1、2018-2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷第I卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知全集为，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简集合B,再求得解.【详解】由题得B=x|x2或x,所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先求出复数z和,再求
2、出在复平面内的共轭复数对应的点的位置得解.【详解】由题得，所以，所以在复平面内的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件
3、为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B考点：1分层抽样；2古典概型4.如图是2017年第一季度五省情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A. 2017年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2017年第一季度的总量实现了增长.C. 去年同期河南省的总量不超过4000亿元.D. 2017年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.【答案】D【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息详解：由折线图可知A、B正确；，故C正确；2017年第一季度GDP总量和增速由高到
4、低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D错误. 故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键5.是双曲线右支上一点, 直线是双曲线的一条渐近线.在上的射影为,是双曲线的左焦点, 则的最小值为( )A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为，连接，则（为点到渐近线距离），即的最小值为；故选D.点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.6.如图，在三棱柱中，两两互相
5、垂直，是线段，上的点，平面与平面 所成（锐）二面角为，当最小时，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的大小【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，设，则，0，1，0，1，1，0，设平面的法向量，取，得，平面的法向量，0，平面与平面所成（锐二面角为，解得，当|最小时，故选：【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7.已知函数，在的大致图象如图所示，则可取（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：从图像可以看出为偶函
6、数，结合的形式可判断出为偶函数，故得的值，最后通过得到的值详解：为上的偶函数，而为上的偶函数，故为上的偶函数，所以因为，故，因，故，所以，因，故，所以综上，故选B 点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围8.九章算术中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（ ）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B【解析】【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体
7、积.【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：，三个梯形均为等腰梯形且平面平面到底面的距离为，间的距离为.如下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中为体积相等的四棱锥，且，则棱柱为直棱柱，为直角三角形.又；，故五面体的体积为.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.9.在中，内角所对的边分别是,且边上的高为,则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA，而条件中的“高”容易联想到面积， bcsinA，即a22bcsinA，
8、将代入得：b2c22bc(cosAsinA)，2(cosAsinA)4sin(A)，当A时取得最大值4，故选D点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知函数，若，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分析得到的最小值等于函数f(x)的绝对
9、值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得等于函数的零点的2倍，所以的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，令所以,所以所以绝对值最小的零点为，故的最小值为.故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于、两点，正三角形的顶点在直线上，则的边长是（ ）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C【解析】【分析】设的中点为，过、分别作、垂直于直线于、，设，求出，利用弦长公式，可得结论【详解】抛物线的焦点为，设的中点为，过、分别作、垂直于直线于、，设，由抛物线定
10、义知：，即，所以直线AB的斜率k=,所以直线AB的方程为，联立直线AB方程和抛物线方程得，所以.故选：【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键12.设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，所以在上单调递减，所以R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因
11、为当时，所以函数在时单调递减，由选项知，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若实数，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值【详解】作出约束条件，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（,），由z3x+y得y3x+z，平移y3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以的最小值为+故答案为：2【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义14.若
12、，则的值为_【答案】0【解析】试题分析：由，解得，又考点：三角函数的化简求值15.函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，为两点间距离，定义为曲线在点与点之间的“曲率”，给出以下命题：存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；函数图像上两点与的横坐标分别为1,2，则 “曲率”；函数图像上任意两点之间 的“曲率”；设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数的取值范围是。其中正确命题的序号为_(填上所有正确命题的序号)。【答案】【解析】试题分析：因当时，曲率为，是常数,故是正确的；又因当时,故,所以是错误的；因，故,所以,故正确成立；因,故,所以,所以是错误的.故应填。考点：函数
13、的图象性质及导数等有关知识的综合运用。【易错点晴】函数的图象和性质是高中数学中重要内容，也高考和各级各类考试的重要内容和考点。本题以定义新的概念“为曲线在点与点之间的“曲率”为背景精心设置了一道选择填空形式的问题。重在考查推理判断的推理论证能力，求解时要充分借助题设中新定义的新的信息，对所给的四个命题进行逐一检验和推断，最后通过推理和判断得出命题是真命题,命题是假命题，从而获得本题的正确答案为。16.在平面直角坐标系中，已知圆，点，是圆上相异两点，且，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：由已知可得设到直线的距离分别是，又，设，,又，可知分别在圆,由下图可得的取值范围是考点：向量及其
14、运算.【方法点晴】本题主要考查向量及其运算，其中涉及数形结合思想，计算繁杂，属于较难题型。由已知可得由已知可得设到直线的距离分别是，又分别在圆的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列的前项和为，.（1）求的值；（2）等差数列的公差，前项和满足，且，成等比数列，求.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】(1)根据已知先求出q=3,再根据已知求出的值；（2）先求出，再求出，再求出.【详解】解：（1）， ， （2）由（1）得， ，成等比数列 解得或（舍）， 【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项的求法，考查等差数列的前
15、n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（I）证明：平面平面；（）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值. 图一图二【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)设AC的中点为O,证明PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.【详解】（）设的中点为，连接，.由题意，得，.因为在中，为的中点，所以，因为在中，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所
16、以平面平面.（）由（）知，平面，所以是直线与平面所成的角，且，所以当最短时，即是的中点时，最大.由平面，所以，于是以，所在直线分别轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则由得：.令，得，即.设平面的法向量为，由得：，令，得，即.由图可知，二面角的余弦值为.【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.19.“工资条里显红利，个税新政入民心”.随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段.某从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁-35岁（2009年-2018年）
17、之间各年的月平均收入（单位：千元）的散点图：(注：年龄代码1-10分别对应年龄26-35岁)（1）由散点图知，可用回归模型拟合与的关系，试根据有关数据建立关于的回归方程；（2）如果该从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税.附注：参考数据：，其中：取，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：旧个税税率表（个税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）缴税级数每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点税率
18、每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除税率1不超过1500元的都分3不超过3000元的都分32超过1500元至4500元的部分10超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分255超过35000元至55000元的部分30超过35000元至55000元的部分30【答案】（1）；（2）2130元.【解析】【分析】（1）利用已知求出y关于t的线性回归方程，从而得出y关于x的回归方程；（2）估计36岁时的收入和两种政策对应的个税，得出结论【详解
19、】解：（1），则y关于x的回归方程为：（2）该从业者36岁时的月收入约为元，若按旧个税政策，需缴纳个税为：，若按新个税政策，需缴纳个税为：，他36岁时每个月少缴交的个人所得税2130元【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解及数据估计，考查计算能力，属于中档题20.已知椭圆C：过点，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记F1MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值【答案】(1)；（2），.【解析】【分析】（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；（2）
20、设M（x1，y1），N（x2，y2），F1MN的内切圆半径为r，运用等积法和韦达定理，弦长公式，结合基本不等式即可求得最大值【详解】（）由题意得+=1，=，a2=b2+c2， 解得a=2，b=，c=1，椭圆C的标准方程为+=1；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），F1MN的内切圆半径为r，则=（|MN|+|MF1|+|NF1|）r=8r=4r，所以要使S取最大值，只需最大，则=|F1F2|y1y2|=|y1y2|，设直线l的方程为x=ty+1，将x=ty+1代入+=1；可得（3t2+4）y2+6ty9=0（*）0恒成立，方程（*）恒有解，y1+y2=，y1y2=，=，记m=（m1），=在
21、1，+）上递减，当m=1即t=0时，（）max=3，此时l：x=1，Smax=【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题21.已知函数.（1）若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）是否存在实数使得总成立？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在实数满足题意.【解析】【详解】（1）由得：设，则令，得，列表得：x12-0+h(x)极小值m-2+ln2当时，的极小值为，又，方程在上给有两个不相等的实数根，故即解得：.（2）存在，理由如下：等价于，或令，则
22、，若，当时，所以：当时，所以，所以在单调递减区间为，单调递增区间为，又，所以，当且仅当时，从而在上单调递增，又，所以或即.若，因为在递增且，当时，所以存在，使得，因为在单调递增，所以当时，在上递增，又，所以当时，从而在上递减，又，所以当时，此时不恒成立；若，同理可得不恒成立.综上所述，存在实数.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）曲线C2的参数方程为（，为参数）在以
23、O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=与C1，C2各有一个交点.当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合.（1）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1,当=-时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积.【答案】（1）a=3 b=1（2）【解析】略23.已知函数，若不等式有解，求实数a的取值范围；2当时，函数的最小值为3，求实数a的值【答案】（）（）【解析】分析：（1）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）2|x1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（2）当a2时，画出函数的图像，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值详解：（1）由题，即为而由绝对值几何意义知，由不等式有解，即实数的取值范围 （2）函数的零点为和，当时知. 如图可知在单调递减，在单调递增，得（合题意），即点睛：这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.
