1、3 相似矩阵1.1.概念的引入概念的引入已知矩阵已知矩阵 ,求求 .2143A11A我们可以找到一个可逆矩阵我们可以找到一个可逆矩阵 ，1141P 20011APP1 PPA11111 PPA 68468327322731相似矩阵相似矩阵使使定义：定义：设设 A,B 都是都是 n 阶矩阵，阶矩阵，若有可逆矩阵若有可逆矩阵 P 满足满足P 1AP=B，则则称称 B 为矩阵为矩阵 A 的的相似矩阵相似矩阵，或称矩阵，或称矩阵A 和和 B 相似相似对对 A 进行运算进行运算 P 1AP 称为对称为对 A 进行进行相似变换相似变换称称可逆矩阵可逆矩阵 P 为把为把 A 变成变成 B 的的相似变换矩阵相
2、似变换矩阵定理定理 方阵方阵 A 与与 B 等价的充要条件是存在等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P 及及 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q，使，使 PAQ=B.二、相似矩阵的性质 若若 是是 的相似矩阵，则的相似矩阵，则 也是也是 的相似矩阵的相似矩阵.ABAB 若若 与与 相似，则它们的行列式相等：相似，则它们的行列式相等：.ABBA 若若 与与 相似，则相似，则 与与 也相似也相似.ABEA EB 若若 与与 相似，则相似，则 与与 也相似也相似.ABEA EB 证证因为因为 与与 相似，所以存在可逆矩阵相似，所以存在可逆矩阵 ，使，使ABPBAPP 1于是于是PEAP)(1
3、PEPAPP)(11 PPAPP11 EB 即即PEAP)(1 EB 因此因此 与与 相似相似.EA EB 二、相似矩阵的性质 定理定理 若若 是是 的相似矩阵，则的相似矩阵，则 也是也是 的相似矩阵的相似矩阵.ABAB 若若 与与 相似，则它们的行列式相等：相似，则它们的行列式相等：.ABBA 若若 与与 相似，则相似，则 与与 也相似也相似.ABEA EB 若若 阶矩阵阶矩阵 与与 相似，则相似，则 与与 的特的特 征多项式相同，从而征多项式相同，从而 与与 的特征值也相同的特征值也相同.nABABAB定理：定理：若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，则相似，则 A 和和 B 的特征
4、多项式相同的特征多项式相同,从而从而 A 和和 B 的特征值也相同的特征值也相同证明：证明：根据题意，存在根据题意，存在可逆矩阵可逆矩阵 P，使得，使得 P 1AP=B 于是于是|B E|=|P 1AP P 1(E)P|=|P 1(A E)P|=|P 1|A E|P|=|A E|说明说明定理的逆命题不成立的定理的逆命题不成立的.如果矩阵如果矩阵 和和 的特征值的特征值 相同，它们可能相似，也可能不相似相同，它们可能相似，也可能不相似.AB例如例如 设设,3211 ,1232 则有则有,211 PP 001010100P其中其中所以所以 与与 相似相似.1 2 又设又设显然显然 与与 的特征值相
5、同，但是它们不相似的特征值相同，但是它们不相似.AB,1001 A,1011 B这是因为，如果这是因为，如果 与与 相似，存在可逆矩阵相似，存在可逆矩阵 ，使使ABPBAPP 1BEPP 1BE 矛盾！矛盾！注意：注意：当当 阶矩阵阶矩阵 都能对角化时，若它们有相同的都能对角化时，若它们有相同的 特征值，则它们是一定相似的特征值，则它们是一定相似的.nBA,若把对角阵若把对角阵 的对角元交换次序变为对角阵的对角元交换次序变为对角阵 ，则则 与与 相似相似.1 1 与单位阵相似的矩阵一定是单位阵与单位阵相似的矩阵一定是单位阵.1001A 1011B说明说明推论表明，若推论表明，若 ，则，则 的对
6、的对 角元必定是角元必定是 的全部特征值的全部特征值.)(1为为对对角角阵阵 APP A 于是在不计较于是在不计较 的对的对角元次序的意义下，角元次序的意义下，由由 惟一确定惟一确定.A问题：问题：可逆矩阵可逆矩阵 是不是也由是不是也由 确定？确定？PA 能不能用特征值和特征向量来刻画矩阵能不能用特征值和特征向量来刻画矩阵 能能 对角化的对角化的“特性特性”？A定理定理3的逆命题不成立的的逆命题不成立的.若矩阵若矩阵 和和 的特征值的特征值 相同，它们可能相似，也可能不相似相同，它们可能相似，也可能不相似.AB定理：定理：若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，则相似，则 A 和和 B 的
7、特征多项式相同的特征多项式相同,从而从而 A 和和 B 的特征值也相同的特征值也相同推论：推论：若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，则相似，则 A 的多项式的多项式 j j (A)和和 B 的的多项式多项式 j j (B)相似相似证明：证明：设设存在存在可逆矩阵可逆矩阵 P，使得，使得 P 1AP=B，则，则P 1AkP=Bk.设设j j (x)=cmxm+cm1xm1+c1x+c0，那么，那么 P 1 j j (A)P=P 1(cmAm+cm1Am1+c1A+c0 E)P=cm P 1 Am P+cm1P 1 A m1 P+c1 P 1 A P+c0 P 1 EP=cmBm+cm1B
8、m1+c1B+c0 E=j j (B).说明说明 能对角化最突出的作用表现在能对角化最突出的作用表现在 的多项式的多项式 的计算上的计算上.AA)(Aj j若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 ，使，使P APP1(为对角阵为对角阵)则有则有1 PPA1 PPAkk1)()(PPAj jj j1321)(,),(),(PPdiag j j j j j j这表明这表明 的多项式可通过同一多项式的数值计算的多项式可通过同一多项式的数值计算而得到而得到.A定理：定理：设设 n 阶矩阵阶矩阵 =diag(1,2,n)，则，则 1,2,n 就就是是 的的 n 个特征值个特征值证明：证明：故故 1,2,n 就是就
9、是 的的 n 个特征值个特征值1212()()()nnE 定理：定理：若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，则相似，则 A 和和 B 的特征多项式相同的特征多项式相同,从而从而 A 和和 B 的特征值也相同的特征值也相同推论：推论：若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，则相似，则 A 的多项式的多项式 j j (A)和和 B 的的多项式多项式 j j (B)相似相似若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 n 阶对角阵阶对角阵 =diag(1,2,n)相似，则相似，则从而通过计算从而通过计算j j ()可方便地计算可方便地计算j j (A).若若j j ()=|A E|，那么，那么 j j
10、 (A)=O（零矩阵）（零矩阵）.1211()()()()()nAPPPPj jj jj jj j j j对对 阶矩阵阶矩阵 ，nA三、方阵可对角化的充要条件1.1.方阵对角化的概念方阵对角化的概念寻找相似变换矩阵寻找相似变换矩阵 ，使，使P)(1为为对对角角阵阵 APP这就称为把这就称为把方阵方阵 对角化对角化.A说明说明 如果能找到可逆矩阵如果能找到可逆矩阵 ，使，使 ，则，则 可对角化；可对角化；P APP1A 如果找不到这样可逆矩阵如果找不到这样可逆矩阵 ，则，则 不可对角化不可对角化.PA2.2.定理的引入定理的引入设有可逆矩阵设有可逆矩阵 ，使，使 为对角阵为对角阵.APP1P A
11、PP1 PAP ),(),(2121nnppppppA),(),(2121nnppppppA n 21P 下面下面回答回答 能否由能否由 确定确定.A),(),(2221121nnpppApApAp jjjpAp ).,2,1(nj 这表明这表明 的第的第 个列向量个列向量 是是 的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量，的特征向量，AjPj jp因而因而 由由 和和 确定，确定，PA 也就是由也就是由 确定确定.A 由于特征向量不是惟一的，所以矩阵由于特征向量不是惟一的，所以矩阵 也不也不是惟一确定的是惟一确定的.P反过来，反过来，是依次与之对应的特征向量，则是依次与之对应的特征向量，则设矩
12、阵设矩阵 的的 个特征值为个特征值为 ，n ,21Annppp,21),2,1(njpApjjj ),(),(2221121nnpppApApAp PAP ),(),(2121nnppppppA),(21npppP 当当 可逆，即可逆，即 线性无关时，有线性无关时，有Pnppp,21 APP1这表明方阵这表明方阵 能否对角化完全可用能否对角化完全可用 的特征值和的特征值和特征向量来刻画特征向量来刻画.AA3.3.方阵可对角化的充要条件方阵可对角化的充要条件定理定理4 阶矩阵阶矩阵 与对角阵相似与对角阵相似(即即 能对角化能对角化)nAA的充要条件是的充要条件是 有有 个线性无关的特征向量个线性
13、无关的特征向量.An推论推论 若若 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，则个特征值互不相等，则 与对角阵相似与对角阵相似.nnAA说明说明当当 的特征方程有重根时，不一定有的特征方程有重根时，不一定有 个线性无个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化；关的特征向量，从而不一定能对角化；An 但是，有但是，有重根时，也有可能能对角化重根时，也有可能能对角化.所以所以特征值互不相等只是特征值互不相等只是 与对角阵相似的充分条件与对角阵相似的充分条件.A可逆矩阵可逆矩阵 P，满足，满足 P 1AP=（对角阵）（对角阵）AP=P Api=i pi(i=1,2,n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征
14、向量特征向量121212(,)(,)nnnA pppppp 其中其中定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似相似当且仅当当且仅当A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量推论：推论：如果如果 A 有有 n 个个不同的特征值，则不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似例例 设设,00111100 xA问问 为何值时，矩阵能对角化？为何值时，矩阵能对角化？x解解 析析：此例是定理的应用：此例是定理的应用.定理表明：定理表明：阶矩阵阶矩阵 可对角化可对角化nA有有 个线性无关特征向量个线性无关特征向量.An由此可推得另一个充要条件：由此可推得另一个充要条件：对对 的每
15、个不同的特征值的每个不同的特征值 ，的重数的重数Ai i=对应于对应于 的线性无关特征向量的个数的线性无关特征向量的个数i).(EARni 011110 xEA 11)1()1()1(2 所以的特征值为所以的特征值为 1(二重二重)，.1 对应于单根对应于单根 ，可求得线性无关的特征向量，可求得线性无关的特征向量1个；个；1 对应于二重特征值对应于二重特征值 1，若，若 能对角化，则能对角化，则A,2)(3 EAR123)(EAR 10101101xEAr 000100101x要使要使 ，则，则1)(EAR,01 x即即.1 x说明说明解答此题的关键是将解答此题的关键是将 取值条件取值条件“可
16、对角化可对角化”转化为转化为“二重特征值二重特征值 1 应满足应满足 ”，从而求得从而求得.xA123)(EAR矩阵矩阵 能否对角化，取决于它的线性无关特征能否对角化，取决于它的线性无关特征向量的个数，而与向量的个数，而与 的秩，的秩，的行列式都无关的行列式都无关.AAA例例2 设设,2143 AAP若能，找出一个相似变换矩阵若能，找出一个相似变换矩阵 将将 化为对角阵化为对角阵.试问试问 能否对角化？能否对角化？A解解先求先求 的特征值，的特征值，A 2143EA)2)(1(所以所以 的特征值为的特征值为A,11 .21 再求特征向量，再求特征向量，当当 时，对应的特征向量满足时，对应的特征
17、向量满足11 00114421xx解之，得基础解系解之，得基础解系,111 p所以对应于所以对应于 的线性无关的特征向量可取为的线性无关的特征向量可取为11 ;1p 00414121xx解之，得基础解系解之，得基础解系,142 p.2p当当 时，对应的特征向量满足时，对应的特征向量满足22 所以对应于所以对应于 的线性无关的特征向量可取为的线性无关的特征向量可取为22 由以上可知，由以上可知，有两个线性无关特征向量有两个线性无关特征向量 ，21,ppA令令),(21ppP 则则 就是所求相似变换矩阵，且有就是所求相似变换矩阵，且有P.211 APP说明说明 求相似变换矩阵的步骤：求相似变换矩阵
18、的步骤：求特征值；求特征值；求对应的线性无关特征向量（即基础解系）求对应的线性无关特征向量（即基础解系）(向量个数向量个数=相应特征值的重数相应特征值的重数)；若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶数，则相似变换矩阵存在数，则相似变换矩阵存在(否则不存在否则不存在)，由线性由线性无关的特征向量构成的矩阵就是所求无关的特征向量构成的矩阵就是所求.A所以所以 可以对角化可以对角化.四、小结v对于对于 阶矩阵阶矩阵 和和 ，若有可逆矩阵，若有可逆矩阵 ，使，使nABPBAPP 1则称则称 与与 相似相似.ABv 阶矩阵阶矩阵 与与 相似，则相似，则 和和 的特征
19、值相同，的特征值相同，反之不然反之不然.nABABv 阶矩阵阶矩阵 与对角阵相似的充要条件是与对角阵相似的充要条件是 有有 个个 线性无关的特征向量线性无关的特征向量.AnAn4 对称矩阵的对角化一、实对称阵的性质定理定理 实对称阵的特征值为实数实对称阵的特征值为实数.证证 设设 为实对称阵为实对称阵 的特征值，要证的特征值，要证 为实数，为实数，即证即证 A.因为因为 为为 的特征值，所以存在非零向量的特征值，所以存在非零向量 ，使，使 A A A A,A于是有于是有 AT)(AT)(T,T AT TTA TA)(TA)(T)(,T 实对称阵的特征值为实数实对称阵的特征值为实数.T T 因此
20、因此 .0)(T而当而当 时，时，0 Tnnxxxxxx 2211,022221 nxxx故故,0 即即,所以所以 是实数是实数.A)()(TTA 一、实对称阵的性质定理定理 实对称阵的特征值为实数实对称阵的特征值为实数.定理定理 设设 是对称阵是对称阵 的两个特征值，的两个特征值，是是21,A21,pp21 1p2p若若 ，则，则 与与 正交正交.对应的特征向量，对应的特征向量，对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.证证 要证要证 与与 正交，即证它们的内积等于正交，即证它们的内积等于0，1p2p021 ppT亦即亦即 .由定理假设知，由定理假设知，,
21、111pAp ,222pAp 用用 左乘两端左乘两端 ，得，得Tp1222pAp 21221ppAppTT 21221)(pppApTT 212211)(ppppTT .0)(2121 ppT 当当 时，时，21 021 ppT有有 .一、实对称阵的性质定理定理 实对称阵的特征值为实数实对称阵的特征值为实数.定理定理 设设 是对称阵是对称阵 的两个特征值，的两个特征值，是是21,A21,pp21 1p2p若若 ，则，则 与与 正交正交.对应的特征向量，对应的特征向量，定理定理 设设 为为 阶实对称阵，则必有正交阵阶实对称阵，则必有正交阵 ，使，使AnP,1 APPAPPT其中其中 是以是以 的
22、的 个特征值为对角元的对角阵个特征值为对角元的对角阵.An推论推论 设设 为为 阶实对称，阶实对称，是是 的特征方程的的特征方程的 重重根，根，An Ak则矩阵则矩阵 的秩的秩 ，EA knEAR )(从而从而对应特征值对应特征值 恰有恰有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.kP243 Th5.12对于实对称阵，对应于特征值对于实对称阵，对应于特征值 的线性无关特征向量的线性无关特征向量的个数等于的个数等于 的重数的重数.证证 要证要证 ，只需证与，只需证与 相相似的矩阵的秩等于似的矩阵的秩等于 即可即可.knEAR )(EA kn 由定理由定理3知，对称阵知，对称阵 与与 相相似，似
23、，A),(21ndiag 从而从而 与与 相似相似.EA ),(21 ndiagE当当 是是 的的 重特征值时，重特征值时，Akn ,21E k 从而从而 的对角元恰的对角元恰有有 个等于个等于0，于是于是 .knER )(而而),()(EREAR 所以所以.)(knEAR n这这 个特个特k 征值中只有征值中只有 个等于个等于 ，说明说明第一个定理表明，实对称阵的特征向量可取实向量第一个定理表明，实对称阵的特征向量可取实向量.这是因为，这是因为，当特征值当特征值 为实数时，齐次方程为实数时，齐次方程 0)(xEA 的系数矩阵是实矩阵，必有实的基础解系的系数矩阵是实矩阵，必有实的基础解系.第二
24、个定理表明，实对称阵的特征向量可取为两第二个定理表明，实对称阵的特征向量可取为两两正交的向量两正交的向量.这是因为，这是因为，对对 的每一个不同的特征值的每一个不同的特征值 ，对应，对应于于 的特征向量可取为两两正交向量，的特征向量可取为两两正交向量，Ai i 到的线性无关的特征向量就是两两正交的到的线性无关的特征向量就是两两正交的.第三个定理表明，实对称阵一定可以对角化，而第三个定理表明，实对称阵一定可以对角化，而且是正交相似对角化且是正交相似对角化.这样所得这样所得二、实对称阵的对角化理论依据：理论依据：第三个定理和其推论第三个定理和其推论实对称阵实对称阵 正交相似对角化的步骤：正交相似对
25、角化的步骤：A 求出求出 的全部互不相等的特征值的全部互不相等的特征值 A,21s 它们的重数依次为它们的重数依次为skkk,21);(21nkkks 对于实对称阵对于实对称阵 ，一定在正交阵，一定在正交阵 ，使，使AP.1 APPAPPT 对于对称阵对于对称阵 ，重特征值对应的线性无关重特征值对应的线性无关特征向量恰好有特征向量恰好有 个个.Akk 对应于对应于 重特征值重特征值 ，求方程，求方程 iki 0)(xEAi(由推论由推论)再把它们正交化、单位化，得再把它们正交化、单位化，得 个两两正交的单个两两正交的单位特征向量位特征向量.ik,2,1si,21nkkks 可得可得 个两两正交
26、的单位特征向量个两两正交的单位特征向量.n(由第二个定理由第二个定理)用这用这 个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量构成正交阵 ，便有，便有 .nP APPAPPT1 注意注意 中对角元的中对角元的排列次序应与排列次序应与 中列向量的排列次序相对应中列向量的排列次序相对应.Pik的基础解系，得的基础解系，得 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.故总共故总共例例3 设设,011101110 A求一个正交阵求一个正交阵 ，使，使 为对角阵为对角阵.P APP1解解 析：对称阵正交相似对角化的原理和步骤是本析：对称阵正交相似对角化的原理和步骤是本章的中心问题章的中心问题.
27、此例是这一问题的示范，目的是熟此例是这一问题的示范，目的是熟悉对称阵正交相似对角化的步骤，并明了每个步悉对称阵正交相似对角化的步骤，并明了每个步骤的必要性和依据骤的必要性和依据.求特征值，求特征值，2111100112cc )2)(1(2 )2(2)1(,21 求得求得 的特征值为的特征值为A.132 由由EA 111111 111101121rr 求两两正交的单位特征向量，求两两正交的单位特征向量，对应于对应于 ，21 解方程解方程 ，0)2(xEA由由EA2 211121112r 000110211r,000110101 得基础解系得基础解系,1111 从而得单位特征向量从而得单位特征向量
28、;111311 p解方程解方程 ，0)(xEA对应于对应于 ，132 由由EA 111111111r,000000111 得基础解系得基础解系,1012 ,1103 将将 正交化，正交化，21,取取,22 2222333,1212110121110 从而得两两正交的单位向量为从而得两两正交的单位向量为,101212 p,121613 p 写出正交阵和对角阵，写出正交阵和对角阵，令令),(321pppP ,61213162031612131 就是所求正交阵，且有就是所求正交阵，且有P APP1.2 11注意：注意：若令若令 则则),(312pppP .1211 APP若令若令 则则),(132p
29、ppP .2111 APP例例4 4 设设 ，求，求 2112A.nA解解 析：此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论析：此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论计算方阵的幂及多项式计算方阵的幂及多项式.求求 的特征值，的特征值，A由由 2112EA),3)(1(得得 的特征值为的特征值为A,11 .32 求特征向量，求特征向量，对应对应 ,11 解方程解方程 ，0)(xEA例例5：设设 ，求，求 An .p数学归纳法数学归纳法2112A 22222212154131311212452 1313A3332335421141313131451213142 1313AA A11111211313131311
30、212213131313nnnnnnnnnnAAA 定理：定理：若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，则相似，则 A 和和 B 的特征多项式相同的特征多项式相同,从而从而 A 和和 B 的特征值也相同的特征值也相同推论：推论：若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，则相似，则 A 的多项式的多项式 j j (A)和和 B 的的多项式多项式 j j (B)相似相似若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 n 阶对角阵阶对角阵 =diag(1,2,n)相似，则相似，则从而通过计算从而通过计算j j ()可方便地计算可方便地计算j j (A).若若j j ()=|A E|，那么，那么 j j (A
31、)=O（零矩阵）（零矩阵）.1211()()()()()nAPPPPj jj jj jj j j j例：例：设设 ，求，求 An .p数学归纳法数学归纳法分析：分析：此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论计算方阵的幂此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论计算方阵的幂及多项式及多项式.p因为因为 A 是是对称阵，所以对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 1=1，2=3下面求满足下面求满足 P 1AP=的可逆矩阵的可逆矩阵 P 2112A 221|(2)1(1)(3)12AE 1003 1003nn 下面求满足下面求满足 P 1AP=的可逆矩阵的可逆矩阵 P 当当 1=1
32、时，时，解方程组解方程组(AE)x=0 ，得基础解系，得基础解系 当当 2=3 时，时，解方程组解方程组(A3E)x=0 ，得基础解系，得基础解系 于是于是 令令 ，则，则 11111100rAE 111p 111131100rAE211p 121210(,)(,)03A pppp 1211(,)11Ppp 11003PAP 11112 11P 于是于是 ，即，即11()11101112 1103111110111313112 1103112 1313nnnnnnnnnAP PPP 11003PAP 1AP P 此例体现了方阵对角化的作用，如前面所述此例体现了方阵对角化的作用，如前面所述.A将
33、此例与前面章节中有关的例题比较，后者给将此例与前面章节中有关的例题比较，后者给出关系式出关系式 、矩阵、矩阵 和和 ，也就是给出条，也就是给出条件件 可对角化；可对角化；的相似对加阵的相似对加阵 ；相似变相似变转换阵转换阵 .PAPA A P 前者则更具有理论性和实践性前者则更具有理论性和实践性:已知已知 ，通过计算通过计算 和和 ，求，求 .A PnA 因此尽管两者都是求因此尽管两者都是求 的的幂，形象地说前者是矩阵乘法的练习，后者是理论幂，形象地说前者是矩阵乘法的练习，后者是理论指导下的实践指导下的实践.A说明说明三、小结v 对于实对称阵对于实对称阵 ，一定在正交阵，一定在正交阵 ，使，使
34、AP.1 APPAPPTv将对称阵正交相似对角化的步骤：将对称阵正交相似对角化的步骤：求特征值；求特征值；求两两正交的单位特征向量；求两两正交的单位特征向量；写出正交矩阵和对角阵写出正交矩阵和对角阵.第六章 二次型及其标准形22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnijiji jf xxxa xa xa xa x xa x xaxxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa xa x x 令令 aij=aji，则，则 2 aij xi xj=aij xi
35、xj+aji xi xj，于是，于是212111121211221212222221122(,)nnnnnnnnnnnnf xxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xax xa x 11111221()nnx a xa xa x22112222()nnx a xa xax1122()nnnnnnx a xaxa x11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xaxxxxa xaxa x 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax Tx Ax 对称阵对称阵1112112122221
36、21212(,)(,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf xxxxxxaaax 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 对称阵对称阵 A 的秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的对称阵的二次型二次型二次型二次型的矩阵的矩阵对于二次型，寻找可逆的线性变换对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即使二次型只含平方项，即f =k1 y12+k2 y22+kn yn2 定义：定义：只含平方项的二次型称为二次型的只含平方项的二次型称为二次型的标准形标准形（或法式）（或法式）.如果标准形的
37、系数如果标准形的系数 k1,k2,kn 只在只在1,0,1三个数中取值三个数中取值,即即 f =k1 y12+kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称为二次型的则上式称为二次型的规范形规范形说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.11111221221122221122,.nnnnnnmnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 简记为简记为 x=C y，于是于是 f=xTAx =(C y)T A(C y)=yT(CTAC)y定义：定义：设设 A,B 都是都是 n 阶矩阵，阶矩阵，若有可逆矩阵
38、若有可逆矩阵 P 满足满足P 1AP=B，则则称矩阵称矩阵A 和和 B 相似相似（P.121定义定义7）定义：定义：设设 A,B 都是都是 n 阶矩阵，阶矩阵，若有可逆矩阵若有可逆矩阵 C 满足满足CTAC=B，则则称矩阵称矩阵A 和和 B 合同合同（P.129定义定义9）显然，显然，pBT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B即若即若 A 为对称为对称阵，则阵，则 B 也为对称也为对称阵阵pR(B)=R(A)经过可逆变换后，二次型经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由的矩阵由 A 变为与变为与 A 合同的矩阵合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不变，且二次型的秩不变若二次型若二次型 f 经过可逆变换经过可逆变换 x=C y 变为标准形，即变为标准形，即2221122112212()()()(,)TTTTnnnnnfx AxCyA CyyC AC yk yk yk ykykyyyyky 问题：问题：对对于对称阵于对称阵 A，寻找可逆矩阵，寻找可逆矩阵 C，使，使 CTAC 为对角阵为对角阵,（把对称阵合同对角化）（把对称阵合同对角化）
