图1-3所示的函数y在区间a，b内有界.图 1-3 例如，y=sinx在定义域(，+)内有界，这是因为|sinx|1，x(，+)；而 在(0，1)内无界.注意:(1)当一个函数y=f(x)在区间(a，b)内有界时，正数M的取值不是唯一的.例如，y=sinx在(，+)内是有界的，有|sinx|1，但是我们可以取M=2，即|sinx|2总是成立的，实际上M可以取任何大于1的数.(2)有界性是依赖于区间的.例如，在(1，2)内有界，在(0，1)内无界.
10、xy1xy12.函数的单调性函数的单调性定义定义1-3设函数y=f(x)的定义域为D，区间ID，对于区间I上的任意两点x1和x2，若当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的(如图1-4所示)；若当x1f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的(如图1-5所示).单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.图 1-4 图 1-5 例如，函数y=x2，在区间0，+)内严格单调增加，在区间(，0内严格单调减少，在定义区间(，+)内则不具有单调性，如图1-6所示.函数y=x3在区间(，+)内是单调增加的，如图1-7所示.图 1-6 图 1-7 3.函数的奇偶
11、性函数的奇偶性定义1-4设函数f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任一xD，都有(1)f(x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数；(2)f(x)=f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数.例如，y=x2是偶函数，因为f(x)=(x)2=x2=f(x)；y=x3是奇函数，因为f(x)=(x)3=x3=f(x).偶函数的图像关于y轴对称(如图1-6)，奇函数的图像关于原点对称(如图1-7).4.函数的周期性函数的周期性定义定义1-5设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零正数l，使得对于任一xD且(x+l)D时，有f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期.
12、通常我们所说周期函数的周期是指最小正周期.例如，函数sinx、cosx都是以2为周期的周期函数；函数tanx是以为周期的周期函数.周期为l的一个周期函数，在每个长度为l的区间上，函数图形有相同的形状.1.2初等函数初等函数 1.2.1基本初等函数基本初等函数通常，把在中学数学中学过的六大类函数统称为基本初等函数，即(1)常函数y=C(C为实常数).(2)幂函数y=x(为实常数).(3)指数函数y=ax(a0，a1).(4)对数函数y=logax(a0，a1).(5)三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx，其中，正割函数 ，余割函数.(6)反三
13、角函数y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx.上述这些函数在中学数学中已做过较详细的讨论，下面针对反三角函数的图像和性质进行简要的复习.1seccosxx1cscsinxx反三角函数是三角函数的反函数.反正弦函数y=arcsinx的图形如图1-8所示，其定义域是x1，1，值域是 ，该函数是单调增加的，是奇函数，即arcsin(x)=arcsinx.反余弦函数y=arccosx的图形如图1-9所示，其定义域是x1，1，值域是y0，该函数是单调减少的，且有arccos(x)=arccosx成立.,2 2y 图 1-8 图 1-9 反正切函数y=arctanx
14、的图形如图1-10所示，其定义域是x(，+)，值域是，该函数是单调增加的，是奇函数，即arctan(x)=-arctanx.,2 2y 图 1-10 反余切函数y=arccotx的图形如图1-11所示，其定义域是x(，+)，值域是y(0，)，该函数是单调减少的，且有arccot(x)=arccotx成立.图 1-11 1.2.2复合函数复合函数定义定义1-6设函数y=f(u)，而u=(x)，如果u=(x)的值域或其部分包含在y=f(u)的定义域中，那么y通过中间变量u构成x的函数，称为x的复合函数，记作y=f(x)其中，x是自变量；u称为中间变量.对于复合函数，说明如下：(1)不是任何两个函数
15、都可以构成一个复合函数.例如y=lnu与 就不能构成复合函数，这是因为 的值域是u0，前者函数的值域完全没有被包含在后者函数的定义域中.(2)复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量，这些中间变量是经过多次合成产生的.(3)复合函数通常不一定是由纯粹的基本初等函数复合而成，而是由更多的基本初等函数经过四则运算形成的简单函数构成的，复合函数的合成和分解往往是对简单函数而言的.12xxu12xxu例例1-6已知，u=x1，试将y表示成x的函数.解解因为 的定义域为u0，+)，u=x1的值域为u(，+)，所以可以构成复合函数.将u=x1代入 ，可得uy uy uy 1xy例例1-7下列函
16、数是由哪些简单函数复合而成的?(1)y=sin2x；(2)；(3)；解解(1)y是由y=sinu与u=2x复合而成；(2)y是由y=u2、u=tanv及复合而成；(3)y是由y=eu、u=2v3、v=sint及t=x2复合而成.2tan2xy 23sin2xey 2xv 1.2.3初等函数初等函数定义定义1-7由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤而构成的，且能用一个解析式表示的函数，叫做初等函数.例如，xxy11ln、21arcsinxxxy等都是初等函数.对于分段函数，大多不能用一个解析式子表示出来，因而不是初等函数.但也有例外，如分段函数,0,0 xxyxxx可以改写成 2
17、yxx，所以它还是初等函数.微积分中研究的函数绝大部分都是初等函数.*1.3数学模型方法概述数学模型方法概述 函数关系可以说是一种变量相依的数学模型.数学模型方法不仅是处理理论问题的一种经典方法，也是处理各类实际问题的一般方法.掌握数学模型方法是非常必要的.下面将对数学模型方法作一简述.数学模型方法(Mathematical Modeling)，称为MM方法，是针对所考察的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使问题得以解决的一种数学方法.1.3.1数学模型的含义数学模型的含义数学模型是针对现实世界的某一种特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，作出必要的简化和假设，运用适
18、当的数学工具，采用形式化语言，概括或近似地表述出该特定对象的一种数学结构.数学模型能解释特定对象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优化决策或控制.数学模型既源于现实又高于现实，它不是实际原型，而是一种数学模拟，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原对象相近的一类问题之中，可以作为某事物(对象)的数学语言，也可以译成算法语言，并编写程序进入计算机等.1.3.2数学模型的建立过程数学模型的建立过程建立一个实际的数学模型，需要一定的洞察力和想象力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，作出适当的抽象和简化.建立数学模型的全过程一般分为表述、求解、解释、验证等几个阶段，并且通过
19、这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环.其流程图如图1-12所示.图 1-12(1)表述.根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来.这是一个关键步骤，需要对实际问题进行分析，甚至要做调查研究，查找资料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式表现客观对象及其关系.当现有的数学工具不够用时，可根据实际情况，大胆创造新的数学概念和方法来表现模型.(2)求解.选择适当的方法，求得数学模型的解答.(3)解释.将数学解答翻译回现实对象，给出实际问题的解答.(4)验证.检验解答的正确性.例如，哥尼斯堡有一
20、条普雷格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇合成大河，河上有七座桥，如图1-13所示.18世纪哥尼斯堡的居民中很多人总想一次不重复地走过这七座桥，再回到出发点.可是试来试去总是办不到，于是有人写信给当时著名的数学家欧拉(Euler，1707-1783).欧拉于1736年建立了一个数学模型解决了这个问题.他把A、B、C、D这四块陆地抽象为数学中的点，把七座桥抽象为七条线，如图1-14所示.图1-13图 1-14 人们步行七桥问题，就相当于图的一笔画问题，即能否将图1-14中所示的图形不重复地一笔画出来，这样抽象并不改变问题的实质.哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型.经过理
21、想化抽象所得到的如图1-14所示的一笔画问题便是七桥问题的数学模型.在一笔画的模型里，只保留了桥与地点的连接方式，而其他一切属性则全部抛弃了.所以从总体上来说，数学模型只是近似地表现了现实原型中的某些属性，而就所要解决的实际问题而言，它更深刻、更准确、更全面地反映了现实.也正因如此，对一笔画问题经过一定的分析和逻辑推理，在得到该问题无解的结论之后，就可以返回到七桥问题，得出七桥问题的解答：不重复走过七座桥回到出发点是不可能的.从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等都可以叫做数学模型.从狭义上讲，只有那些反应特定问题或特定的
22、具体事物系统数学关系的结构，才叫做数学模型.在现代应用数学中，数学模型都作狭义解释，而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的数学问题.1.3.3函数模型的建立函数模型的建立研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高素养都是十分必要的.建立数学模型的步骤可归纳如下：(1)分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.(2)根据所给条件，运用数学、物理或其他知识，确定等量关系.(3)具体写出解析式，并指明定义域.例例1-8重量为P的物体置于地平面上，设有一与水平方向成角的拉力F，使物体由静止开始移动.求该物体开始移动时拉力F与角之间的函数模型，如图1-1
23、5所示.图 1-15 解解由物理知识可知，当水平拉力与摩擦力平衡时，物体开始移动，而摩擦力是与正压力PFsin成正比的，设摩擦系数为，故有 cos(sin)FPF即(0)cossin2PF建立数学模型的方法是一个比较灵活的问题，无定法可循，只有多做练习才能逐步掌握.例例1-9在金融业务中有一种利息叫做单利.设p是本金，r是计息期的利率，c是计息期满应付的利息，n是计息期数，I是n个计息期(即借期或存期)应付的单利，A是本金和利息之和.求本利之和A与计息期数n的函数模型.解本金计息期满的利息计息期的利率即 crp由此得c=rp.单利与计息期数成正比，即n个计息期应付的单利为I=cn因为 c=rp
24、，所以I=prn本利之和为A=p+I=p+prn可得本利之和与计息期数的函数关系，即单利模型为A=p(1+rn)1.4极极 限限 的的 概概 念念 1.4.1数列极限的概念数列极限的概念数列是一种特殊的函数，它以正整数为自变量，通常记作an=f(n)，(n=1，2，)或 an.其中an称为数列 an 的通项.定义定义1-8对于数列 an，如果当n无限增大时，通项an无限趋近于某个确定的常数A，那么称A为数列 an 的极限，记作亦称数列 an 收敛于A；若数列 an 没有极限，则称该数列发散.Aannlim)(nAan或 例例1-10观察下列数列的极限.(1)；(2)an=2n ；(3)；(4)
25、an=(1)n .nna211nnan解解先列出所给的数列:(1)，即 ；(2)an=2n，即2，22，23，2n，；(3)，即 ；(4)an=(1)n，即1，1，(1)，(1)n，.观察上面4个数列在n时的发展趋势，得(1)(2)(3)(4)nna21,.21,.,21,21,2132n1nnan,.1,.,43,32,21nn021limnnnn2lim不存在；11limnnnnn)1(lim 不存在；1.4.2函数的极限函数的极限1.xx0(x0为确定的值)时函数f(x)的极限例如，考察函数 ，当x分别从2的左边和右边趋于2时f(x)的变化情况，参看表1-1.22(4)()2xf xx表
26、表1-1当当x2时时f(x)的变化情况的变化情况 不难看出，当x2时，f(x)无限地趋近于常数8.我们称x2时，f(x)的极限是8.定义定义1-9设函数f(x)在点x0的某一去心邻域 内有定义，当自变量x在该邻域内趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数f(x)在xx0时的极限，记作),(0 xNAxfxx)(lim0)()(0 xxAxf或 这时我们称存在；否则称不存在.)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx对于上面考察的函数，可以表示为.根据极限的定义，显然有:(1)；(2).222(4)lim82xxx22(4)()2xf
27、 xx00limxxxx0limxxcc(为常数)注意注意:定义1-9中x无限趋近于x0，可以采取任何方式，即无论x是从x0的右边还是左边、或时左时右地趋近于x0，只要x与x0无限靠近，f(x)就与A无限接近.当xx0，即x从x0的右边无限接近x0时，f(x)与常数A无限接近，这时称常数A为f(x)在点x0的右极限，记作 Axfxx)(lim0或简记为 f(x0+0)=A 显然，的充分必要条件是 Axfxx)(lim0)(lim0 xfxxAxfxx)(lim0即当xx0时函数f(x)极限存在的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限存在而且相等.注意注意:左、右极限的概念通常用于求分段函数在分
28、段处的极限.例例1-11考察分段函数21,1,1(),1,21,1.xxf xxxx当x1时f(x)的极限是否存在.解解如图1-16所示，因为 211lim()lim(1)2xxf xx11lim()lim(1)0 xxf xx即f(x)在x1时的左右极限存在但不相等，所以 不存在。1lim()xf x图 1-16 2.x时函数f(x)的极限定义1-10如果当x的绝对值无限增大时，函数f(x)趋近于一个常数A，则称A为函数f(x)在x时的极限，记作或f(x)A(x)如果从某一点起，x只能取正值或负值且趋于无穷大，那么有下面的定义.定义定义1-11如果当x0且无限增大时，函数f(x)无限趋近于一
29、个常数A，则称A为函数f(x)在x+时的极限，记作或f(x)A(x+)lim()xf xAlim()xf xA定义定义1-12如果当x0(或A0(或f(x)0).推论推论1-2若在某个去心邻域内，f(x)0(或f(x)0)，且，则A0(或A0)Axfxx)(lim00(,)N x0(,)N xAxfxx)(lim0性质性质1-7(夹逼准则)若 时，有 g(x)f(x)h(x)，且 则对于上述极限的4个性质，若把xx0换成自变量x的其他变化过程，则有类似的结论成立.0(,)xN x00lim()lim()xxxxg xh xAAxfxx)(lim01.5.2极限的四则运算法则极限的四则运算法则利
30、用极限的定义只能计算一些简单函数的极限，而实际问题中的函数要复杂得多.下面将介绍极限的四则运算法则，并运用这些法则求一些较复杂的函数极限.定理定理1-3设在同一变化过程中limf(x)及limg(x)都存在(此处省略了函数的极限过程)，则有下列运算法则：法则法则1limf(x)g(x)=limf(x)limg(x).法则法则2limf(x)g(x)=limf(x)limg(x).法则法则3，其中limg(x)0.()lim()lim()lim()f xf xg xg x证明证明设limf(x)=A，limg(x)=B，由极限与无穷小之间的关系可得f(x)=A+，g(x)=B+其中、是同一过程中
31、的无穷小.于是f(x)g(x)=(A+)(B+)=AB+(A+B+)由无穷小的性质可知A+B+仍为无穷小，再由极限与无穷小的关系，得limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)上述运算法则不难推广到有限个函数的代数和与乘法的情况，此外还有以下推论：推论推论1-3limcf(x)=climf(x).推论推论1-4limf(x)n=limf(x)n.例例1-16求.4322lim(4258)xxxx解解 43243222222lim(4258)lim(4)lim(2)lim(5)lim8xxxxxxxxxxx4322224(lim)2(lim)5(lim)8xxxxxx=56+16208=
32、44 例例1-17求 22124lim32xxxx解解 因为 21lim(32)50 xx所以 2212211lim(24)241lim32lim(32)5xxxxxxxxx 例例1-18求 235lim9xxx解解因为 233lim(9)0lim(5)80 xxxx且 239lim05xxx所以，根据无穷小的倒数为无穷大，得 235lim9xxx 例例1-19 求 233lim9xxx解解 因为 233lim(9)0lim(3)0 xxxx(呈“”型)00所以不能用法则3.而分子和分母有公因子x3，且x3(x3)时，x30，可约去该不为零的公因子，于是 233lim9xxx333lim111
33、lim3lim(3)6xxxxx例例1-20求 .解解因为x0时，分子和分母的极限都是零(呈“”型)，所以不能直接用法则3.需要先将式子变形，消去分子、分母中的公共“零因式”(x0，但x0)，于是 01 1limxxx 0001 1limxxx 0011limlim2(1 1)1 1xxxxxx 例例1-21 求 23251lim22xxxxx解解因为当x时，分子、分母都趋近于无穷大(呈“”型)，所以不能直接用法则3.先用x3除分子、分母后再求极限，得 23251lim22xxxxx2331510lim01222xxxxxx对x时“”型的极限，可先用分子、分母中x的最高次幂除之，再用运算法则求
34、极限.例例1-22求 3232lim31xxxx解解 3232lim31xxxx331211lim133xxxx用同样的方法可得公式：10111011limmmmmnnxnna xa xaxab xb xbxb000,=,.mnamnbmn例例1-23求 2112lim()11xxx解解当x1时，该题中两项的极限都为无穷大(呈“”型)，不能直接用法则1，故对其先通分再求极限，得 2211112111lim()limlim11112xxxxxxxx 小结小结：(1)使用极限法则时，必须注意只有在各项的极限都存在(对商，还要分母极限不为零)时才能适用.(2)如果所求极限呈“”、“”、“”等形式不能
35、直接用极限法则时，就必须先对函数进行恒等变形(约分、通分、有理化、变量代换等)，再求极限.001.5.3两个重要极限两个重要极限1.证明证明因为，即x改变符号时，的值不变，所以只讨论x由正值趋于零的情形就可以了.作单位圆，如图1-19所示，取AOB=x(rad)，于是有，.0sinlim1xxxsin()sinsinxxxxxxsinCBxxAB xADtan图 1-19 由图1-19得，OABOADOABSSS扇形即 111sintan222xxxsintanxxxsincos1xxx有 因为，所以由极限的夹逼准则可知00limcos1,lim11xxx0sinlim1xxx注意:这个重要极
36、限是“”型的，为了强调其形式，我们把它形象地写成其中，方框代表同一个量.000sinlim1例例1-24求.解解0tanlimxxx0tanlimxxx0sin1lim()1cosxxxx例例1-25求 0sin3limsin4xxx解解把3x、4x看做两个新变量，且当x0时，3x0，4x0，故 0sin3limsin4xxx000sin3433sin343lim()limlim3sin4443sin44xxxxxxxxxxxxx例例1-26求201 coslimxxx解解利用三角公式变换之后再求极限，得 201 coslimxxx2220022sinsin122limlim2()2xxxxx
37、x20sin112lim222xxx2.1lim 1xxex关于这个极限，我们不进行理论上的讨论，为了帮助大家理解，下面仅给出一个直观的说明.当x时，函数 的值的变化情况如表1-2所示.1()1xf xx表表1-2x时时 之值的变化情况之值的变化情况 从表1-2中不难看出，当x时，函数的值无限接近于e.如果令 ，当x时，t0，那么公式还可以写成 10lim 1ttte为了准确地运用上述极限，我们指出它具有的两个特征：一是它属于“1”型的极限；二是可形象地表示为 1lim 1e或10lim 1e）其中方框“”代表同一个量.例例1-27 3lim 1xxx解解解法一:令 3xu，则u=3x，所以3
38、33311lim 1lim 1lim1exuuxuuxuu解法二:3lim 1xxx333lim 1xxx3333lim1exxx例例1-28求 252lim 1xxx解解 252lim 1xxx2522lim11xxxx2522lim 1lim 1xxxxx()(4)22lim 1xxx 4242lim1xxex例例1-29求 23lim21xxxx解解解法一:令 231121xxu，得 12xu所以 23lim21xxxx1211lim 1lim 1euuuuuu解法二:23lim21xxxx233 2321122233lim 1122lime111lim 122xxxxxxexxexx解
39、法三 23lim21xxxx11()2221lim 1lim 1e1212xxxxxx1.5.4无穷小的比较无穷小的比较前面讨论了两个无穷小的和、差、积仍然是无穷小，但两个无穷小之商，却会出现不同的情况.例如，当x0时，3x、x2、sinx都是无穷小，而 20lim03xxx203limxxx 0sin1lim33xxx，两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度是不同的.为了比较无穷小，下面将引入“阶”的概念.定义1-15设、是同一变化过程中的两个无穷小量,(1)若，则称是比更高阶的无穷小量，也称是比更低阶的无穷小量，记作=o()；(2)若 (c为不等于零的常
40、数)，则称与是同阶无穷小.特别地，c=1时，则称与是等价无穷小，记作.lim0limc下面举例加以说明：因为，所以当x0时，x2是比3x高阶的无穷小量，即x2=o(3x)(x0).因为，所以当x0时，sinx与x是等价无穷小，即sinxx(x0).因为，所以当x3时，x29与x3是同阶无穷小.等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时有着重要作用.对此，有如下定理：20lim03xxx0sinlim1xxx239lim63xxx定理定理4（等价无穷小替换定理）（等价无穷小替换定理）设，且 limlimlim存在，则 .定理1-4表明，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换.因此
41、若用来替换的无穷小选择适当，就可以使计算简化.例例1-30求 0tan2limsin5xxx解解 当x0时，tan2 2,sin5 5xxxx所以 00tan222limlimsin555xxxxxx例例1-31求 30tansinlimxxxx解解当x0时，sinxx，211 cos2xx，所以 30tansinlimxxxx301sin(1)coslimxxxx233001sin(1 cos)12limlimcoscos2xxxxxxxxxx这里需要注意的是，等价替换是对分子或分母的整体替换(或对分子、分母中的因式进行替换).而对分子或分母中用“+”、“-”号连接的各部分不能分别进行代换.
42、在例1-31中，若sinx与tanx分别用其等价无穷小x代换，则有 3300tansinlimlim0 xxxxxxxx这样就错了。下面是几个常用的等价无穷小代换，要熟记。当时，有sin,tan,arcsin,arctanxxxxxxxx2111 cos,ln(1),1,1122xxxxx exxx1.6函数的连续性函数的连续性 1.6.1函数连续性的概念函数连续性的概念自然界中有许多现象，如气温的变化、水的流动、植物的生长等，都是连续的变化着的，这种现象在函数关系上的反映就是函数的连续性.例如就气温的变化来看，当时间变动很微小时，气温的变化也很微小，这种特点就是所谓连续性.下面将先引入“增量
43、”的概念，然后来描述函数的连续性，并引出函数连续性的定义.设变量u从它的一个初值u0变到终值u1，终值与初值的差u1u0就叫做变量u在u0点的增量，记作u，即u=u1u0增量u的值可以是正的，也可以是负的.现在假定函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，当自变量x在该邻域内从x0变到x0+x时，函数y相应地从f(x0)变到f(x0+x)，因此函数y对应的增量为y=f(x0+x)f(x0)这个关系式的几何解释如图1-20所示.图 1-20 定义定义1-16设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，当自变量x在点x0处的增量x趋于零时，对应的函数y的增量y也趋于零，即 0000liml
44、im()()0 xxyf xxf x 则称函数y=f(x)在点x0连续.x0亦称为函数的连续点.例例1-32用连续定义证明函数y=x2在点x=2处连续.证明证明设自变量的增量为x，则相应的函数增量为y=f(2+x)f(2)=(2+x)222=4x+(x)2因为 0)(42limlimxxyxx所以函数y=x2在点x=2处连续.为了应用方便起见，下面把函数连续的定义用不同的方式来叙述.设x=x0+x，则x0就是xx0.又由于y=f(x0+x)f(x0)=f(x)f(x0)可见y0就是f(x)f(x0)，因此连续的定义又可作下面的叙述.定义定义1-17设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义
45、，如果则称函数y=f(x)在点x0连续.00lim()()xxf xf x如果，则称函数f(x)在点x0左连续；如果 ，则称f(x)在点x0右连续.显然，当且仅当函数f(x)在点x0左连续且右连续时，即00lim()()xxf xf x00lim()()xxf xf x000lim()lim()()xxxxf xf xf x函数在点连续。例例1-33讨论cos,0()1 sin,0 xxf xxx在x=0处的连续性.解解因为(0)1f00lim()lim cos1xxf xx00lim()lim(1 sin)1xxf xx00lim()lim()(0)xxf xf xf即，所以f(x)在x=0
46、处连续.若函数f(x)在开区间(a，b)内的每一点连续，则称f(x)是区间(a，b)内的连续函数.若函数f(x)在(a，b)内连续，且在x=a处右连续，在x=b处左连续，则称f(x)是闭区间a，b内的连续函数.连续函数的图形是一条连续不断的曲线.1.6.2函数的间断点及其类型函数的间断点及其类型由函数f(x)在点x0连续的定义可知，函数f(x)在点x0连续，必须同时满足下列三个条件：(1)f(x)在点x0处有定义；(2)存在；(3).如果上述条件中有一个不能满足，那么f(x)在点x0处不连续，此时称x0是函数f(x)的间断点.0lim()xxf x00lim()()xxf xf x定义定义1-
47、18(间断点的分类)设x0是函数f(x)的一个间断点，当xx0时，f(x)的左、右极限都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点；否则，称x0为f(x)的第二类间断点.对于第一类间断点，还有:(1)左、右极限均存在但不相等时，称x0为f(x)的跳跃间断点；(2)左、右极限均存在且相等(或极限存在)但不等于x0处的函数值时，称x0为f(x)的可去间断点.例例1-34讨论在点x=1处的连续性.解解因为y在x=1处无定义，故x=1是的间断点，又因为，则x=1为y的无穷间断点，无穷间断点属于第二类间断点.21(1)yx21(1)yx211lim(1)xx 例例1-35设 1,0,()2,0,0,xxxf
48、 xxex，讨论f(x)在x=0处的连续性.解解因为(0)2f00lim()lim(1)1xxf xx00lim()lim e1xxxf x00lim()lim()(0)xxf xf xf即 所以f(x)在x=0处不连续，x=0为f(x)的可去间断点.如图1-21所示.图 1-21 例例1-36设，讨论f(x)在x=1处的连续性.2,01()1,1xxf xxx解解因为(1)1f211lim()lim1xxf xx11lim()lim(1)2xxf xx这里左、右极限都存在但不相等，即不存在，所以f(x)在x=1处不连续，x=1为f(x)的跳跃间断点.如图1-22所示.图 1-22例例1-37
49、已知函数2,01()1,1xxf xxx在点x=0处连续，求b的值.解解 200lim()lim(1)1xxf xx00lim()lim(2)xxf xxbb因为f(x)在点x=0处连续，所以 00lim()lim()xxf xf x即b=1.1.6.3初等函数的连续性初等函数的连续性由极限的运算法则和函数连续性的定义，可以得到下述定理：定理定理1-5(连续函数的四则运算)设f(x)、g(x)均在x0处连续，则f(x)g(x)、f(x)g(x)、都在点x0处连续.定理1-5说明，有限个连续函数的和、差、积、商(分母不为零)也是连续函数.0()()0)()f xg xg x定理定理1-6(复合函
50、数的连续性)设函数u=(x)在点x0处连续，且u0=(x0)，又函数y=f(u)在对应的u0点处连续，则复合函数y=f(x)在点x0处连续，且 000lim()()lim()xxxxfxfxfx在定理1-6的条件下求复合函数的极限时，函数符号f与极限符号 可以交换次序，这给我们求极限带来很大的方便.0limxx例例1-38求 0ln(1)limxxx解解 1ln(1)ln(1)xxyxxy是由y=lnu、复合而成的，而，在u=e点y=lnu连续，故 1(1)xux10lim(1)exxx11000ln(1)limlimln(1)lnlim(1)ln1xxxxxxyxxex例例1-39求 2li
