1、第五章第五章 函函 数数 1 函数的概念函数的概念 2 特殊函数特殊函数 3 函数的复合和逆函数函数的复合和逆函数1 函数的概念函数的概念函数的定义函数的定义 定义定义设设A和和B是任意两个集合，是任意两个集合，f是是 AB的一个二的一个二元关系，若对于任意元关系，若对于任意xA A，集合，集合B B都存在都存在 唯一的唯一的 元元素素y ，使得使得 f，则称二元关系则称二元关系f为函数（映为函数（映射）射）,并记为：并记为：f：AB。（2）二元关系）二元关系f为集合为集合AB上的函数，则上的函数，则函数函数f f的定义域为：的定义域为：fdomA（3）对任意xA，其函数值f(x)是唯一的（4
2、）函数f 的值域：ranfB讨论定义：讨论定义：（1 1）若）若 f f，则称，则称x x为自变量，为自变量，y y称作函数称作函数f f在在x x点处点处的值。也可用的值。也可用y=f(x)y=f(x)表示表示 f f。例：判定下列关系是否为函数例：判定下列关系是否为函数XDfYRf是函数是函数 XDf不是函数不是函数 值不是唯一的值不是唯一的不是函数不是函数 例：设例：设X=Y=RX=Y=R（实数）（实数）,|,)1(2xyRyxyxf,|,)2(2yxRyxyxg这不是函数这不是函数这是函数这是函数定义定义：给定函数：给定函数f:ABf:AB和和g:CDg:CD，如果，如果A=CA=C，
3、B=DB=D，Ax或或 Cx函数函数f f和和g g是相等的是相等的 。都有都有f(x)=g(x)f(x)=g(x)，则称，则称并对所有的并对所有的2 2函数相等函数相等函数的构成函数的构成 例：设X=a,b,c，Y=0,1，则 1,0,1,0,1,0,ccbbaaYX每个子集对应一个二元关系，因此在集合每个子集对应一个二元关系，因此在集合X YX Y上上可以产生可以产生6464个二元关系。个二元关系。YX 中，有中，有 6426个子集。个子集。但在但在6464个关系中个关系中只有只有8 8个二元关系符合函数的定义。个二元关系符合函数的定义。这这8 8个函数为：个函数为：0000,0,0,0a
4、bccbaf0011abcf0102abcf0113abcf1004abcf1106abcf1015abcf1117abcf讨论：讨论：（1）设）设|X|=m，|Y|=n，则函数，则函数f:XY中都是中都是m个序偶的集个序偶的集合；（即序偶个数合；（即序偶个数=定义域的基数）定义域的基数）（2 2）X X中每一个元素所对应的象点中每一个元素所对应的象点f(x)f(x)可能是可能是Y Y中中n n个，个，则从集合则从集合X-YX-Y的所有函数个数为：的所有函数个数为：|XmYn2 特殊函数特殊函数1.1.几种特殊函数几种特殊函数 定义定义：给定函数：给定函数f:XYf:XY，如果值域，如果值域
5、R Rf f=Y=Y 则称则称f f为满射函数。为满射函数。满射函数一定有：满射函数一定有：(1)|X|Y|(1)|X|Y|(2)(2)R Rf f=Y=Y入射函数满足：入射函数满足：定义定义：给定：给定f:XYf:XY，如果有，如果有 )()(2121xfxfxx2121)()(xxxfxf或者：或者：则称则称f f是入射函数。是入射函数。(1)|X|Y|(1)|X|Y|(2)(2)R Rf fY Y 双射函数满足：双射函数满足：例：在全班同学的集合中，设：例：在全班同学的集合中，设：X=X=学号学号，Y=Y=姓名姓名 则：则：f:XYf:XY是一双射函数（学号和姓名的关系）是一双射函数（学
6、号和姓名的关系）定义定义：给定函数：给定函数f:XYf:XY，如果，如果f f既是满射函数，既是满射函数，又是入射函数，则称又是入射函数，则称f f为双射函数。为双射函数。(1)|X|=|Y|(1)|X|=|Y|(2)(2)R Rf f=Y=Y 3 函数的复合和逆函数函数的复合和逆函数例：定义一函数例：定义一函数 f f如右图所示如右图所示Ryx,，则，则 Rxy,现在讨论函数能否像二元关系那样得到逆函数呢？现在讨论函数能否像二元关系那样得到逆函数呢？设设f)1(的定义域不是的定义域不是Y Y，而是，而是Y Y的子集的子集 f)2(不满足函数定义中值是唯一的条件不满足函数定义中值是唯一的条件f
7、是一种二元关系，而不是函数是一种二元关系，而不是函数 （3 3）只有双射函数存在逆函数）只有双射函数存在逆函数.为了和逆关系相区别，函数为了和逆关系相区别，函数f f的的“逆函数逆函数”用用1f来表示来表示 定理定理：如果：如果f:XYf:XY是双射函数，则是双射函数，则 ：XYf:1也为双射函数。也为双射函数。YXf:定义定义：设：设是一双射函数，称是一双射函数，称XYf:1为为f f的逆函数。的逆函数。定义定义：设：设f:XYf:XY和和g:WZg:WZ是二个函数，若是二个函数，若 )()(|,ygzxfyYyyZzXxzxfgWXf)(则：称称g g在函数在函数f f的左边可复合。的左边
8、可复合。讨论定义：讨论定义：两个函数的复合可以形成一个新的函数。两个函数的复合可以形成一个新的函数。例：例：sin(sin(coscos x)x)，先求，先求coscos x x，然后求，然后求sin(sin(coscos x)x)例：设X=1,2,3,Y=p,q,Z=a,b f:XY=g:YZ=gf,3,2,1bbbfg fg 是是XZXZ的函数的函数则：则：函数的复合运算不满足交换律。函数的复合运算不满足交换律。定理定理：函数的复合运算是可结合的，即如果：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,hf,g,h均均为函数，则有：为函数，则有：fghfgh)()(证明：证明：二元关系的复合是满足
9、结合律的，而二元关系的复合是满足结合律的，而函数函数 也是也是一种二元关系，一种二元关系，函数的复合也是满足结合律函数的复合也是满足结合律 。例：例：I I是整数集合，是整数集合，f f：IIII定义成定义成f(f(i i)=2i+1)=2i+1，求复合函数，求复合函数 )(3if解：)(3if)1)12(2()12()(ififfifff781681)1)12(2(2iii)(3if1)1)(2(21)(2)(22ifififf781681)1)12(2(2iii定理定理：设f:XY，g:YZ，fg 是一合成函数，则：是一合成函数，则：(1)(1)如果如果f f和和g g都是满射函数，则都是
10、满射函数，则 fg 也是满射函数；也是满射函数；(2)(2)如果如果f f和和g g都是入射函数，则都是入射函数，则 fg 也是入射函数；也是入射函数；(3)(3)如果如果f f和和g g都是双射函数，则都是双射函数，则 fg 也是双射函数。也是双射函数。jixx,是任意的，是任意的，fg 也是入射函数。也是入射函数。可用同样的方法证明（可用同样的方法证明（1 1）和（）和（3 3）证明：（证明：（2 2）设任一）设任一 jijixxXxx,ff为入射函数，为入射函数，)()(jixfxf)()(jixfgxfg又又g g为入射函数为入射函数,且且 )()(jixfxf即)()(jixfgxf
11、g例：设例：设 I是负整数集合，定义二个双射函数是负整数集合，定义二个双射函数f f和和g g，IIf:f(x)=-x=f(x)=-x=，NIg:g(x)=x-1=g(x)=x-1=，:fg 1,20,1)1)()(xxfgNI是一双射函数。是一双射函数。定义定义：给定：给定f:XY，如果对于所有的，如果对于所有的 Xx和某一个和某一个yYyY,有有f(x)=yf(x)=y，则称，则称f f为常函数。为常函数。例：定义定义：给定：给定 XXIx:，若对所有的，若对所有的 Xx有 xxIx)(，即，即|,XxxxIx则称则称 xI为恒等函数。为恒等函数。例：例：定理定理：对于任何函数：对于任何函
12、数f:XY，其中，其中 xI是是XXXX的恒等函数，的恒等函数，yI是是YYYY的恒等函数，则有的恒等函数，则有 XXYYffIIfyx定理定理：如果函数：如果函数f:XY有逆函数有逆函数 XYf:1则 xIff1且 yIff1证明：设任一证明：设任一 fyx,，则 1,fxyxIXxxxff|,1yIYyyyff|,1此定理说明：可用双射函数此定理说明：可用双射函数f f和和 1f的复合来生成的复合来生成恒等函数。恒等函数。定理定理：若：若f是一双射函数，则是一双射函数，则 ff11)(证明：设任一证明：设任一 fyx,则则 1,fxy (f(f-1-1)-1-1 f f (f(f-1-1)-1-1同理可证同理可证(f(f-1-1)-1-1 f f(f(f-1-1)-1-1=f f证明：由给定条件证明：由给定条件f,g均为双射函数均为双射函数,则则111)(,fgfggf均为双射函数均为双射函数 设任一 Xx则则y=f(x)y=f(x)，z=g(y)z=g(y)fgzx,1)(,fgxz1,fxy且 1,gyz11,gfxzxx是任意的，是任意的，定理定理：设：设f:XYf:XY和和g:YZ,g:YZ,且且f f和和g g均为双射函数，则有均为双射函数，则有 111)(gffg111)(-gffgoo同理可证：同理可证：11-gfo1)(-fg o111)(gffg则：
