线性代数第五章-线性变换课件.ppt

1、第五章第五章 线性变换线性变换第一节第一节 线性变换的基本概念线性变换的基本概念一、集合之间的映射一、集合之间的映射定义定义1设设 M 和和 N 是两个非空集合是两个非空集合如果对于如果对于 M 中中任意一个元素任意一个元素 x，按照某个对应法则按照某个对应法则 f，总存在总存在 N中一个确定的元素中一个确定的元素 y 与之对应，与之对应，则称这个对应法则则称这个对应法则 f 为从集合为从集合 M 到到 N 的一个的一个映射映射通常用英文小写字母通常用英文小写字母 表示映射表示映射,f g h 特别地，特别地，我们也将一个非空集合我们也将一个非空集合 M 到自身的映到自身的映射称为上的一个射称

2、为上的一个变换变换如果映射如果映射 f 将将 M 中的元素中的元素 x 对应到集合对应到集合 N 中的中的元素元素 y，则记则记()yf x或或()f xy此时，此时，称称 y 为为 x 在映射在映射 f 下的下的像像，f 下的下的原像原像如果如果 f 是从集合是从集合 M 到到 N 的映射，的映射，像的全体所构成的集合，像的全体所构成的集合，而称而称 x 为为 y 在映射在映射则将在则将在 f 下的下的称为映射称为映射 f 的的像集像集，记为记为f(M)，即即()()=|.f Mf xxM定义定义2 设设 f 是从集合是从集合 M 到到 N 的映射的映射 如果如果 f(M)=N，那么称那么称

3、 f 是从是从 M 到到 N 的的满映射满映射，或简称为或简称为满射满射定义定义2 设设 f 是从集合是从集合 M 到到 N 的映射的映射如果对于如果对于 N 中中的每一个元素的每一个元素 y，都存在都存在 M 中元素中元素 x，则称则称 f 是一个是一个满射满射 使得使得 y=f(x)，定义定义3 设设 f 是从集合是从集合 M 到到 N 的映射的映射 如果如果 M 中不同中不同元素在元素在 f 下的像也不同，下的像也不同，即只要即只要 ，12xx12()(),f xf x则称则称 f 是从集合是从集合 M 到到 N 的的单映射单映射，或简称为或简称为单射单射 就有就有定义定义4 设设 f

4、是从集合是从集合 M 到到 N 的映射的映射如果如果 f 既是既是满射也是单射，满射也是单射，即即 f 满足满足 1）f(M)=N；2）对于任意的）对于任意的 ，12,x x只要只要 12()(),f xf x就有就有12,xx则称则称 f 是一个是一个一一对应一一对应，例例1设设 M 是一个非空集合，是一个非空集合，定义定义 M 到到 M 的对应的对应f，满足满足(),f xxxM 则则 f 是是 M 到自身的一个映射，到自身的一个映射，我们称其为集合我们称其为集合 M的的单位映射单位映射，记为记为 idM或或恒等映射恒等映射，或者或者双射双射满足满足应应 f，()2,f nnn Z Z则则

5、 f 是是 到自身的映射，到自身的映射，Z Z且且 f 是一个单射但不是是一个单射但不是满射满射 例例3 设设 是实数域上的所有是实数域上的所有 n 阶方阵的集合阶方阵的集合()nMR R例例2设设 是全体整数的集合，是全体整数的集合，Z Z定义定义 到到 的对的对Z ZZ Z定义定义 到到 的对应的对应 f，()nMR RR R满足满足()|,(),nfMAAAR R则则 f 是是 到到 的一个映射，的一个映射，()nMR RR R且且 f 是一个满射但是一个满射但不是单射不是单射 例例4 设设 a 是一个已知的正数，是一个已知的正数，是所有正实数的是所有正实数的R R集合集合 定义定义 到

6、到 的对应，的对应，R RR R满足满足(),f xxax R R则则 f 不是一个映射不是一个映射因为，因为，对于任意的对于任意的 ，0 xa.xaR R定义定义5 设设 f 和和 g 都是从集合都是从集合 M 到到 N 的映射，的映射，如果如果对于任意的对于任意的 ，xM都有都有()(),f xg x则称映射则称映射 f 与与 g 相等相等，记为记为 f=g 定义定义6 设设 f 是从集合是从集合 M 到到 N 的一个映射，的一个映射，g 是从是从集合集合 N 到到 P 的一个映射，的一个映射，则对于则对于 M 中的任意元素中的任意元素 x，存在存在 P 中唯一确定的元素中唯一确定的元素

7、与之对应，与之对应，()g f x这样得到一个这样得到一个 M 到到 P 的映射，的映射，记为记为 ，gf映射称为映射称为 f 与与 g 的的乘积乘积或或复合映射复合映射，将这个将这个即即 是集合是集合gf M 到到 P 的映射，的映射，满足满足()(),.gf xg f xxM 显然，显然，对于任意从集合对于任意从集合 M 到到 N 的映射的映射 f，都有都有 idid.NMfff定义定义7 设设 f 是从集合是从集合 M 到到 N 的一个映射，的一个映射，如果存如果存使得使得 在在 N 到到 M 的一个映射的一个映射 g，id,Mgf id,Nfg 则称则称 f 是一个是一个可逆映射可逆映

8、射，并将映射并将映射 g 称为称为 f 的的逆映逆映射射定理定理1 设设 f 是从集合是从集合 M 到到 N 的一个映射，的一个映射，则则 f 是是可逆映射当且仅当可逆映射当且仅当 f 是一个一一对应是一个一一对应 另外，另外，映射的乘积还满足结合律映射的乘积还满足结合律二、线性变换的定义二、线性变换的定义 定义定义8 设设 V 是数域是数域 F 上的一个线性空间上的一个线性空间 如果如果 V上的一个变换上的一个变换 ，满足满足1）对于任意的）对于任意的 ，,V 有有()()();2）对于任意的）对于任意的 ，V kF有有()(),kk 则称则称 为线性空间为线性空间 V 上的一个上的一个线性

9、变换线性变换，通常用希通常用希腊字母腊字母 表示表示,例例5显然，显然，V 上的单位映射上的单位映射 是一个线性变换，是一个线性变换，idV将称其为将称其为单位变换单位变换，记为记为 ，(),.V 或者或者恒等变换恒等变换，即即定义定义 V 上的上的一个变换一个变换 0，使得使得()0,.V0 显然，显然，它它是一个线性变换，是一个线性变换，称其为称其为零变换零变换(),.kkV 设数设数，kF定义定义 V 上的上的一个变换一个变换，k它即为它即为单位变换单位变换；当当 时，时，0k 为零变换为零变换k满足满足它也它也是一个线性变换，是一个线性变换，称其为称其为数乘数乘变换变换1k 当当 时，

10、时，对于任意对于任意1110(),nnnnf xa xaxa x aF x例例6设设是以数域是以数域 F 上的数上的数作为系数的多项式作为系数的多项式 F x的全体，的全体，按多项式的加法和数量乘法，按多项式的加法和数量乘法，构成构成 F 上上的线性空间的线性空间定义定义 的微商的微商 ，()f x满足满足 1211()()(1)nnnnf xf xna xnaxa于是于是是是 到自身的一个映射到自身的一个映射 F x容易验证，容易验证，是是上的一个线性变换上的一个线性变换 F x例例7在平面解析几何中，将坐标系绕原点在平面解析几何中，将坐标系绕原点 O 逆时针逆时针 旋转角旋转角 ，如果一个

11、向量如果一个向量 在直角坐标系在直角坐标系 下的下的 Oxy坐标为坐标为 ,11(,)Txy标标 和和 满足下面关系：满足下面关系：11(,)xy22(,)xy2121cossin.sincosxxyy将其旋转之后对应的向量记为将其旋转之后对应的向量记为 ，()T 可以证明可以证明 构成构成 2 维空间维空间 的一个线性变换的一个线性变换 T2R R将向将向22(,)xy量量 在坐标系在坐标系 下的坐标记为下的坐标记为 ，()T Oxy那么坐那么坐三、线性变换的基本性质及运算三、线性变换的基本性质及运算则有则有设设 是是 V 上的一个线性变换上的一个线性变换性质性质1 ，()00()()性质性

12、质2 如果如果 是是 的线性组合，的线性组合，12,s 且组合且组合系数是系数是 ，12,sk kk即即 1122,sskkk那么那么 是是 的线性组合，的线性组合，()12(),(),()s组组合系数也是合系数也是 ，12,sk kk即即 1122()()()().sskkk12(),(),()s性质性质3 如果如果 线性相关，线性相关，12,s 也线性相关也线性相关 那么那么也就是说线性变换将线性相关的向也就是说线性变换将线性相关的向量组仍然变成线性相关的向量组量组仍然变成线性相关的向量组 1.乘法乘法 设设 是是 V 上的两个线性变换上的两个线性变换,定义定义 和和 的的乘积乘积 为为(

13、)()(),.V 直接验证，直接验证，也是一个线性变换也是一个线性变换 线性变换的乘积也满足结合律，线性变换的乘积也满足结合律，即即()().但是，但是，线性变换的乘积不满足交换律线性变换的乘积不满足交换律均有均有 对于任意的线性变换对于任意的线性变换 ，;2.加法加法 设设 是是 V 上的两个线性变换上的两个线性变换,定义定义 和和 的的和和 为为()()()(),.V 也是也是 V 上的一个线性变换上的一个线性变换 均有均有 对于任意的线性变换对于任意的线性变换 ，00.我们也可以定义我们也可以定义 的负变换的负变换 为为()()(),.V 显然，显然，()0.线性变换的加法满足：线性变换

14、的加法满足：()()()()3.数量乘法数量乘法 设设 是是 V 上的一个线性变换，上的一个线性变换，kF定义定义 和和 k 的数量乘积的数量乘积 为为 k()()(),.kkV 直接验证，直接验证，也是一个线性变换也是一个线性变换 k线性变换的数量乘法满足：线性变换的数量乘法满足：1()()klk l()klkl()kkk例例8 设设 是一个是一个 n 阶方阵阶方阵()ijaA定义定义 n 维向量维向量空间空间 的一个变换的一个变换 ，nR RA满足满足(),.nAAR R 显然，显然，是是 上的一个线性变换上的一个线性变换 AnR R特别，特别，当当 A 是一个可逆矩阵时，是一个可逆矩阵时

15、，可逆的线性变换，可逆的线性变换，是一个是一个A并且并且 的逆变换为的逆变换为 A1A 如果如果 V 上的一个线性变换上的一个线性变换 ，的映射是可逆映射，的映射是可逆映射，作为作为 V 到到 V则称则称 为为可逆的可逆的，即存在即存在 V 上的一个映射上的一个映射 ，使得使得 将称将称为的为的逆变换逆变换，记作记作 1第二节第二节 线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示一、线性变换的矩阵表示一、线性变换的矩阵表示定理定理2 设设 V 是数域是数域 F 上的一个线性空间，上的一个线性空间，向量向量12,n 是是 V 的一组基的一组基 如果如果12,nv vv是是 V 中任意的中任意的 n 个向量

16、，个向量，那么存在那么存在 V 上唯一的上唯一的线性变换线性变换 ，使得使得(),1,2,.iiin v定义定义9 设设 V 是数域是数域 F 上的一个线性空间，上的一个线性空间，向量向量12,n 是是 V 的一组基，的一组基，是是 V 上的一个线上的一个线性变换性变换 如果基向量如果基向量 在在 下的像下的像 12,n 12(),(),()nV被基被基 的线性表出关系为的线性表出关系为 12,n 11112121212122221122(),(),(),nnnnnnnnnnaaaaaaaaa记记 1212(,)(),(),()nn 那么（那么（7）式可以写成矩阵形式）式可以写成矩阵形式（7）

17、1212(,)(,)nn A其中其中（8）111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA称（称（8）式的矩阵）式的矩阵 A 为为 在基在基 下的下的矩矩12,n 阵表示阵表示提示提示 在基在基 下的矩阵表示下的矩阵表示 A 是（是（5-7）12,n 式右端的系数矩阵的转置；式右端的系数矩阵的转置；矩阵矩阵 A 的第的第 j 列就是向列就是向量量 在基在基 下的坐标向量下的坐标向量()j 12,n 例例9 设设 23210012 ()|,F xf xa xa xaa a aF是所有次数小于是所有次数小于 3 的多项式的全体的多项式的全体 按照多项式按照多项式的加法和数量乘法，的加法和数

18、量乘法，是数域是数域 F 上的一个上的一个 3 维维3 F x线性空间，线性空间，是这个空间的一组基是这个空间的一组基 21,x x多项式的微商运算多项式的微商运算 在这组基在这组基 下的矩下的矩21,x x阵表示为阵表示为 010002.000D例例10 在上一节的例在上一节的例 7 里，我们在平面解析几何中，里，我们在平面解析几何中，定义了将平面绕原点定义了将平面绕原点 O 逆时针旋转逆时针旋转 角的线性变角的线性变换换 T取定取定 中的基中的基 2R RTT12(1,0),(0,1),则容易验证则容易验证 在这组基下的矩阵即为在这组基下的矩阵即为Tcossinsincos例例11 在空间

19、在空间 中，中，3R R取定一个直角坐标系取定一个直角坐标系 123;,.O e ee对于对于 中的任意一个向量中的任意一个向量 ，3R R123xyzeee令令12312(),xyzxyeeeee显然显然 是是 的一个线性变换的一个线性变换 3R R 关于基关于基123,e ee的矩阵表示为的矩阵表示为 11.0定理定理3 设设 V 是数域是数域 F 上的一个线性空间，上的一个线性空间，12,n 是是 V 的一组基的一组基 向量向量定义集合定义集合 到到End()V 的一个对应的一个对应 ，()nMF对任意的对任意的 满满End()V足：足：(),A如果如果 A 是是 在基在基 下的矩阵表示

20、，下的矩阵表示，12,n 那么那么 是是 到到 的一个一一对应的一个一一对应 End()V()nMF是线性空间是线性空间 V 上所有线性变换的集合；上所有线性变换的集合；End()V()nMF是数域是数域 F 上所有上所有 n 阶方阵的集合阶方阵的集合定理定理4 设设 V 是数域是数域 F 上的一个线性空间，上的一个线性空间，线性变线性变换在换在 V 的一组基的一组基 下的矩阵表示为下的矩阵表示为 A 12,n 如果向量如果向量 在在 下的坐标向量为下的坐标向量为 V 12,n T12(,),nk kk那么那么 在在 下的坐标向量下的坐标向量 12,n ()1122.nnlklklkA定理定理

21、5 设设 V 是数域是数域 F 上的一个上的一个 n 维线性空间，维线性空间，中定义的中定义的 到到 的一一对应的一一对应 End()V()nMF 是定理是定理 3向向12,n 是是 V 中取定的一组基，中取定的一组基，量量那么，那么，对对于任意于任意 ，,End()V kF有有1）；()()()2）；()()()3）；()()kk 4）如果）如果 是可逆的线性变换，是可逆的线性变换，那么那么 为可逆为可逆()矩阵，矩阵，且且11()().二、相似矩阵二、相似矩阵 例例12 对于数域对于数域 F 上的线性空间上的线性空间 ，3 F x得得直接验证可直接验证可21,1,(1)xx也是也是 的一组

22、基的一组基 3 F x多项式的微商运算多项式的微商运算 在这组基下的矩阵表示为在这组基下的矩阵表示为 014002.000D线性变换在两组不同的基下的矩阵是不同线性变换在两组不同的基下的矩阵是不同 定义定义10 设设 A,B 是两个是两个 n 阶方阵阶方阵 如果存在一个如果存在一个 n阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P，使得使得1,P APB则称则称 A 与与 B 相似相似，或者说或者说 B 是是 A 的的相似矩阵相似矩阵通常将通常将 A 与与 B 相似记作相似记作 AB矩阵之间的相似关系满足如下性质：矩阵之间的相似关系满足如下性质：2）对称性：如果）对称性：如果 ，那么，那么 ；ABBA3）传递性：如

23、果）传递性：如果 ，那么，那么 ，ABBCAC1）自反性：）自反性：；AA其中其中 A,B,C 均为均为 n 阶方阵阶方阵定理定理6 设设 V 是数域是数域 F 上的一个线性空间，上的一个线性空间，向量向量12,n 和和 是是 V 的两组基的两组基 12,n 基基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 P，12,n 12,n 如果如果 在这两组基下的矩阵表示分别为在这两组基下的矩阵表示分别为 A,B，那么那么 1,P APB即即 AB换句话说，换句话说，同一个线性变换在不同基同一个线性变换在不同基下的矩阵表示是相似的下的矩阵表示是相似的定理定理7 设设 A 和和 B 是两个是两个 n 阶矩阵阶矩阵 似的充分必要条件是似的充分必要条件是 A 和和 B 是数域是数域 F 上的上的 n 维线维线则则 A 与与 B 相相性空间性空间 V 的同一个线性变换的同一个线性变换 在两组基下的矩阵在两组基下的矩阵表示表示.例例13 设设 V 是数域是数域 F 上的一个上的一个 3 维线性空间，维线性空间，123,与与 是是 V 的两组基，的两组基，123,且从且从 到到 的的123,123,过渡矩阵为过渡矩阵为121012,021P已知已知 V 上的线性变换上的线性变换 在基在基 下的矩阵下的矩阵 123,142034.043A求求 kA