1、 2020届高三年级阶段性学情调研理科数学试题2019.09一、填空题：请把答案写在答题纸相应位置.1.设集合,则_.【答案】2,4,6,8【解析】分析：详解：因为,表示A集合和B集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.2.命题“，都有”的否定是_.【答案】，有【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题写出原命题的否定.【详解】全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“，有”.【点睛】本小题主要考查写出全称命题的否定，属于基础题.3.设，则命题，命题，则是的_条件.（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）.【答案】必要不充
2、分【解析】【分析】比较命题和命题中的范围，由此判断充分、必要条件.【详解】由解得，而，故是的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4.矩阵的特征值为_.【答案】3和1【解析】【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可求得特征值.【详解】依题意，特征多项式，令，解得或.【点睛】本小题主要考查特征值的求法，属于基础题.5.函数的定义域为_【答案】(1，3【解析】【分析】根据幂函数与对数函数的性质，列不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及
3、求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.6.已知，则的值是_.【答案】【解析】【分析】将题目所给指数式改写为对数式，然后根据对数运算，求得的值.【详解】依题意，所以.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数式，考查对数运算，属于基础题.7.在平面直角坐标系中，将函数的图像向右平移个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则的值为_.【答案】【解析】函数的图像向右平移 个单位得，因为过坐标原点，所以 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后
4、伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.8.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.【详解】要使在上递增，根据复合函数单调性，需二次函数对称轴在的左边，并且在时，二次函数的函数值为非负数，即，解得.即实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.9.在中，角的对边分别为，已知_.【答案】【解析】由及正弦定
5、理得，又，.在中，由正弦定理得，答案：10.已知，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据已知条件求得的值.将所求表达式化为只含的式子，由此求得表达式的值.【详解】依题意.而.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式、二倍角公式和降次公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11.已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得的取值范围.【详解】由于故函数为奇函数，而为上的增函数，故由，有，所以，即，将主变量看成（），表示一条直线在上纵坐标恒小于零，则有，解得.所以填.
6、【点睛】本小题主要考查函数单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.12.在锐角中，点在边上，且与面积分别为2和4，过作于，于，则的值是_.【答案】【解析】【分析】利用三角形面积公式表示出、和的面积，化简后代入向量数量积，由此求得数量积的值.【详解】因为，且为锐角，所以，根据三角形面积得，所以，所以.而，化简得.所以.【点睛】本小题主要考查三角形面积公式，考查向量数量积运算，考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查整体与部分的思想.，属于中档题.13.设且则使函数在区间上不单调的的个数是_.【答案】3【解析】【分析】将问题转化为在区间上
7、有对称轴来解决，列出关于的不等式组，解不等式组求得的取值范围，从而确定个数.【详解】由于函数在区间上不单调，故在区间上有对称轴，由，有，故，由于，故有，即，求得，故填.【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、对称性，考查一元一次不等式的解法，属于中档题.14.已知，函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】画出函数的图像，对分成，等种情况，研究零点个数，由此求得的取值范围.【详解】令，画出函数的图像如下图所示，由图可知，（1）当或时，存在唯一，使，而至多有两个根，不符合题意.（2）当时，由解得，由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根；由化简得，其判别式为正数
8、，有两个不相等的实数根.由于上述四个实数根互不相等，故时，符合题意.（3）当时，由解得，由化简得，其判别式为负数，没有实数根；由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.故当时，不符合题意.（4）当时，由，根据图像可知有三个解，不妨设.即即.i）当时，故三个方程都分别有个解，共有个解，不符合题意.ii)当时，有个解，分别有个解，共有个解，不符合题意.iii）当时，无解，分别有个解，共有个解，符合题意.iv）当时，无解，有个解，有两个解，共有个解，不符合题意.v）当时，无解，无解，至多有个解，不符合题意.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查复合函数零点问题，考查分类讨论的数学思想方
9、法，考查数形结合的数学思想方法，难度较大，属于难题.二、解答题：请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边上有一点.（1）求的值；（2）若，且，求角的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求得的值，然后利用二倍角公式求得的值，进而求得的值.（2）先求得的范围，由此求得的值，利用以及两角差的正弦公式，求得的值，由此求得的值.【详解】解：（1）角的终边上有一点P，（2）由，得则因，则.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，考查两角差的
10、正弦公式，属于中档题.16.已知命题：关于的不等式无解；命题：指数函数是上的增函数.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若满足为假命题且为真命题的实数取值范围是集合，集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）利用判别式求得为真时的取值范围.根据指数函数的单调性求得为真时的取值范围.由于为真命题，所以真真，求两个的范围的交集，得到最终的取值范围.（2）求得假真时的取值范围，即集合，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解:（1）由为真命题知，解得，所以的范围是，由为真命题知，取交集得到.综上，的范围是.（2）由（1）可知，当为假命题时，；为真命
11、题，则解得：则的取值范围是即，而，可得，解得：所以，的取值范围是【点睛】本小题主要考查根据命题的真假性，求参数的取值范围，考查一元二次不等式解集为空集的条件，考查指数函数的单调性，考查子集的概念和运用，属于中档题.17.在中，分别为角，所对边的长，.（1）求角的值：（2）设函数，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的值.（2）首先化简为的形式，在根据的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围.【详解】解：（1）在中，因为，由正弦定理，所以即，由余弦定理，得又因为，所以（2）因为由（1）可知，且在中，所以，即所以，
12、即所以的取值范围为【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查降次公式、辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题.18.如图，在地正西方向的处和正东方向的处各一条正北方向的公路和，现计划在和路边各修建一个物流中心和.（1）若在处看，的视角，在处看测得，求，；（2）为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和，设，公路的每千米建设成本为万元，公路的每千米建设成本为万元.为节省建设成本，试确定，的位置，使公路的总建设成本最小.【答案】（1），；（2）当为，且为时，成本最小【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，利用，以及的展开公式列方程，解方程求得的值.（2）利用表
13、示出，由此求得总成本的表达式，利用导数求得为何值时，总成本最小.【详解】解：（1）在中，由题意可知，则在中，在中因为，所以，于是所以答：，（2）在中，由题意可知，则同理在中，则令，则，令，得，记，当时，单调减；当时，单调增所以时，取得最小值，此时，所以当为，且为时，成本最小【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查解直角三角形，考查利用角度表示边长，考查实际应用问题的求解策略，考查利用导数求最小值，属于中档题.19.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取
14、值范围；（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.【答案】（1）不是“依赖函数”；（2），（3）【解析】【分析】（1）取特殊值，得到，无解，由此证得不是“依赖函数”.（2）根据的单调性和函数值为正数，得到，化简后求得的关系式，代入并化简，利用二次函数单调性求得的取值范围.（3）对分成，两种情况，根据“依赖函数”的定义，求得的值.由此化简不等式，利用判别式和对钩函数的性质，求得实数的最大值.【详解】解：（1）对于函数的定义域内存在，则，无解.故不是“依赖函数”；（2）因为在递增，故，即，由，故，得，从而在上单调递增，故，（3）若，故在上最小值
15、为0，此时不存在，舍去；若故在上单调递减，从而，解得（舍）或.从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，即恒成立，由，得，由，可得，又在单调递减，故当时，从而，解得，综上，故实数的最大值为【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查指数运算以及二次函数的性质，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，考查对勾函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20.己知函数在处的切线方程为，函数.（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）设（表示，中的最小值），若在上恰有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）极小值，无极大值（3）【解析】【分析】（1）先求得函数导数，利用切点
16、坐标和函数在时切线的斜率也即导数列方程组，解方程组求得的值，进而求得函数的解析式.（2）先求得的定义域和导函数，对分成两种情况，通过函数的单调性讨论函数的极值.（3）先根据（1）判断出有且仅有一个零点，故需在上有仅两个不等于1的零点.根据（2）判断出当时，没有三个零点；当时，通过零点存在性定理以及利用导数的工具作用，证得分别在，分别有个零点，符合题意.由此求得实数的取值范围.【详解】解：（1）因为在处的切线方程为所以，解得所以（2）的定义域为，若时，则上恒成立，所以在上单调递增，无极值若时，则当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以当时，有极小值，无极大值（3）因为仅有一个零点1，且恒成立
17、，所以在上有仅两个不等于1的零点当时，由（2）知，在上单调递增，在上至多一个零点，不合题意，舍去当时，在无零点当时，当且仅当等号成立，在仅一个零点当时，所以，又图象不间断，在上单调递减故存在，使又下面证明，当时，在上单调递增所以，又图象在上不间断，在上单调递增，故存在，使综上可知，满足题意的的范围是【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用函数图像上某点的切线方程求函数解析式，考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.21.己知矩阵.（1）求；（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【
18、分析】（1）根据逆矩阵的求法，求得的逆矩阵.（2）设出上任意一点的坐标，设出其在矩阵对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对应关系式，再代入方程，化简后可求得的方程.【详解】解（1）设所求逆矩阵为，则，即，解得，所以.（2）设曲线上任一点坐标为，在矩阵对应变换作用下得到点，则，即，解得.因为，所以，整理得，所以的方程为.【点睛】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标
19、方程；（2）已知点是曲线上的动点，求点到曲线的最小距离.【答案】（1）的普通方程为；的普通方程为；（2）.【解析】【分析】（1）消去曲线参数方程的参数，得到的普通方程，根据极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得的直角坐标方程.（2）设出曲线的参数方程，利用点到直线距离公式求得点到曲线的距离的表达式，再根据三角函数最值求得到曲线的最小距离.【详解】解:（1）消去参数得到，故曲线的普通方程为，由得到，即，故曲线的普通方程为（2）设点的坐标为，点到曲线的距离所以，当时，的值最小，所以点到曲线的最小距离为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查椭圆上的点到直线
20、的最小距离的求法，考查三角函数辅助角公式以及最值的求法，属于中档题.23.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为的中点，.（1）求二面角的大小；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）取中点，设相交于，连接，.通过等腰三角形的性质、面面垂直的性质定理，以及正方形的性质，证得,由此以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，进而求得二面角的大小.（2）利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.【详解】（1）取中点，设相交于，连接，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为
21、是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，即.令，则，.于.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.（2）由题意知，.设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查利用空间向量法求二面角、线面角的正弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.24.袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数字5的小球有1个.从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量的分布列和期望.【答案
22、】（1）；（2）的分布列见解析；期望是【解析】【分析】（1）先计算出一次取出的个小球上有两个数字相同的概率，然后用减去这个概率，求得取出的3个小球上的数字互不相同的概率.（2）所有可能的取值为：2，3，4，5，根据分类加法计数原理和古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【详解】解:（1）一次取出的个小球上的数字互不相同的事件记为则为一次取出的个小球上有两个数字相同（2）由题意可知所有可能的取值为：2，3，4，5；的分布列为：2345则答：随机变量的期望是【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查利用对立事件的方法计算概率，考查分类加法计数原理，考查离散型随机变量分布列和期望的求法，属于中档题.
