1、电路理论基础课件制作：郑恒秋少壮不努力，老大徒伤悲。本章介绍电容元件、本章介绍电容元件、电感元件。它电感元件。它们是重要的储能元件。其端口电压、电流们是重要的储能元件。其端口电压、电流关系不是代数关系而是微分或积分关系，关系不是代数关系而是微分或积分关系，因此又称为动态元件。通过本章学习，应因此又称为动态元件。通过本章学习，应掌握电容元件、电感元件、互感元件的特掌握电容元件、电感元件、互感元件的特性方程、能量计算及各种等效变换。性方程、能量计算及各种等效变换。此外此外还介绍理想变压器。还介绍理想变压器。第 5 章 电容元件和电感元件本章目次本章目次5.1 电容元件5.2 电感元件5.3 耦合电
2、感5.4 理想变压器 基本的电路元件有五种：基本的电路元件有五种：电流源电压源有源元件电感电容电阻无源元件电路元件 本节的基本要求是熟练掌握电容本节的基本要求是熟练掌握电容元件端口特性方程、能量计算及串并联元件端口特性方程、能量计算及串并联等效变换。等效变换。5.1 电容元件电容构成原理电容构成原理d金属极板金属极板面积面积A电容的电路符号电容的电路符号一般电容可变电容电解电容(a)(b)(c)电解电容器瓷质电容器聚丙烯膜电容器(固固 定定 电电 容容 器器)实际电容器示例实际电容器示例(可可 变变 电电 容容 器器)管式空气可调管式空气可调电容器电容器片式空气可调片式空气可调电容器电容器实际
3、电容器示例实际电容器示例电容元件是一种电容元件是一种动态元件动态元件，其端口电压、电流关系为微，其端口电压、电流关系为微分（或积分）关系。当电容器填充线性介质时，正极板分（或积分）关系。当电容器填充线性介质时，正极板上存储的电荷量上存储的电荷量q与极板间电压与极板间电压u 成正比成正比Cuq 其中，常数其中，常数C叫作叫作电容电容系数系数。单位：法拉，用单位：法拉，用F表示。常用单位表示。常用单位有有F(微法微法)及及pF(皮法皮法)，分别表，分别表示为示为10-6F及及10-12F。Michael Faraday(1791-1867)，法拉弟在在 u、q 取关联参考方向且取关联参考方向且 C
4、 是正值时，线性电容的是正值时，线性电容的电路符号和它的电荷、电压关系曲线如图电路符号和它的电荷、电压关系曲线如图 所示。所示。线性电容电路符线性电容电路符号号线性电容的特性线性电容的特性+uiCuq uqO极板上电荷量增多或减少，在电容的端线中就有电极板上电荷量增多或减少，在电容的端线中就有电流产生，如图所示。流产生，如图所示。ddddquiCCutt电容元件的VCR方程（元件约束方程元件约束方程）可见线性电容的端口电流并不取决于当前时刻电可见线性电容的端口电流并不取决于当前时刻电压，而与端口电压的时间变化率成正比，所以电压，而与端口电压的时间变化率成正比，所以电容是一种动态元件。容是一种动
5、态元件。已知电流 i，求电荷 q，反映电荷量的积储过程 物理意义：物理意义：t 时刻电容上的电荷量是此刻以前由电流充电（或放电）而积累起来的。所以某一瞬刻的电荷量不能由该瞬间时刻的电流值来确定，而须考虑此刻以前的全部电流的“历史历史”，所以电容也属于记忆元记忆元件件。对于线性电容有tditq)()(tdiCtu)(1)(在关联参考方向下，输入线性电容端口的功率：在关联参考方向下，输入线性电容端口的功率：电容存储的电场能量当当u(t)储能储能 也即吸收能量也即吸收能量吸收功率吸收功率当当u(t)储能储能 也即释放能量也即释放能量发出功率发出功率 同时电容的输入功率与能量变化关系为同时电容的输入功
6、率与能量变化关系为:电容储能随时间的增加率twpdde)21()21(22CudtdudtdCdtduCuuip 从全过程来看，电容本身不能提供任何能量，正值从全过程来看，电容本身不能提供任何能量，正值的电容是无源元件。的电容是无源元件。综上所述，电容是一种动态、记忆、储能、无源元件电容是一种动态、记忆、储能、无源元件。假设u(-)=0，当C0时,有we0,所以电容是储能元件储能元件。上两式说明电容吸收的总能量全部储存在电场中，所上两式说明电容吸收的总能量全部储存在电场中，所以电容又是无损元件。以电容又是无损元件。反之截止到反之截止到 t t 瞬间，从外部输入电容的能量为瞬间，从外部输入电容的
7、能量为：2()e()d1()()d()dd(5.9)d2tttu tuuw tpCuCu uCu 在使用电容器时，除了要关注其在使用电容器时，除了要关注其容量容量外，还要外，还要注意它的注意它的额定电压额定电压。使用时若电压超过额定电压，。使用时若电压超过额定电压，电容就有可能会因介质被击穿而损坏。为了提高总电容就有可能会因介质被击穿而损坏。为了提高总电容承受的电压，可将若干电容串联起来使用，如电容承受的电压，可将若干电容串联起来使用，如图所示。图所示。C1CNC2+u1-+u2-+uN-u+i设在串联前电容上无电荷，根据设在串联前电容上无电荷，根据KVL及电容元件及电容元件的电压电流关系得的
8、电压电流关系得:C1CNC2+u1-+u2-+uN-u+i+teqtNtNttNdiCdiCCCdiCdiCdiCuuuu)(1)()111()(1)(1)(1212121串联等效电容的倒数等于各电容的倒数之和。如串联等效电容的倒数等于各电容的倒数之和。如图所示。图所示。eq121111NCCCC+teqtNdiCdiCCCu)(1)()111(21并联电容的总电荷等于各电容的电荷之和，即并联电容的总电荷等于各电容的电荷之和，即 1212eq()NNqqqqCCCuC u+为了得到电容值较大电容，可将若干电容并联起来为了得到电容值较大电容，可将若干电容并联起来使用，如图所示。使用，如图所示。1
9、212eq()NNqqqqCCCuC u+所以并联等效电容等于各电容之和，等效电路如所以并联等效电容等于各电容之和，等效电路如图图 所示所示 eq12NCCCC+注：注：如果在并联或串联前电容上存在电荷，则除了须如果在并联或串联前电容上存在电荷，则除了须计算等效电容外还须计算等效电容的初始电压。计算等效电容外还须计算等效电容的初始电压。解：在直流电路中电容相当于开路，据此求得电容电压分别为：24VV32)412(121+uV8V3212uu所以两个电容储存的电场能量分别为：211 11144J;2wC u222218J2wC u10.5FC 20.25FC 例例5.1、图示电路，设、图示电路，
10、设 ，电路处，电路处于直流工作状态。计算两个电容各自储存的电场能量。于直流工作状态。计算两个电容各自储存的电场能量。例例5.2、设、设 0.2F 电容流过的电流波形如图电容流过的电流波形如图(a)所示，已知所示，已知 u(0)=30V。试计算电容电压的变化规律并画出波形。试计算电容电压的变化规律并画出波形。(1)：03st 5A0i 电容电压计算如下电容电压计算如下:电容充电。电容充电。解：解：03s7sti5A2A?(a)(a)tiCuutt25V30Ad5F2.01V30d)(1)0(00+(3s)(3025 3)V105Vu+并且(2)3st 7s ：i=-2A0时电感电压、吸收功率及储
11、存时电感电压、吸收功率及储存能量的变化规律。能量的变化规律。:s4s2)2(tA3 i0dtdiLu0uip2m10.45 J2wLi:s6s4)3(tA35.1+tid0.1 1.5V0.15VdiuLt W)45.0225.0(tuip22m1(0.11250.450.45)J2wLitt+:s6)4(t电压、功率及能量均为零电压、功率及能量均为零。各时段的电压、功率及能量各时段的电压、功率及能量的变化规律如右图的变化规律如右图(c)、(d)、(e)所示。所示。小结：小结：本题可见，电流源的端本题可见，电流源的端电压决定于外电路，即决定于电压决定于外电路，即决定于电感。而电感电压与电流的变
12、电感。而电感电压与电流的变化率成正比。因而当化率成正比。因而当2st4s 时，虽然电流最大，电压却为时，虽然电流最大，电压却为零。零。休息书到用时方恨少 本节的基本要求是透彻理解同名端的概念、熟练掌握互感元件端口方程和互感元件的串并联等效电路。5.3 耦合电感11y21y1i1L2L+1u+2u12原边副边34(a)22y12y2i1L2L+1u+2u12原边副边34(b)当几个线圈之间存在着磁耦合，便形成了多端口电感。当几个线圈之间存在着磁耦合，便形成了多端口电感。本节只讨论二端口电感，习惯上称为本节只讨论二端口电感，习惯上称为互感互感 元件元件 ，如，如图所示。图所示。21ii自感应磁链自
13、感应磁链 2211yy互感应磁链互感应磁链 1221yy每一线圈的总磁链是自感磁链和互感磁链代数和。在线性条件下，自感磁链和互感磁链均正比与激发它们的电流，设电流与自感磁链的参考方向符合右手螺旋关系，则：式中互感磁链前正负号，由自感磁链和互感磁链的方向而定，一致取“+”；否则取“”。L11、L22 自感；简写成L1、L22221211121221211112111iLiLiLiL+L12、L21 互感；一般L12=L21=M 在下图在下图a中，可明显地判断自感磁链和互感磁链中，可明显地判断自感磁链和互感磁链的方向是相同或相反。的方向是相同或相反。但当将实际线圈抽象成图但当将实际线圈抽象成图(b
14、)所示的电路模型时，所示的电路模型时，需要在电路符号上加标注需要在电路符号上加标注,靠电流进、出靠电流进、出同名端同名端来来判断互感磁链的判断互感磁链的+（或（或-）。）。同名端：同名端：使所激发的自感磁链和互感磁链方向一致的两个线圈电使所激发的自感磁链和互感磁链方向一致的两个线圈电流的进端或出端。流的进端或出端。换言之，两个端口电流都流进（或流出）同名端，表示它们换言之，两个端口电流都流进（或流出）同名端，表示它们所激发的自感磁链和互感磁链方向一致，（总磁链在原自感磁链所激发的自感磁链和互感磁链方向一致，（总磁链在原自感磁链基础上增强）。则互感磁链前应取正号。当两个电流的参考方向基础上增强）
15、。则互感磁链前应取正号。当两个电流的参考方向是从非同名端流入时，它们所激发的自感磁链与互感磁链方向相是从非同名端流入时，它们所激发的自感磁链与互感磁链方向相反，则互感磁链前应取负号。如图所示。反，则互感磁链前应取负号。如图所示。同名端也可以等价说成：同名端也可以等价说成：当某线圈电流增加时，当某线圈电流增加时，流入电流的端子与另一线圈互感电压为正极性的端流入电流的端子与另一线圈互感电压为正极性的端子为同名端。子为同名端。根据这一原理，在实验中，使某线圈根据这一原理，在实验中，使某线圈流入递增电流，通过测试另一线圈互感电压的极性流入递增电流，通过测试另一线圈互感电压的极性便可找出同名端。便可找出
16、同名端。一般线圈是密封的，若原标记丢失，从外观上已看一般线圈是密封的，若原标记丢失，从外观上已看不出同名端，可用实验确定。方法如下：用一节电池不出同名端，可用实验确定。方法如下：用一节电池和一个有适当量程的电流表或电压表，电池正极通过和一个有适当量程的电流表或电压表，电池正极通过开关接在线圈开关接在线圈的端子的端子上，即上，即端为高电位点；线端为高电位点；线圈圈的端子间接电流表，表的正端接的端子间接电流表，表的正端接。在开关闭合。在开关闭合瞬间，若电流表向正方向偏移，则瞬间，若电流表向正方向偏移，则为同名端，否为同名端，否则为异名端。则为异名端。根据电磁感应定律，在端口电压、根据电磁感应定律，
17、在端口电压、电流为关联参考方向，并且自感电流为关联参考方向，并且自感磁通与电流符合右手螺旋关系时，磁通与电流符合右手螺旋关系时，互感元件的电压电流方程为：互感元件的电压电流方程为：若式中若式中 u1、i1 或或 u2、i2 的参考方向相反，则的参考方向相反，则 L1 或或 L2 前应添入前应添入负号负号；若若u1、i2 或或 u2、i1 的参考方向相对星标的参考方向相对星标*是相同的，则是相同的，则 M 前取正号，否则应取负号前取正号，否则应取负号。+tiLtiMtiLtiLtutiMtiLtiLtiLtudddddddddddddddddddd2212221212221121211111例例
18、5.4、列出图示两个互感元件的特性方程列出图示两个互感元件的特性方程分析分析1）从图）从图(a)知，端口知，端口 1 的电压和电流为关联参考方向，自感电的电压和电流为关联参考方向，自感电 压压u11前为前为 正正，2）引起互感电压）引起互感电压u12 的电流的电流 i2 参考方向是从所在端口参考方向是从所在端口2的的 非非*指向指向*端，与引起端，与引起 u11 的电流的电流 i1 从自端口从自端口*端指向端指向 非非*端方向相反，因此端方向相反，因此u12 前取前取 负；负；1211ddddiiuLMtt实用上，上述列写互感方程的方法称为实用上，上述列写互感方程的方法称为逐项判断法逐项判断法
19、。3）端口）端口 2 的电压和电流为非关联参考方向的电压和电流为非关联参考方向,自感电压自感电压u22 前为前为 负，负，4）引起互感电压）引起互感电压u21的电流的电流 i1 参考方向是从端口参考方向是从端口1的的*指向非指向非*端，相对于端口端，相对于端口2来说与来说与u2 的参考方向关联一致，故的参考方向关联一致，故 u21 前前 取取 正。正。1222ddddiiuMLtt基于相似解释，图（基于相似解释，图（b b）所示互感元件的特性方程。）所示互感元件的特性方程。tiLtiMutiMtiLudddddddd22122111+1 12 211211222221 11 22 222m1
20、11 22 2(dd)(dd)(dd)(dd)d 1dd 1()()()d2dd2dd 11()d22dPu iu iLitMit iMitLit iLiMiiL itttwLiMiiL itt+互感总功率，在关联参考方向下 正如一端口电感那样，输入互感的总能量将全部转化正如一端口电感那样，输入互感的总能量将全部转化为磁场能量，磁能为磁场能量，磁能 22m1 12 21 21122wLiL iMii+m0w 如果没有磁耦合，如果没有磁耦合，M=0，磁能就是两个自感元件分别储，磁能就是两个自感元件分别储能之和。存在磁耦合时，要增减一项能之和。存在磁耦合时，要增减一项Mi1i2，增与减要视，增与减
21、要视互感的作用是使磁场增强还是使磁场减弱而定互感的作用是使磁场增强还是使磁场减弱而定。用来衡量互感耦合的程度用来衡量互感耦合的程度。两个线圈全耦合两个线圈无耦合1010kkk定义耦合系数定义耦合系数 21LLMk 含互感元件电路的联接含互感元件电路的联接121212eqdddddd()()(2)ddddddiiiiiiuuuLMMLLLMLtttttt+1 互感元件的串联互感元件的串联电流从同名端流入电流从同名端流入正串正串(或顺接或顺接)电流从异名端流入电流从异名端流入反串反串(或反接或反接)由此可得串联等效电感如由此可得串联等效电感如图所示。图所示。注：注：正串正串2M前取正前取正,等效电
22、感大于俩自感之和等效电感大于俩自感之和;反串反串2M前取负，等效电感小于俩自感之和前取负，等效电感小于俩自感之和。dtdiLdtdiMLLueq+)2(21MLLLeq221+2 互感元件的并联互感元件的并联把（把（3）式代入（）式代入（1）式得：）式得：把（把（3）式代（）式代（2）式得：）式得：互感两同名端并联电路互感两同名端并联电路 同名端相接时，为求其等效同名端相接时，为求其等效电路，分别列电路，分别列KCL和和KVL方方程：程：12(3)iii+121dd(1)ddiiuLMtt+122dd(2)ddiiuMLtt+111abdddd()ddddiiiiuMLMLLtttt+222a
23、cdddd()ddddiiiiuMLMLLtttt+互感元件的并联有两种情况，同名端相接和异名端相接。由此消去互感的等效由此消去互感的等效电路如图所示：电路如图所示：111abdddd()ddddiiiiuMLMLLtttt+222acdddd()ddddiiiiuMLMLLtttt+图中各等效电感为：图中各等效电感为：MLLMLLMLcba21同理，异名端联接时同理，异名端联接时的总等效电感为：的总等效电感为：如无需计算电流如无需计算电流 ，根据电感的串、并联等效，可进一步，根据电感的串、并联等效，可进一步等效成一个电感，如图：等效成一个电感，如图：12ii、等效电感：等效电感：MLLMLL
24、LLLLLLcbcbaeq221221+MLLMLLLeq221221+对于实际的耦合线圈，无论何种串联或何种并联，其对于实际的耦合线圈，无论何种串联或何种并联，其等效电感均为正值。所以自感和互感满足如下关系等效电感均为正值。所以自感和互感满足如下关系：耦合系数满足：耦合系数满足：)(2121LLM+21LLM 121LLMk 3 互感线圈的互感线圈的T型联接型联接由于耦合线圈含有电阻，在较接近实际的电路模型中由于耦合线圈含有电阻，在较接近实际的电路模型中两自感都含有串联电阻。如图（两自感都含有串联电阻。如图（a）所示：）所示：该图可用该图可用(b)所示的不含磁耦合的电路来等效。所示的不含磁耦
25、合的电路来等效。其等效电感的计算与前式相同：其等效电感的计算与前式相同：MLLMLLMLcba21 就是说，即便模型中含有串联电阻就是说，即便模型中含有串联电阻,也可也可以通过这种方法来消除互感，得到无互感等以通过这种方法来消除互感，得到无互感等效电路。效电路。一个实际耦合电感，例如空心变压器一个实际耦合电感，例如空心变压器(一种绕在非铁磁材料上的一种绕在非铁磁材料上的变压器变压器)，一般需要考虑绕组电阻，此时可用带有串联等效电阻，一般需要考虑绕组电阻，此时可用带有串联等效电阻的互感来表示其电路模型，如图所示。的互感来表示其电路模型，如图所示。图中图中u1与与i2参考方向相对星参考方向相对星标
26、标*是相反的，是相反的，u2与与i1也是相也是相反的，故反的，故M前均应取负号，前均应取负号，端口特性方程将是：端口特性方程将是：+tiLtiMiRutiMtiLiRudddddddd221222211111 本节的基本要求是熟练掌握理本节的基本要求是熟练掌握理想变压器特性方程，理解实际变压想变压器特性方程，理解实际变压器与理想变压器的关系、理想变压器与理想变压器的关系、理想变压器的电阻变换作用。器的电阻变换作用。5.4 理想变压器理想变压器是实际电磁耦合元件的一种理想化模型，理想变压器是实际电磁耦合元件的一种理想化模型，其示意图和电路符号如图所示。其示意图和电路符号如图所示。理想化认为：理想
27、化认为：11,N 22N 02211+iNiNl dHl1)铁心的磁导率铁心的磁导率2)每个线圈的漏磁通为零每个线圈的漏磁通为零,即两个线圈为全耦合即两个线圈为全耦合3)线圈电阻为零线圈电阻为零,端口电压等于感应电动势端口电压等于感应电动势4)铁心的损耗为零铁心的损耗为零dtdNdtdudtdNdtdu122111,由此得图示理想变压器由此得图示理想变压器的端口方程的端口方程：变比变比（匝数比）212121,nuunNNuu或2112211,1ininNNii或 特性方程中的、号，必须根据特性方程中的、号，必须根据u1、u2和和 i1、i2参考方向与同名端的关系确定。参考方向与同名端的关系确定
28、。如果如果u1、u2在同名端在同名端极性相同时，则极性相同时，则u1、u2关系式中冠以关系式中冠以“”号，反之号，反之冠以冠以“”号号；如果如果i1、i2均从同名端流入（或流出）均从同名端流入（或流出）时，则时，则i1、i2关系式中冠以关系式中冠以“”号，反之冠以号，反之冠以“”号号。nNNuu2121nNNii11221 下面下面 给出了一些同名端与理想变压器端口方程的给出了一些同名端与理想变压器端口方程的关系示例。关系示例。对应的特性方程分别为对应的特性方程分别为(注意符号注意符号)(a)(b)(c)(d)21211ininuu21211ininuu21211ininuu21211inin
29、uu理想变压器输入的总功率为：理想变压器输入的总功率为：说明：变压器元件不仅是说明：变压器元件不仅是无源的无源的，而且每一瞬间输，而且每一瞬间输入功率等于输出功率，即传输过程中既无能量的损入功率等于输出功率，即传输过程中既无能量的损耗，也无能量的存储，属于耗，也无能量的存储，属于非能元件非能元件。0)(222222222211+iuiuiuninuiuiup变压器输入端口等效电阻为 亦即当理想变压器输出端口接电阻R2 时，折算到输入端口的等效电阻为n2R2，如图(b)所示。在实际中变压器不但可以变压、变流，还可用于变换电阻。图(a)所示电路中 222211RnninuiuRi解：由变压器特性方程可知：对左回路应用KVL方程：将式(1)代入式(2)，考虑到 ，可得：21uu 例例5.5、图示电路中，要求图示电路中，要求 ,变比变比n应为多少应为多少?21uu114nn+121)41()41(unnunnu+0.5n 解得)1()16(1122121unininuu)2(4421111nuiuiu+作业 P125 5.2 P127 5.11 P128 5.17书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
