1、理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第第3 3章章 平面任意力系平面任意力系3.1 平面任意力系的简化平面任意力系的简化3.2 平面任意力系简化结果的分析平面任意力系简化结果的分析3.3 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡3.4 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题3.5 平面桁架平面桁架 3.6 考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社3.1 平面任意力系的简化平面任意力系的简化平面任意力系平面任意力系：各力的作用线位于同一平面内，但呈任意分布的力系。例例理论力学电子教案理论力学电子教
2、案 C 机械工业出版社机械工业出版社33.1.1 3.1.1 力的平移定理力的平移定理力的平移定理力的平移定理：可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A处的力处的力F平行移到另一平行移到另一 点点O，但必须同时附加一个力偶。该力偶之矩，但必须同时附加一个力偶。该力偶之矩 等于原来的力等于原来的力F对新作用点对新作用点O之矩。之矩。证证 力力 力系力系），力偶（力FFF FFF,F()OMMFdF力的平移定理是力系简化的理论基础。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社43.1.2 平面任意力系向作用面内任一点简化平面任意力系向作用面内任一点简化一般力系（任意力系）一
3、般力系（任意力系）向一点简化向一点简化 汇交力系汇交力系+力偶系力偶系 （未知力系）（已知力系）汇交力系 力 ，FR(主矢主矢)，(作用在简化中心)力 偶 系 力偶，MO(主矩主矩)，(作用在该平面上)理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社 大小大小：主矢主矢 方向方向：主矢的方向与x轴正向的夹角为 简化中心简化中心 (与简化中心位置无关)因主矢等于各力的矢量和RF5一、主矢一、主矢等于原力系中各力的矢量和，称为原平面力系的主矢。FFFFFn21R（移动效应移动效应）222R2RRyxyxFFFFFRRarctanarctanyyxxFFFF理论力学电子教案理论力学
4、电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社6二、主矩二、主矩等于原力系中各力对于简化中心O之矩的代数和，称为原平面力系对于简化中心的主矩。)(21FOnOMMMMM 大小大小：主矩主矩 方向方向：方向规定 +简化中心简化中心：(与简化中心有关)（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）OM（转动效应转动效应）)(iOOFmM理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7三、固定端约束三、固定端约束 认为认为Fi这群力在同一这群力在同一 平面内平面内;将将Fi向向A点简化得一点简化得一 力和一力偶力和一力偶;RA方向不定可用正交方向不定可用正交 分力分力FAx,FAy表示表示
5、;FAx,FAy,MA为固定端为固定端 约束反力约束反力;FAx,FAy限制物体平动限制物体平动,MA限制物体转动。限制物体转动。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社83-2 平面任意力系简化结果的分析平面任意力系简化结果的分析3.2.1 简化结果的分析简化结果的分析简化结果：主矢 ，主矩MO，可能出现以下四种情况：RF =0，MO=0，该平面任意力系为平衡力系，将在下节详细讨论。RF =0,MO0 简化为一个合力偶，其力偶矩等于原力系 对于简化中心O的主矩。由于力偶对其平面内任一点的矩都相等，故不论原力系向哪一点简化，得到的合力偶矩都相同。力系的主矩与简化中心的
6、位置无关。RF 0,MO=0,简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）。此时简化结构与简化中心有关，换个简化中心，主矩将不再为零。RF理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社9 0,MO 0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简化可以继续简化 为一个合力为一个合力FR。合力合力FR的大小等于原力系的主矢的大小等于原力系的主矢点O到合力作用线的距离RFRFMdO理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社103.2.2 合力矩定理合力矩定理 平面任意力系的合力对于点O之矩等于原力系对简化中心O的主矩，即：原力系对简化
7、中心O的主矩，又等于原力系中各力对简化中心O之矩的代数和，即于是，便有即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和中各力对于同一点之矩的代数和 平面任意力系 的合力矩定理。R()OOMMF)(FOOMMR()()OOMMFF理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社求：合力的大小、方向及与基底AB的交点至点A的距离a。该力系的合力。11例 3-1 已知:重力坝，G1=450kN，G2=200kN，左侧水压力F1=300kN，右侧水压力F2=80kN，其作用线过坝体角点A。解：1、首先将力系
8、向点A简化，求得力系的主矢 和对点A的主矩MA。由图示几何关系：主矢 在坐标轴上的投影分别为RFarctan(3/9)18.4R12R122cos224.1kNsin675.3kNxxyyFFFFFFGGF 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社12主矢 的大小为：其与x轴正向间的夹角为2222RRR224.1675.3711.5kNxyFFF RR675.3arctanarctan71.6224.1yxFF 力系对于点A的主矩为112()31.542375.0 kN mAAMMFGG F2、原力系还可进一步简化为过点C的一个合力FR，其大小和方向与主矢 相同。设合
9、力FR与基底AB的交点C到A的距离为a：RFR/2375.0/711.53.52 msinsinsin71.6AMFdaAC理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社求：该分布力系合力的大小及作用线位置。该力系的合力。13例 3-2 已知:长度为l的简支梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图所示，其分布载荷集度的最大值为q0。解：1、建立坐标系Axy如图所示，载荷集度为坐标位置x的函数。距A端为x处的载荷集度为：整个梁上分布载荷合力的大小为0)(qlxxqlllqxqlxxxqF0000R21dd)(方向铅垂向下。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工
10、业出版社142、下面确定此合力作用线的位置。设合力的作用线距A端的距离为a，在距A端x处取长度为dx的微段，该微段上的力q(x)dx对点A的力矩为q(x)xdx，则由合力矩定理，得：即结论：结论：按三角形分布的载荷，其合力的大小等于三角形线分布载荷的面积，合力的作用线通过三角形的几何中心。lxxxqaF0Rd)(lxxlqlaq0200d21积分上式，得la32理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社15 3.3 平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡 3.3.1 平面任意力系平衡的必要与充分条件平面任意力系平衡的必要与充分条件所以平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力
11、系平衡的充要条件为：力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 MO 都等于零都等于零，即：0FFR0)(FOOMM 由于 =0 保证物体移动平衡 MO=0 为转动平衡RFRF0)(00FOyxMFF平衡方程平衡方程基本形式基本形式理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社16二矩式二矩式条件：条件：x 轴不轴不 AB 连线连线三矩式三矩式条件：条件：A,B,C不在不在 同一直线上同一直线上平面一般力系的平衡问题可以列出三个独立方程，平面一般力系的平衡问题可以列出三个独立方程，只能求解三个未知数。只能求解三个未知数。基本式基本式无条件无条件3.3.2 平衡方程的其他形式平衡方程
12、的其他形式0)(00FOyxMFF0)(0)(0FFBAxMMF0)(0)(0)(FFFCBAMMM理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社求：求支座A、B处的约束力。17例 3-3 已知:外伸梁受一个力偶和一个集 中力作用，尺寸如图所示。解：1、选取梁作为研究对象。梁所受的主动力有力偶和集中力，约束力有A处的FAx、FAy以及B处的FB，假设三个未知力的方向如图所示。2、对研究对象列平衡方程：04645sin23,0)(045sin2,0045cos2,0BABAyyAxxFMFFFFFF理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社18解以上三
13、个方程，可得：其中FAx和FAy的值为负，说明其实际方向与假设的方向相反。FB的值为正，说明其实际方向与假设的方向相同。kNFkNFkNFBAyAx87.246.141.1理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社求：固定端A处的约束力。19例 3-2 已知:置于铅垂平面内的T字形刚架，G=80 kN，M=30 kNm，F=200 kN，q0=20 kN/m，a=1 m。解：1、取T字形刚架为研究对象，其中按三角形分布的载荷可由作用于三角形几何中心的集中力F1=30 kN代替。作用于A处的约束力有FAx、Fay和约束力偶MA，假设的约束力方向如图所示。理论力学电子教案理
14、论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社202、按图示坐标系列平衡方程：解以上方程，可求得110,cos3000,sin3000,cos303sin300 xAxyAyAAFFFFFFGFMMMFaFaFa11cos30203.2 kNsin30180.0 kN1cos303sin301479.6 kNAxAyAFFFFGFMMFFF 其中约束力偶中的负号说明其实际转向与所设转向相反，即MA应为顺时针方向。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社21设有F1,F2 Fn 构成平面平行力系建立坐标系，使x轴与各力作用线垂直，则各力在x轴上的投影等于零平衡方程 自
15、然满足。这样平面平行力系独立的平衡方程就只剩下两个：3.3.3 平面平行力系的平衡平面平行力系的平衡平面平行力系平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。0 xF00OyMF00BAMM二矩式二矩式条件：条件：AB连线不能平行连线不能平行 于力的作用线于力的作用线理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社求：平衡重G1及其至左轮距离x的取值范围。22例 3-5 已知:起重机，G=500kN，重心在两铁轨的对称平面内，最大起重量G2为200kN。为保证起重机在空载和满载时都不致倾倒。解：选取起重机为研究对象，其满载时的受力如右图所示。1、满载时的情况。作用于
16、起重机上的力有起重机本身重力G、平衡重G1、吊起物的重力G2以及钢轨约束力FA和FB。这些力组成一个平面平行力系。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社23要使起重机满载时不向右倾倒，除满足平衡方程：121.5()0,(1.5)61.502BAMG xGGFF以外，还需满足 的限制条件。由上式0AF1(1.5)825 1.5AG xF1(1.5)825kNG x所以：2、空载时。作用于起重机上的力有起重机自身重力G、平衡重G1以及钢轨约束力FA和FB。要使起重机在空载时不向左倾倒，除满足平衡方程：11.5()0,1.502ABMFGG xF以外，还需满足 的限制条件
17、。由上式0BF1375 1.5BG xF理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社24得平衡重：注意到 的条件，有0BF1375 kNG x 1300 kNG 平衡重至左轮距离 m25.1x理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社物体系统：工程中的机构和结构通常是由若干物体通过一定的 约束组成的系统。253-4 3-4 物体系统的平衡物体系统的平衡问题问题3.4.1 物体系统物体系统外力外力：系统以外的物体对于该系统的作用力叫外力。内力内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物体系统平衡的特点：物体系统平衡的特点：取整个系统为研究对象时，对
18、内力可以不予考虑。整个物体系统平衡时，其中的每一物体也都处于平衡状态。根据具体情况来确定，可以取整个系统作为研究对象，也 可以取系统中的某个或某几个物体作为研究对象。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社263.4.2 静定与超静定的概念静定与超静定的概念 静力学中，每一种平衡力系所对应的独立平衡方程的数目是一定的：平面力偶系 一个独立方程，只能求一个独立未知数。平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。平面平行力系 同平面汇交力系平面任意力系 三个独立方程，只能求三个独立未知数。当：独立方程数目独立方程数目未知量数目时，是静定问题（可求解）未知量数目时，是
19、静定问题（可求解）独立方程数目独立方程数目 未知量数目时，是静不定问题（超静定问题）未知量数目时，是静不定问题（超静定问题）相应的工程结构称为超静定结构超静定结构。未知量数目与独立平衡方程数目之差称为超静定次数超静定次数。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社27 图c所示的结构为一次超静定结构，图d所示的结构为二次超静定结构。图a、b所示为静定结构。例例 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社283.4.3 物体系统平衡问题分析实例物体系统平衡问题分析实例求：A、B处的约束力和中间铰C所传递的力。例 3-6 已知:组合梁由AC和CD组成
20、，载荷及约束情况如图。F1=10kN，F2=8kN，均布载荷集度q=3kN/m，a=2m。解：1、在组合结构中，有的可以分成基本部分和附属部分。单靠本身就能承受载荷并保持平衡的部分称为基本部分；必须依赖于基本部分才能承受载荷并维持平衡的部分称为附属部分。该组合梁可视为由基本部分AC和附属部分CD组合而成。对这类问题，通常先研究附属部分，再研究基本部分。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社292、先取附属部分CD为研究对象，其受力如图所示。列平衡方程：代入数据并求解，得0,0 xCxFF20,0yC yBFFFFqa23()0,022CBaMFqaaF aFkN1k
21、N132321022ByCBxCFqaFFqaFFF理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社303、再取基本部分AC为研究对象，其受力如图所示，列平衡方程：代入数据并求解，得02,0)(0,00,011aFaFMMFFFFFFFCyAACyAyyCxAxxFmkN162kN11011aFaFMFFFFCyACyAyAx理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社31求：支座A、B处的约束力。例 3-7 已知:三铰刚架，F=20kN，q=30kN/m，a=2m。解：1、对于一般情况，先取整体为研究对象，待求出部分约束力后再研究其中的一部分，以求出其
22、余的约束力。取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0,0FFFFBxAxx0,0qaFFFByAyy022,0)(aFFaaqaMByAF理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社322、再取折杆CB为研究对象。对CB部分来讲，铰链C所传递的力属于外力，故应予以考虑。该部分的受力如图所示。列平衡方程：代入数据并求解，得可解得kN522023021221212122FaqaaFBykN555230ByAyFqaF0,0FFFFBxCxx0,0ByCyyFFF0,0)(aFaFMByBxCFkN5ByCyFFkN5ByBxFFkN25520BxCxFFFkN25520
23、BxAxFFF最后可求出理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社33求：支座A、B处的约束力。例 3-8 已知:已知力F和尺寸a，各构件重量及摩擦不计。解：1、先取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：解得：MB(F)=0，FAy2a Fa=0 Fy=0,FAy+FBy F=0Fx=0,FAx+FBx=0 FFAy21FFBy23理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社342、再研究杆EH，其受力如右图所示，由：代入数据并求解，得MC(F)=0，FE a sin45Fa=0 解得：2EFF3、最后研究杆AD，其受力如右图所示，由：MD(F
24、)=0，FAx2a FAy2a FE a=02FFAx21FFBx21理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社35求：当机构平衡时作用在滑块D上的水平力F的值。例 3-9 已知:a=0.1m，l=0.5m，,。解：本题属于求机构平衡时主动力之间关系的问题。对这类机构进行受力分析时，通常是由已知到未知依传动顺序选取研究对象，逐一求解。1、首先以曲柄OA为研究对象，其受力如图所示，列平衡方程：30mN500M()0,cos0ABMMF aF5005773.5Ncos0.1 cos30ABMFa解得：理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社362、
25、再取杆CB、BD和滑块D的组合为研究对象，其受力如图所示。考虑到杆CB为二力杆，故C处的约束力FC沿CB方向。为简化计算，将各力对FC和FD的交点E取矩，有：代入数据并求解，得22()0,2 sincossin0EABABMFlF lF lFcos2cot22886.8 N2sinABFMFa理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社373-5 平面桁架平面桁架3.5.1 平面桁架的假设桁架桁架：由若干杆件在两端用铰链连接而成，且所有载荷都作用 在节点上的结构。各杆件轴线都处在同一平面内的桁架 称为平面桁架平面桁架。平面桁架的假设：平面桁架的假设：1、各杆在两端用光滑铰
26、链彼此连接。2、各杆的轴线平直且在同一平面内，并通过铰链的几何中心。3、载荷和支座约束力都作用在节点上，且位于桁架的平面内。4、各杆件自重或忽略不计，或平均分配在杆件的两端节点上。桁架中的杆件均可视为二力杆，只承受拉力或压力作用。桁架中的杆件均可视为二力杆，只承受拉力或压力作用。求桁架内力常常采用节点法节点法和截面法截面法。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社38解解：首先以桁架整体为研究对象，求出支座约束力。桁架受力如图所示，对整体列平衡方程3.5.2 节点法节点法 通过依次取各节点为研究对象，利用平面汇交力系的平衡条件求出各杆内力的方法称为节点法节点法。试求求
27、：图中所示桁架各杆的内力。例例3-100222232,0)(04,00,0aFaFaFaFaFMFFFFFFBABAyyAxxF解上述方程，得：FFFFFAyBAx220理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社39由于本桁架结构及其所受外力都对称于中线ED，各相应对称杆件的内力必然相等。因此，只计算中线ED左侧各杆的内力即可。取节点A 为研究对象。假设杆AC和AD均受拉力，则节点A的受力如图所示。对节点A列平衡方程：解上述方程，得：030cos,0ACADxFFF0230sin,0FFFFACAyyFFFFADAC6.2,3其中FAC得负值，说明杆AC受压；FAD得正
28、值，说明杆AD受拉。再取节点C为研究对。则节点C的受力如图所示。使y轴与未知力FCE垂直，对节点C列平衡方程：030cos30cos,0060cos60cos,0CDyCDACCExFFFFFFFF理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社40最后，取节点E为研究对象，其受力如图所示。对节点E列平衡方程：解上述方程，并注意到 ，得：FFFACAC3FFFFCECD2,060cos60cos,0030cos30cos,0EGCEEDyCEEGxFFFFFFFF解上述方程，并注意到 ，得：FFFCECE2FFFFEDEG,2理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版
29、社机械工业出版社413.5.3 截面截面法法 选择适当的截面，假想地把桁架截为两部分，取其中一部分为研究对象，求出被截杆件内力的方法称为截面法截面法。解解：首先求支座约束力。取桁架整体为研究对象，其受力情况如图所示。对整个结构列平衡方程：试求求：CD、DH和HG三杆的内力。例例3-11解上述方程，得：已知:F1=10kN，F2=7kN，各杆长度均为a=1m。032,0)(0,00,02121aFaFaFMFFFFFFFBABAyyAxxFkN9kN,8,0AyBAxFFF理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社42其次，为求CD、DH和HG三杆的内力，可假想用截面m-
30、n将三根杆截断，把桁架分为两部分，取左边部分为研究对象，其受力如图所示。解上述方程，得：0232123)(,0)(023,0)(023,011aFaFaFFMaFaFMFFFFAyAxHGDAyCDHDHAyyFFkN81.9,kN15.1,kN4.10HGDHCDFFF对左边部分列平衡方程，有：理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社431、摩擦力摩擦力：当两个相互接触的物体产生相对运动或具有 相对运动趋势时，会在接触部位产生一种阻 碍对方相对运动的阻碍作用。2、滑动摩擦力滑动摩擦力：当相对运动为滑动或具有相对滑动 趋势时相应的摩擦力。3、滚动摩擦力偶滚动摩擦力偶：
31、当相对运动为滚动或具有相对滚 动趋势时，相应的摩擦力实际上 是一种力偶。3-6 考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题几个概念：理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社443.6.1 滑动摩擦滑动摩擦 一滑动摩擦定律运动状态：静止：临界：（将动未动）静滑动摩擦力达到极限 值，称为最大静摩擦力最大静摩擦力，以Fmax表示。滑动：这时的摩擦力称为动滑动摩擦力动滑动摩擦力：FFsNsmaxFfFNFfF 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社滑动摩擦的特征 大小：。方向：与物体相对滑动方向或运动趋势方向相反。摩擦因数：无量纲比例系数f
32、和f 分别称为静摩擦因数静摩擦因数和和动动 摩擦因数摩擦因数。它们与接触物体材料的性质、接触 面的状态（如光洁度、温度、湿度、润滑情况 等）等因素有关，一般由实验测定，可在有关 工程手册中查到。45smax0FF理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社46二、摩擦角的概念：定义：当摩擦力达到最大静摩擦力时，全约束力FR与接触面法线的夹角也达到其最大值 ，这个角称为两接触物体的摩擦角摩擦角。m 即摩擦角的正切值等于静摩擦因数，故摩擦角也是反映物体间摩擦性质的一个物理量。sNsNNmaxmtanfFfFFF计算：理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业
33、出版社三、自锁条件定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦力与即全反力，自己把自己卡 紧，无论外力多大都不会松开的现象称为自锁。47自锁条件：m0理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社483.6.2 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 考虑具有摩擦的物体或物体系统的平衡问题，其解法与平面任意力系在原则上并无差别,只是在进行受力分析时要考虑摩擦力。而且具有摩擦的平衡问题的解往往以不等式的形式给出一个平衡范围。解解：根据题意，如F1的值太小，物块将下滑；如F1的值过大，又将使物块上滑，所以需分两种情形加以讨论。1、先求恰能维持物块不致下滑所需的F1最小值F1min
34、。这时物块仍有下滑趋势，摩擦力向上，其受力情况如图所示。对物块列平衡方程：试求求：F1的取值范围。例例3-12 已知:重为G的物块放在倾角为的斜面上，大于摩擦角。物块与斜面间的摩擦因数为fs。有一水平力F1使物块保持静止。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社491minmax0,cossin0 xFFFG1minN10,sincos0yFFFG在极限情况下，补充物理方程1NsmaxFfF解方程，得：s1minssincoscossinfFGfmstanf考虑到 m1minmmsintancostan()costansinFGG2、再求不致使物块向上滑动的F1的最大
35、值F1max。这时物块处于临界状态，有向上滑动趋势，摩擦力向下，如图所示。对物块列出平衡方程：1maxmax0,cossin0 xFFFG1maxN20,sincos0yFFFG2NsmaxFfF补充物理方程：理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社50解方程，得：mtansf考虑到 s1maxssincoscossinfFGfm1maxmmsintancostan()costansinFGG由此可知，要维持物块平衡，作用力F1的值应满足的条件是:m1mtan()tan()GFG这便是所求的平衡范围。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5
36、1求：（1）F=1.2kN时，棱柱体是否处于平衡状态；（2）能保持棱柱体平衡的力F的最大值。例 3-13 解：已知:均质棱柱体重G=4.8kN，其高度h=2m，宽度b=1m，放置在水平面上。与水平面之间的静摩擦因数 ,。s1/3f arctan(3/4)1、棱柱体的受力如右图所示，要保持棱柱体平衡，必须满足如下两个条件：一是不发生滑动，要求静摩擦力小于等于最大摩擦力，即 ，二是不绕角点B倾倒，这就要求法向约束力FN的作用线距中心点的距离 NsmaxsFfFF2/bd 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社522、为求保持棱柱体平衡的最大拉力Fmax，可分别求出棱柱体
37、即将滑动时的临界拉力F1max和即将绕B点倾倒时的临界拉力F2max，二者中较小者即为所求。对棱柱体列平衡方程：s0,cos0 xFFFN0,sin0yFFFGN()0,cos022BbbMGFdFhF可解得kN96.054sFFNsin4.08kNFGFm382.0d而棱柱体与地面间的最大摩擦力为kN36.1NsmaxFfF 结果分析:静摩擦力Fs的值小于最大摩擦力，棱柱体不会滑动。又由于d小于b/2=0.5m，棱柱体不会倾倒。所以，当F=1.2kN时棱柱体处于平衡状态。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社53棱柱体将要滑动的条件为：棱柱体将绕B点倾倒的条件是d
38、=b/2,因此:NssFfF 将其代入前面的公式,可求得:s1maxs(1/3)4.81.6 kNcossin(4/5)(1/3)(3/5)f GFf2max4.8 11.5kN2cos22(4/5)GbFh 故保持棱柱体平衡的最大拉力为kN5.1max2max FF 结论：结论：当拉力F逐渐增大时，棱柱体将由于先倾倒而失去平衡。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社 1、分析：本系统存在三种可能的临界平衡状态：1）轮轴B与固定面接触处的摩擦力FB首先达到最大值，对应于轮轴绕E作纯滚动；2）物块A与固定面接触处的摩擦力FA首先达到最大值，对应于轮轴绕B作纯滚动；3）
39、FA和FB同时达到最大值，此时轮轴沿水平面既滚动又滑动。54求：使此物体系统处于临界平衡状态时物块Q的最大值Qmax。例 3-14 已知:物块A重GA=100kN，轮轴B重GB=100kN。重物A 与水平面的摩擦因数fA=0.5，轮轴B与水平面的摩擦因数fB=0.2，轮的半径R=100mm，轴的半径r=50mm，不计其余物体的重量。解：理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社55分别取轮轴B和物块A作为研究对象，其受力如图所示。对物块A列平衡方程：2、第一种可能出现的临界状态，此时下列两条件应同时成立：BBBFfFNAAAAFfFFNmaxT0,cos0 xBFQFF
40、N0,sin0yBBFQFG0,0)(TQRrFRFMBOF 对轮轴B列平衡方程：0,0TAxFFFN0,0yAAFFG 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社56将方程联立求解，得：可求出轮轴上绳索的拉力FT的值：cosBRrQFRrNsinBBFGQ假设条件 成立，得：BBBFfFN38.5kNcos()sinBBBRr f GQRrRr fTcos(sin)46.2 kNBBFQfGQ该值与A处的摩擦力FA的值相等，即46.2 kNAF maxN50kNAAAAAAFf Ff GF而:结论：结论：在A处的摩擦力尚未达到最大值以前，B处的摩擦力已经达到最大值。系统平衡的临界状态是轮轴绕E作纯滚动。故使此系统处于临界平衡状态时Q的最大值为Q max=38.5kN。
