浙江省超级全能生2020届高三9月第一次联考数学试题 Word版解析版.doc

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1、 “超级全能生”2020高考浙江省9月联考数学注意事项:1本试题卷共8页,满分150分,考试时间120分钟。2答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。3全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效。4回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如有改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。5考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项目符合题目要求的。1.记全集,集合,集合,则()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式和指数不等式

2、,再求补集与交集.【详解】由得或,由得,则,所以,故选C.【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式,其一容易把交集看作并集,概念符号易混淆;其二求补集时要注意细节.2.已知复数(为虚数单位),则复数z的模长等于()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解.【详解】化简易得,所以,故选A.【点睛】本题考查复数的基本运算和概念,了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数满足约束条件则的最大值为()A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B【解析】【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.详解】如图中阴

3、影部分所示(含边界),显然当目标函数经过点时有最大值12,故选B.【点睛】本题考查线性规划,准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中,函数,(且)的图象可能是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数与1的大小分情况讨论,由指数函数图象与y轴的交点即可得出b的大小,从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对和分类讨论,当时,对应A,D:由A选项中指数函数图象可知,A选项中二次函数图象不符,D选项符合;当时,对应B,C:由指数函数图象可知,则B,C选项二次函数图象不符,均不正确,故选D.【点睛】本题易错在于函数图象的分类,从指数函数分

4、类易正确得到函数图象.5.已知直线,平面满足,则“”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当时,则可知;反之当时,与中的不一定平行,故选A.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面,则另一条也垂直于该平面6.已知随机变量满足下列分布列,当且不断增大时,()012A. 增大,增大B. 减小,减小C. 增大,先增大后减小D. 增大,先减小后增大【答案】C【解析】【分析】由分布列可知,随机变量服从二项分布,根据二项分布的期望、方差公式即

5、可判断.【详解】由题意可知,随机变量满足二项分布,即,易得,所以当且不断增大时,增大,先增大后减小.故选C.【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差,会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线右焦点为,左顶点为,右支上存在点满足,记直线AB与渐近线在第一象限内的交点为,且,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意依次求出点的坐标,求出直线的方程,联立渐近线求出点的横坐标,利用向量关系即可得出关系式,进而可求出渐近线方程.【详解】易知,得直线,联立渐近线,得,又,所以,得,又,所以,所以双曲线的渐近线方程为,

6、故选D.【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为时,渐近线方程为;当双曲线的标准方程为时,渐近线方程为.8.已知函数,e是自然对数的底数,存在()A. 当时,零点个数可能有3个B. 当时,零点个数可能有4个C. 当时,零点个数可能有3个D. 当时,零点个数可能有4个【答案】C【解析】【分析】首先将的零点转化为两个图象的交点,利用以直代曲的思想可以将等价为,根据穿针引线画出草图,即可判断.【详解】将看成两个函数的交点,利用以直代曲,可以将等价看成,利用“穿针引线”易知时图象如图,所以当时最多有两个交点,当时最多有三个交点.故选C.【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法

7、(1)直接求零点:令,如果能求出解,则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线,且,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.9.三棱柱中,平面,动点在线段上滑动(包含端点),记与所成角为,与平面所成线面角为,二面角为,则()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意找出这三个角,分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值,将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点作于,则

8、,过点作于,连接,则,过点作于,连接,则所以, 由可知(位于处等号成立),由可知(当为直角时,等号成立),故选B.【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角,本题也可以直接用线线角最小角定理(线面角是最小的线线角)和线面角最大角定理(二面角是最大的线面角)判断.10.已知函数若函数 的零点个数为2,则()A. 或B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】由,可知当时,的图象可由的图象沿轴翻折,并向右平移2个单位长度,纵坐标变为原来的一半,即可作出函数的图象,将的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可.【详解】如图,可得的图象.令,当时,不符合题意;当时,得,若,则满足可得;若,因左支已交

9、于一点,则右支必然只能交于一点,当时,因为,所以在上有两个交点,不合题意舍去,当时,则需解得,故选D.【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题:本大题共7小題,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分。把答案填在题中的横线上。11.九章算术是中国古代的数学专著,是算经十书中最重要的一种,成于公元一世纪左右书中对一些特殊的柱体、锥体有特定的命名。例如,将长方体切制成两个一模一样的三角柱体称之为“堑堵”。若某一个“哲堵”的三视图如图所示,则该柱体的外接球表面积是_。【答案】【解析】【分析】根据题意可知,该“堑堵”的外接球即为相应长方体的外接球,

10、长方体的长宽高分别为2,1,1,即可求出外接球的半径.【详解】由该“堑堵”的三视图可知其外接球即为相应长方体的外接球,长方体的长宽高分别为2,1,1,所以外接球直径,则该柱体的外接球表面积.【点睛】本题考查三棱柱的外接球的表面积.长方体、正方体的外接球的直径即为体对角线.12.已知对任意恒成立,则_;若,则_。【答案】 (1). (2). 9【解析】【分析】利用将问题转化为二项式的问题,然后利用二项式的通项分别表示出即可求解.【详解】令,则,则,故,即,解得.【点睛】本题考查二项式定理,二项展开式的项和系数的关系是易错点.13.已知单位向量夹角为60,_,的最小值为_.【答案】 (1). (2

11、). 【解析】【分析】利用定义求向量数量积,再根据模的平方求模【详解】,所以的最小值为.【点睛】本题考查平面向量的数量积。求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有: 或.若则.14.在中,为中点,若,则_,_。【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用中线与向量的关系,即可求出的值,然后利用余弦定理求出的值,利用正弦定理即可求解.【详解】由为中点可得,,所以,解得,由余弦定理可得,由正弦定理可得,即,解得.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,正弦定理;余弦定理 15.将1,2,3,4,5,6,7,8八个数字组成没有重复数字的八位数,要求7与8相邻,且任意相邻两个数字奇偶

12、不同,这样的八位数的个数是_。【答案】504【解析】【分析】根据题意分为两类,由于7与8相邻,所以先排1,2,3,4,5,6,再用插空法将“7,8”或“8,7”插入即可.【详解】先将数字分成两类:“奇偶奇偶奇偶奇偶”与“偶奇偶奇偶奇偶奇”.若是第一类,则1,2,3,4,5,6有种排列,再将“7,8”或“8,7”插空进前后7个空位中去;第二类同理,数量一样,故有个.【点睛】本题考查排列组合.对问题的正确分类是解答本题的关键,本题易错在分类情形的掌握.16.设是椭圆一个焦点,点,若椭圆上存在点满足,则椭圆离心率的取值范围是_。【答案】【解析】【分析】设椭圆上焦点为E,利用椭圆定义可得,即可得,若点

13、三点不共线即构成三角形,则,若点三点共线,则,即可求出的范围,进一步可求出离心率的范围.【详解】设椭圆的上焦点,由椭圆的定义可知,又,所以,又,所以,得,以椭圆的离心率.【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质,涉及圆锥曲线上的点与焦点的距离问题往往利用定义解决.17.已知数列,满足.若则的最小值是_,若,且存在常数,使得任意,则的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】第一空:令,将问题转化为函数问题,则表示点与原点连线的斜率,观察图象即可求解.第二空:将问题转化为当,则,结合二次函数的最值以及翻折后图象列式即可求解.【详解】(1)令, 表示点与原点连线的斜率,因为,所以,由

14、于为最高点,所以最小,等于.(2)当时,显然存在;当时,由,则 ,由图象可知,使得任意成立,则需即 又,所以,故的取值范围是.【点睛】本题考查数列的综合应用.数列是一种特殊的函数,所以在求解数列最值问题可以借助函数的思想解决.三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。18.已知函数。()求的值和的单调递增区间;()函数是奇函数,求函数的值域。【答案】(),的单调递增区间是()【解析】【分析】(I)化简为即可求解;(II)由定义在上的奇函数可得,即可求出,进而表示出,利用三角函数性质即可求解.【详解】()因为,所以.令,则,所以的单调递增区间是.()由奇

15、函数,得,所以.又,得,所以,所以,所以函数的值域为.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性和三角函数的最值.三角恒等变换的公式运用,注意奇函数性质的使用、求值的运算.19.已知棱台,平面平面,D,E分别是和的中点。()证明:;()求与平面所成角的余弦值。【答案】()详见解析()【解析】【分析】(I) 取中点,可得平面,则,利用中位线的关系可得,从而可得平面,即可证明结论;(II)解法一,取中点,可得平面平面,平面平面,所以点E在平面的射影在DG上,故为与平面所成角,然后解三角形即可求解;解法二,构造空间直角坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可求解.【详解】解:()如图,取中点,连

16、接.因为,所以.由平面平面,平面平面,得平面,所以,又,且,所以.因为,所以平面,所以.()解法一:如图,取中点,连接,则可知,所以平面即是平面.因为平面,所以平面平面,则为与平面所成角.令,又由,可得,则,所以.解法二:如图,以为坐标原点,过点且垂直于平面的直线,和,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.令,则,所以,.设平面法向量,与平面所成角为.而,所以即令,则,所以,故,又与平面所成的角为锐角,所以.【点睛】本题考查空间想象能力、直线与平面的位置关系、线面垂直的判定定理及性质、直线与平面所成角.空间几何传统法解答过程中,需关注空间几何问题的平面化,也可以用向量解决线面角,注意建

17、系的选择和运算.20.已知等比数列公比,且为,的等比中项,为,的等差中项。()求q的值;()设数列的前项和为,求证:。【答案】()()详见解析【解析】【分析】(I)利用等比中项、等差中项即可列出关系式求解;(II)由可得数列的通项,当时,满足条件;当时,利用放缩法将数列放大成数列,利用等比数列求和公式即可得证.【详解】()由题意得则解得.()由题知,则.当时,;当时,故,综上所述,.【点睛】数列求和常用方法有错位相减法、裂项相消法、公式法、分组求和法.21.如图,已知抛物线,过抛物线上点B作切线交y轴于点()求抛物线方程和切点的坐标;()过点作抛物线的割线,在第一象限内的交点记为,设为y轴上一

18、点,满足,为中点,求的取值范围。【答案】()抛物线方程为,切点()【解析】【分析】 (I)由直线与抛物线相切,则联立直线与抛物线方程,令即可求解;(II)联立直线与抛物线方程,因为两个交点,所以,即可得出的取值范围,利用弦长公式可得,由题意可知垂直平分,即可表示出,根据单调性即可求解范围.【详解】()联立抛物线与直线的方程,得消去得,由,得,所以抛物线方程为,切点.()设,由题知,设,与抛物线联立,得,则,由及的条件可知,所以.易得,所以,所以.又因为,显然当时单调递增,所以.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系.解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程

19、联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单22.已知函数。()当时,求的单调区间;()设,若在有极值点,求证:。【答案】()时,单调递增,时,单调递减()详见解析【解析】【分析】本题考查函数的单调区间和极值、导数的应用、隐零点代换.(I)求出,用换元法得,令即可求出的单调区间;(II)利用换元法,令,则将表示为,由题意知即,可用表示出,利用放缩法即,可得,然后分别得出,在上都单调递减,则单调递减即可证明.【详解】()当时,则.令,则,当,即时,即,则单调递增;当,即时,即,则单调递减.(),令,则,.当时,即,则(由得)令,则.当时,则,故在上单调递减.又在上也单调递减,故,故.【点睛】本题考查函数的单调区间和极值、导数的应用、隐零点代换.求导计算,利用不等式放缩是解题关键.

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