1、第二章第二章 矩阵矩阵第一节第一节 矩阵的基本概念矩阵的基本概念一、矩阵的引入一、矩阵的引入 所谓具有所谓具有 m 个方程个方程 n 个未知数的线性方程组的个未知数的线性方程组的一般形式是指一般形式是指 11 11221121 1222221 122,nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb(1)其中其中 是是 n 个未知数，个未知数，m 是方程的个数，是方程的个数，12,nx xx（，）ija1,2,im1,2,jn称为线性方程组的称为线性方程组的系系数数，12,mb bb称为线性方程组的称为线性方程组的常数项常数项由由 n 个数个数 组成的有序数组组成
2、的有序数组12,nc cc12(,)nc cc称为方程组（）的称为方程组（）的解解，是指当是指当 分别用分别用 12,nx xx12,nc cc替换后，（）的每个等式都变成了恒替换后，（）的每个等式都变成了恒等式等式 方程组（）的解的全体组成一个集合，这个集合方程组（）的解的全体组成一个集合，这个集合称为方程组（）的称为方程组（）的解集合解集合 求解方程组实质上就是找到方程组的所有解，即求求解方程组实质上就是找到方程组的所有解，即求出它的解集合出它的解集合 把具有相同解集合的两个方程组称为把具有相同解集合的两个方程组称为同解的方程组同解的方程组 定义定义1对线性方程组（）进行如下三种变形，称对
3、线性方程组（）进行如下三种变形，称为线性方程组的初等变换：为线性方程组的初等变换：）用一个非零数）用一个非零数 k 乘以某一个方程；乘以某一个方程；）用任意数）用任意数 k 乘以一个方程加到另外一个方程上；乘以一个方程加到另外一个方程上；）交换两个方程的位置）交换两个方程的位置 例例1解线性方程组解线性方程组1234124123422,233,23.xxxxxxxxxxx 我们就可以只考虑方程组的系数和常数项组成的我们就可以只考虑方程组的系数和常数项组成的一个矩形数阵（后面我们称这种矩形数阵为矩阵），一个矩形数阵（后面我们称这种矩形数阵为矩阵），对于方程组（），其对应的矩形数阵为对于方程组（）
4、，其对应的矩形数阵为11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab例例2某食品厂某月向某食品厂某月向 m 个超市配送个超市配送 n 种产品，如种产品，如 ija果将送往第果将送往第 i 个超市的第个超市的第 j 种产品的数量记为种产品的数量记为 ，ija那么配送方案就可以用如下的矩形数阵表示：那么配送方案就可以用如下的矩形数阵表示：111212122212nnmmmnaaaaaaaaa例例3设设 A,B 为进行某项决策的双方，并且设为进行某项决策的双方，并且设 A 方方有有 m 种可供选择的策略，不妨记为种可供选择的策略，不妨记为 ，B 12,m 方有方有 n 种可供选择的
5、策略，记为种可供选择的策略，记为 如果如果 12,n将将 A 方选择策略方选择策略 且且 B 方选择策略方选择策略 时，时，A 方所方所ij获得的收益记为获得的收益记为 ，那么，那么 A 方在各种情况下的收益方在各种情况下的收益ija可以表示成如下的矩形数阵：可以表示成如下的矩形数阵：111212122212nnmmmnaaaaaaaaa二、矩阵的定义二、矩阵的定义ija定义定义2将将 mn 个数个数 （；）ija1,2,im1,2,jn 排成的排成的 m 行行 n 列的的矩形数阵（为了标明这是一个列的的矩形数阵（为了标明这是一个整体，将其括以圆括号）整体，将其括以圆括号）1112121222
6、12nnmmmnaaaaaaaaa（2）称为一个称为一个 m 行行 n 列矩阵列矩阵，或简称为，或简称为 mn 矩阵矩阵，或，或直接简称为直接简称为矩阵矩阵当矩阵的元素均为实数时，称其为当矩阵的元素均为实数时，称其为实矩阵实矩阵；当元素均为复数时，称这个矩阵为当元素均为复数时，称这个矩阵为复矩阵复矩阵 本书中，如果没有特别说明，矩阵都是指实矩阵本书中，如果没有特别说明，矩阵都是指实矩阵，并且将实数域上的所有并且将实数域上的所有 mn 矩阵的集合记为矩阵的集合记为 ()m nMR R当一个矩阵的行数和列数相等，即当一个矩阵的行数和列数相等，即 m=n 时，称时，称 这个这个 nn 矩阵为矩阵为
7、n 阶阶方阵方阵，或，或 n 阶矩阵将实数域阶矩阵将实数域上的所有阶方阵的集合记为上的所有阶方阵的集合记为 ()nMR R本课程中，通常用大写黑体英文字母本课程中，通常用大写黑体英文字母,A B C(),(),(),ijijijabc或者或者 表示矩阵表示矩阵几种特殊形式的矩阵几种特殊形式的矩阵 所有元素均为所有元素均为 0 的的 mn 矩阵称为矩阵称为零矩阵零矩阵，记为，记为 m nO在不发生混淆情况下，也可以简记为在不发生混淆情况下，也可以简记为 O将将 1 行行 n 列的矩阵，即只有一行的矩阵列的矩阵，即只有一行的矩阵 12(,)na aa称为称为行矩阵行矩阵，或，或行向量行向量 将将
8、m 行行 1 列的矩阵，即只有一列的矩阵列的矩阵，即只有一列的矩阵 称称12nbbb为为列矩阵列矩阵，或，或列向量列向量 通常用黑体希腊字母通常用黑体希腊字母 表示列矩阵（向量），表示列矩阵（向量），,而用而用 表示行矩阵（向量）表示行矩阵（向量）TT,对于一个对于一个 n 阶方阵阶方阵 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA将将 所在的那条对角线称为矩阵所在的那条对角线称为矩阵 A 的的主对主对 1122,nnaaa角线角线，而另外一条对角线称为矩阵，而另外一条对角线称为矩阵A 的的副对角线副对角线，即，即12,11,nnnaaa所在的对角线所在的对角线将主对角线以下都是将
9、主对角线以下都是 0 的的 n 阶方阵，称为阶方阵，称为 n 阶阶上三角矩阵上三角矩阵，即当即当 时，时，ij0ija 也就是形如也就是形如11121222000nnnnaaaaaa的矩阵的矩阵将主对角线以上都是将主对角线以上都是 0 的的 n 阶方阵，称为阶方阵，称为 n 阶阶下三角矩阵下三角矩阵，即当即当 时，时，ij0ija 也就是形如也就是形如11212212000nnnnaaaaaa的矩阵的矩阵将除了主对角线以外全为将除了主对角线以外全为 0 的的 n 阶方阵，称为阶方阵，称为n 阶阶对角矩阵对角矩阵，即形如即形如12000000n的矩阵的矩阵通常将这个对角矩阵简记为通常将这个对角矩
10、阵简记为 12n12diag(,)n 或或 特别地，当对角矩阵的对角线上的元素都相等，特别地，当对角矩阵的对角线上的元素都相等，则称这个矩阵为则称这个矩阵为 n 阶阶标量矩阵标量矩阵；更特别地，对角矩阵的对角线上的元素都等于更特别地，对角矩阵的对角线上的元素都等于 1，则称这个矩阵为则称这个矩阵为 n 阶阶单位矩阵，单位矩阵，简记为简记为 nE在不发生混淆的情况下，我们有时也将单位矩阵在不发生混淆的情况下，我们有时也将单位矩阵简记为简记为 E，即，即111E第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算一、矩阵的基本运算一、矩阵的基本运算定义定义3设两个矩阵分别为设两个矩阵分别为 ,11()ijmnaA2
11、2()ijmnbB则只有当则只有当，且且 时，称时，称 12mmm12nnnijijab矩阵矩阵 A 与与 B 相等相等，简记为，简记为 A=B 即对于两个矩阵，只有当它们的行数和列数均即对于两个矩阵，只有当它们的行数和列数均相同（形状相同），且对应位置的元素也均相等时，相同（形状相同），且对应位置的元素也均相等时，才称这个两个矩阵相等才称这个两个矩阵相等1矩阵的加法矩阵的加法定义定义4设两个设两个 mn 矩阵分别为矩阵分别为111212122212(),nnijm nmmmnaaaaaaaaaaA111212122212()nnijm nmmmnbbbbbbbbbbB则矩阵则矩阵 A 与与
12、B 的的和和，简记为，简记为 A+B，规定为，规定为 111112121121212222221122()nnnnijijm nmmmmmnmnababababababababababAB矩阵满足如下运算规律：矩阵满足如下运算规律：提示提示：只有形状相同（具有相同的行数和列数）的：只有形状相同（具有相同的行数和列数）的两个矩阵才能够相加，两个矩阵才能够相加，1）结合律：）结合律：()()ABCABC2）交换律：）交换律：ABBAAOOAA3）用矩阵的简记符号表示，即为用矩阵的简记符号表示，即为()()()ijm nijm nijijm nabab其中其中 A,B,C 均为均为 mn 矩阵，矩阵
13、，O 为为mn 零矩阵零矩阵定义定义5设矩阵设矩阵 111212122212()nnijm nmmmnaaaaaaaaaaA则矩阵则矩阵 的的负矩阵负矩阵，简记为，简记为 A，规定为，规定为 111212122212()nnijm nmmmnaaaaaaaaaa A由此，可以定义矩阵的由此，可以定义矩阵的减法减法，规定，规定()ABAB2数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法定义定义6设矩阵设矩阵111212122212()nnijm nmmmnaaaaaaaaaaA则则数数 k 与矩阵与矩阵 A 的乘积的乘积，简记成，简记成 kA 或或 Ak，规定为，规定为 111212122212()nnijm n
14、mmmnkakakakakakakkakakakaA有时，也将数与矩阵的乘积简称为有时，也将数与矩阵的乘积简称为矩阵的数乘矩阵的数乘数与矩阵的乘积满足如下运算规律：数与矩阵的乘积满足如下运算规律：1）分配律：）分配律：()klklAAA()kkkABAB2）结合律：）结合律：()()klk lAA其中其中 A,B 均为均为 mn 矩阵，矩阵，k,l 为数为数有了数与矩阵相乘的定义以后，有有了数与矩阵相乘的定义以后，有 diag(,)E(-1)A=A通常将矩阵的加法和矩阵的数乘这两种运算统称为通常将矩阵的加法和矩阵的数乘这两种运算统称为矩矩阵的线性运算阵的线性运算 3矩阵的乘法矩阵的乘法例例4设
15、设 ；及及 是三组变量，是三组变量，12,x x123,yyy123,zzz12,x x123,yyy与与 之间有如下关系之间有如下关系且且11111221332211222233,xa ya ya yxa ya ya y而而 与与 之间有下面的关系之间有下面的关系123,yyy123,zzz111 112213 3221 122223 3331 132233 3,.yb zb zb zyb zb zb zyb zb zb z将式代入式，得到将式代入式，得到 与与 的关系的关系12,x x123,zzz33331111111()kkjjkkjjkjkjxab za b z33111()kkjj
16、jka bz 同样可以得到同样可以得到333222111()kkkkjjkjkxa ya bz 111 1122133221 1222233,.xc zc zc zxc zc zc z 如果假设如果假设31ijikkjkca b则有则有1,2;1,2,3ij如果将这些变量之间的关系用矩阵表示：如果将这些变量之间的关系用矩阵表示：12,x x123,yyy与与 之间的关系为之间的关系为而而 与与 之间的关系为之间的关系为123,yyy123,zzz111213212223aaaaaaA111213212223313233bbbbbbbbbB那么那么 与与 的关系的关系 可由可由12,x x123
17、,zzz111213212223ccccccC 式决定式决定我们将矩阵我们将矩阵 称为矩阵称为矩阵 A 与与 B 的乘的乘积，简记为积，简记为 AB 定义定义7设设 是一个是一个 mn 矩阵，矩阵，是一个是一个()ijaA()ijbBnp 矩阵，即矩阵，即111212122212,nnmmmnaaaaaaaaaA111212122212ppnnnpbbbbbbbbbB规定矩阵规定矩阵 A 与与 B 矩阵的矩阵的乘积乘积是一是一 个个mp 矩阵矩阵()ijcC其中其中1 1221,nijijijinnjikkjkca ba ba ba b1,2,;1,2,.imjp并且将矩阵并且将矩阵 A 与与
18、 B 的乘的乘 记为记为 CAB例例5设设1112,31 A20.11B求求 与与 B 的乘积的乘积 AB 例例6设设1231,21A210.223B求求 与与 B 的乘积的乘积 AB，B 与与 的乘积的乘积 BA 例例7设设求求 与与 B 的乘积的乘积 AB，B 与与 的乘积的乘积 BA 2142A1122B矩阵的乘法不适合交换律，即矩阵的乘法不适合交换律，即AB不一定等于不一定等于BA；两个不为零的矩阵相乘可以是零矩阵，也就是由两个不为零的矩阵相乘可以是零矩阵，也就是由 AB=O，不能推出，不能推出 A=O 或或 B=O在矩阵乘法中不成立，即由在矩阵乘法中不成立，即由AB=AC，不一定能够
19、推，不一定能够推由此得到，消去律由此得到，消去律出出 B=C 矩阵的乘法满足如下的规律：矩阵的乘法满足如下的规律：1）乘法结合律：）乘法结合律：()()AB CA BC2）乘法与加法的分配律：）乘法与加法的分配律：()A BCABAC()BC ABACA3）()()()kkkABA BAB（k 是一个常数）是一个常数）设设 A 是一个是一个 mn 矩阵，则有矩阵，则有n,AEAm;E AAnm n,AOOmm n.O AO矩阵的方幂矩阵的方幂 设设 A 是任意一个是任意一个 n 阶方阵，规定阶方阵，规定011,.rrAEAAAA A由矩阵乘法的结合律，对于任意的正整数由矩阵乘法的结合律，对于任
20、意的正整数 r,s，有有rsr sA AA()rsrsAA对于线性方程组对于线性方程组11 11221121 1222221 122,nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb由矩阵的乘法，上面的方程组可以表示成由矩阵的乘法，上面的方程组可以表示成 1112111212222212.nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb（13）如果简记如果简记111212122212,nnmmmnaaaaaaaaaA12,nxxxX12mbbb 则方程组（则方程组（13）可以简单地表示成下面矩阵的等式）可以简单地表示成下面矩阵的等式AX 并且将矩阵并且将矩阵 A 称为
21、线性方程组（称为线性方程组（13）的）的系数矩阵系数矩阵；将方程组（将方程组（13）的系数和常数项组成的矩阵）的系数和常数项组成的矩阵11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab称为方程组（称为方程组（13）的）的增广矩阵增广矩阵记为记为 A二、矩阵的转置二、矩阵的转置定义定义8将一个将一个 mn 矩阵矩阵 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA的行与列互换得到一个的行与列互换得到一个 nm 矩阵矩阵 112111222212mmnnmnaaaaaaaaa称之为矩阵称之为矩阵 A 的转置的转置，记为，记为 TA矩阵的转置满足如下的规律：矩阵的转置满足如下
22、的规律：1）；TT()AA2）；TTT()ABAB3）（k 是一个常数）；是一个常数）；TT()kkAA4）TTT()ABB A也可以将规律）推广到多个矩阵乘积的情形，即也可以将规律）推广到多个矩阵乘积的情形，即TTTT1221()ssA AAAA A定义定义9设设111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA是一个是一个 n 阶方阵阶方阵如果如果 ，TAA即即,ijjiaa,1,2,.i jn则称则称 A 为为对称矩阵对称矩阵 如果如果 ，T AA即即,ijjiaa,1,2,.i jn则称则称 A 为为反对称矩阵反对称矩阵例例8证明：任意一个证明：任意一个 n 阶方阵都可以表示成一
23、个阶方阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和对称矩阵与一个反对称矩阵的和例例9设设 A 与与 B 均为对称矩阵则均为对称矩阵则 AB 是对称矩阵是对称矩阵的充分必要条件是的充分必要条件是 ABBA.三、方阵的行列式三、方阵的行列式定义定义10设设111212122212,nnnnnnaaaaaaaaaA将由将由 A 的元素按照矩阵的位置关系所构成的行列式，的元素按照矩阵的位置关系所构成的行列式，称为称为方阵方阵 A 的行列式的行列式，记为，记为 或或|Adet A方阵的行列式满足如下的运算规律：方阵的行列式满足如下的运算规律：1）；T|AA2）；|nkkAA3）|ABAB其中其中 A,
24、B 均为均为 n 阶方阵，阶方阵，k 是一个数是一个数定义定义11设设 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA是行列式是行列式 中第中第 i 行第行第 j 列元素列元素 的代数余子式的代数余子式ijA|Aija将将 n 阶方阵阶方阵 1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵称为矩阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵例例10设设 A 是一个是一个 n 阶方阵，阶方阵，是是 A 的伴随矩阵的伴随矩阵*A证明：证明：*|AAA AA E.例例11证明：奇数阶的反对称矩阵的行列式的值证明：奇数阶的反对称矩阵的行列式的值为为 0.第三节第三节 可逆矩阵的逆矩阵可逆矩阵
25、的逆矩阵一、可逆矩阵及其逆矩阵的定义一、可逆矩阵及其逆矩阵的定义定义定义12对于对于 n 阶方阵阶方阵 A，如果存在一个，如果存在一个 n 阶方阶方阵，使得阵，使得ABBAE则称则称 A 是是可逆矩阵可逆矩阵（或（或可逆可逆），并把矩阵），并把矩阵 B 称为称为A 的的逆矩阵逆矩阵定理定理1如果如果 n 阶方阵阶方阵 A 可逆，则可逆，则 A 的逆矩阵是唯的逆矩阵是唯一的一的因此，将因此，将 A 的唯一的逆矩阵用确定的符号的唯一的逆矩阵用确定的符号 表示表示 1A二、可逆矩阵的判别二、可逆矩阵的判别定理定理2n 阶方阵阶方阵 A 是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是|0,A且且
26、1*1|AAA其中其中 是是 A 的伴随矩阵的伴随矩阵*A推论推论设设 A,B 都是都是 n 阶方阵如果阶方阵如果 （或者（或者ABE ），那么），那么A,B均为可逆矩阵，且均为可逆矩阵，且A,B互为逆互为逆BAE矩阵矩阵定义定义13对于对于 n 阶方阵阶方阵 A，如果，如果 A 的行列式的行列式 ，|0A则称则称 A 是是非退化矩阵非退化矩阵，或，或非奇异矩阵非奇异矩阵；否则，即当否则，即当 时，时，|0A则称则称 A 是是退化矩阵退化矩阵，或，或奇异矩阵奇异矩阵那么定理那么定理 2 就可以描述为：就可以描述为：n 阶方阵阶方阵 A 是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是 A
27、是是非退化矩阵非退化矩阵 利用矩阵的逆，我们也可以给出克莱姆法则的另利用矩阵的逆，我们也可以给出克莱姆法则的另外一种证明外一种证明三、可逆矩阵的性质三、可逆矩阵的性质定理定理3设设A,B是是 n 阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，k 是一非零常数，是一非零常数，则则1），且，且 ；|0A1|0A11|AA2）可逆，且可逆，且 ；1A11()AA3）可逆，且可逆，且 ；kA111()kkAA4）可逆，且可逆，且 ；TAT11 T()()AA5）AB 可逆，且可逆，且 111()ABB A例例12设设 A 是是 3 阶矩阵阶矩阵 为为 A 的伴随矩阵的伴随矩阵*A ，|2A已知已知求求 的值的值1*|(2)
28、3|AA四、逆矩阵的求法四、逆矩阵的求法例例13试求试求 2 阶矩阵阶矩阵 的逆矩阵的逆矩阵abcdA例例14试求试求 3 阶矩阵阶矩阵 的逆矩阵的逆矩阵122241132A例例15设设 均为非零数试求均为非零数试求 n 阶对角矩阵阶对角矩阵12,n 1212diag(,)nn D的逆矩阵的逆矩阵例例16若若 n 阶方阵阶方阵 A 满足满足42AAEO,证明：证明：可逆，并求可逆，并求 AE1AE例例17求得一个矩阵求得一个矩阵 X，使其满足如下等式，使其满足如下等式111110221111021X五、正交矩阵五、正交矩阵定义定义14设设 A 是一个是一个 n 阶方阵如果阶方阵如果 A 满足满
29、足TTAAA AE则称则称 A 为为正交矩阵正交矩阵定理定理设设 A,B 是正交矩阵则有是正交矩阵则有1）；|1 A2）、及及 （k 是任意整数）均为正交矩阵；是任意整数）均为正交矩阵；1A*AkA3）AB 是正交矩阵是正交矩阵例例18在平面解析几何中，将坐标系绕原点在平面解析几何中，将坐标系绕原点 O 逆时针逆时针 旋转角旋转角 ，如下图所示：如下图所示：O x yxy如果一个向量如果一个向量 在直角坐标系在直角坐标系 下的坐标为下的坐标为 ,Oxy11(,)xy而在旋转而在旋转 角后的坐标系角后的坐标系 下的坐标为下的坐标为 ，Ox y22(,)xy那么那么 和和 满足下面关系：满足下面关
30、系：11(,)xy22(,)xy2121cossinsincosxxyy即新旧坐标的关系由矩阵即新旧坐标的关系由矩阵 cossinsincosA所决定所决定 第四节第四节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 和初等矩阵和初等矩阵一、矩阵的初等变换和初等矩阵的定义一、矩阵的初等变换和初等矩阵的定义定义定义15将下面的三种变换称为矩阵的将下面的三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换：）倍乘变换倍乘变换：用一个非零数用一个非零数 k 乘以矩阵的某一行乘以矩阵的某一行（k 乘以第乘以第 i 行，简记为行，简记为 ）；）；ikr）倍加变换倍加变换：用任意一个数用任意一个数 k 乘以矩阵的某一行乘以矩阵的某一行
31、加到另外一行上加到另外一行上（k 乘以第乘以第 i 行加行加 到第到第 j 行上，简记为行上，简记为 ）；）；ijkrr）对调变换对调变换：对调矩阵某两行的位置对调矩阵某两行的位置 行和第行和第 j 行，简记为行，简记为 ）（对调第（对调第 iijrr 将定义中将定义中“行行”换成换成“列列”，即可以得到矩阵的，即可以得到矩阵的初等列变换的定义，其简记符号只需把初等列变换的定义，其简记符号只需把“r”换成换成“c”如：对调第如：对调第 i 行和第行和第 j 行，简记为行，简记为 ijcc矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换初等变换定义定义16
32、单位矩阵经过一次初等行变换所得到的矩阵单位矩阵经过一次初等行变换所得到的矩阵称为称为行初等矩阵行初等矩阵;单位矩阵经过一次初等列变换所得单位矩阵经过一次初等列变换所得到的矩阵称为到的矩阵称为列初等矩阵列初等矩阵将行初等矩阵和列初等矩将行初等矩阵和列初等矩阵统称为阵统称为初等矩阵初等矩阵我们将）、）、）三种初等行变换所对应的我们将）、）、）三种初等行变换所对应的行初等矩阵分别记为：行初等矩阵分别记为：(),ikR(),ijkR.ijR换所对应的列初等矩阵分别记为：换所对应的列初等矩阵分别记为：三种初等列变三种初等列变(),ikC(),ijkC.ijC于是于是11()()11iikkkiiRC11
33、()()11ijjiikkkjijRC1101111011ijijijijRC定理定理5 设设 A 是一个是一个 mn 矩阵，则对矩阵，则对 A 做一次初等做一次初等行变换得到的矩阵，等于在行变换得到的矩阵，等于在 A 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 m阶行初等矩阵；阶行初等矩阵；等于将等于将 A 的第的第 i 行乘以行乘以 k（）所得到）所得到()ikRA0k 的矩阵；的矩阵；等于将等于将 A 的第的第 i 行乘以行乘以 k 加到第加到第 j 行上所行上所()ijkRA得到的矩阵；得到的矩阵；等于将等于将 A 的第的第 i,j 两行对调所得到的矩阵；两行对调所得到的矩阵；ijR A 对对
34、A 做一次初等列变换得到的矩阵，做一次初等列变换得到的矩阵，等于在的右边乘以相应的等于在的右边乘以相应的 n 阶列初等矩阵阶列初等矩阵 具体地具体地说，有说，有等于将等于将 A 的第的第 i 列乘以列乘以 k（）所得到）所得到()ikAC0k 的矩阵；的矩阵；等于将等于将 A 的第的第 i 列乘以列乘以 k 加到第加到第 j 列上所列上所()ijkAC得到的矩阵；得到的矩阵；等于将等于将 A 的第的第 i,j 两列对调所得到的矩阵两列对调所得到的矩阵ijAC初等矩阵均为可逆矩阵，且容易验证初等矩阵均为可逆矩阵，且容易验证11()(),iikkRR1()(),ijijkkRR1;ijijRR11
35、()(),iikkCC1()(),ijijkkCC1.ijijCC，二、矩阵的初等变换和初等矩阵的应用二、矩阵的初等变换和初等矩阵的应用1矩阵等价标准形矩阵等价标准形定义定义17 设设 A,B 均为均为 mn 矩阵如果矩阵如果 A 经过一系经过一系列初等行变换得到列初等行变换得到 B，则称则称 A 与与 B 行等价行等价，简记为，简记为r;AB如果如果 A 经过一系列初等列变换得到经过一系列初等列变换得到 B，A 与与 B 列等价列等价，简记为，简记为c;AB如果如果 A 经过一系列初经过一系列初等变换得到等变换得到 B，则称则称 A 与与 B 等价等价，简记为，简记为 AB则称则称2）对称性
36、：如果）对称性：如果 ，那么，那么 ；ABBA3）传递性：如果）传递性：如果 ，那么，那么 ，ABBCAC其中其中 A,B 均为均为 mn 矩阵矩阵容易验证，矩阵之间的等价满足如下性质：容易验证，矩阵之间的等价满足如下性质：1）自反性：）自反性：；AA定理定理6设设 A 是一个是一个 mn 矩阵那么矩阵那么 A 必与形如必与形如11100rr的矩阵等价，其中的矩阵等价，其中 0min,rm n将上式中的矩将上式中的矩阵称为矩阵的阵称为矩阵的等价标准形等价标准形 上式可以简写成上式可以简写成rm nEOOO推论推论1 设设 A 是一个是一个 n 阶方阵那么，阶方阵那么，A 是可逆矩阵是可逆矩阵的
37、充分必要条件为的充分必要条件为 A 可以写成一些可以写成一些 n 阶初等矩阵的阶初等矩阵的乘积乘积推论推论2设设 A 是一个是一个 n 阶方阵则下列结论等价：阶方阵则下列结论等价：1）A 是可逆矩阵；是可逆矩阵；2）；nAE3）；rnAE4）cnAE定理定理7 设设 A,B 均为均为 mn 矩阵矩阵 那么那么1）的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 R，rAB使得使得 B=RA；2）的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 C，cAB使得使得 B=AC；3）的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 RAB及及 n
38、 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 C，使得，使得 B=RAC 2初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵 下面介绍一种利用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵下面介绍一种利用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法的方法初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵 将可逆矩阵将可逆矩阵 A 及单位矩阵及单位矩阵 左右并排放在一起，左右并排放在一起，nE组成一个组成一个 n2n 矩阵矩阵(,).nA E于是于是1121212(,)(,)(,),snssnnPPP A EPPP A PPP EEA即即1(,)(,).nn 初等行变换A EEA 另外，经过一系列初等列变换可以将另外，经过一系列初等列变换可以将 A 变到单变到单位矩阵位矩阵
39、 ，经过同样的一系列初等列变换可以将单，经过同样的一系列初等列变换可以将单位矩阵位矩阵 变为变为 nEnE1A 因此，也可以将可逆矩阵因此，也可以将可逆矩阵 A 及单位矩阵及单位矩阵 上下上下并排放在一起，组成一个并排放在一起，组成一个 2nn 矩阵矩阵nE.nAE于是于是1.nn 初等列变换AEEA例例19判断矩阵判断矩阵112120102 A是否可逆如果可逆，求其逆矩阵是否可逆如果可逆，求其逆矩阵 例例20设设111111,110A求解矩阵方程求解矩阵方程TT3AXAXAEO.第五节第五节 分块矩阵分块矩阵一、分块矩阵的定义一、分块矩阵的定义 所谓所谓分块矩阵分块矩阵，就是把一个高阶矩阵看
40、作是由一，就是把一个高阶矩阵看作是由一些低阶的小矩阵组成的，在进行运算时，把这些小矩些低阶的小矩阵组成的，在进行运算时，把这些小矩阵当作元素一样看待阵当作元素一样看待 通常，用横、纵的虚线将高阶矩阵分成若干个小通常，用横、纵的虚线将高阶矩阵分成若干个小矩阵，这些小矩阵称为高阶矩阵的矩阵，这些小矩阵称为高阶矩阵的子块子块 分块矩阵能够把高阶矩阵的运算化为一些低阶的分块矩阵能够把高阶矩阵的运算化为一些低阶的矩阵的运算，从而使运算变得简便矩阵的运算，从而使运算变得简便 例如，将例如，将 mn 矩阵矩阵 A 按行进行分块按行进行分块T1T2T,mA A 的每一行看作一个整体考虑的每一行看作一个整体考虑
41、 类似地，也可以将矩阵类似地，也可以将矩阵 A 按列进行分块按列进行分块 12,nA 其中其中 是是 A 的第的第 i 列元素组成的列元素组成的 m 维列向量维列向量 i 其中其中 是是 A 的第的第 i 行元素组成的行元素组成的 n 维列向量，维列向量，i 即把即把另外，有了分块矩阵的表示以后，行列式另外，有了分块矩阵的表示以后，行列式 111212122212111211112121222212221212000000000mmmmmmmnmnnnnmnnnnaaaaaaaaaDcccbbbcccbbbcccbbb就可以写成就可以写成.D AOCB111212122212,mmmmmmaa
42、aaaaaaaA111212122212,nnnnnnbbbbbbbbbB111212122212.mmnnnmcccccccccC其中其中这样，第一章的例这样，第一章的例 8 的结论就可以表示成的结论就可以表示成|.AOA BCB利用行列式的性质，我们也可以得到利用行列式的性质，我们也可以得到|,ADA BOB|.AOA BOB 设设 A 是一个是一个 n 阶方阵，如果对阶方阵，如果对 A 进行分块，使得进行分块，使得 A 只在对角线上有非零子块，且这些子块都是方阵，只在对角线上有非零子块，且这些子块都是方阵，而其余子块均为零矩阵而其余子块均为零矩阵 O，即，即12sAOOOAOAOOA其中
43、其中 都是方阵，则称方块矩阵都是方阵，则称方块矩阵 A 为为对角对角分块矩阵分块矩阵12,sA AA1212|.ssAOOOAOAAAOOA对于矩阵对于矩阵 A 的等价标准形的等价标准形rm nEOOO也是分块矩阵形式的表达也是分块矩阵形式的表达 利用数学归纳法及上面的讨论，有利用数学归纳法及上面的讨论，有二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算 1分块矩阵的加法分块矩阵的加法 设矩阵设矩阵 A 和和 B 具有相同的行数和列数，且具有具有相同的行数和列数，且具有相同的分块方式，即相同的分块方式，即,ijAA,ijBB其中其中 与与 是具有相同的行数和列数的矩阵，分是具有相同的行数和列数的矩阵，分别
44、为和的子块，别为和的子块，ijAijB.ijijABAB则有则有2数乘分块矩阵数乘分块矩阵设设 k 是一个数，矩阵是一个数，矩阵111212122212,ttssstAAAAAAAAAA则有则有111212122212.ttssstkkkkkkkkkkAAAAAAAAAA3分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法 设设 A 是是 mn 矩阵，矩阵，B 是是 np 矩阵，且矩阵，且 A 和和 B 具有如下分块具有如下分块111212122212,ttssstAAAAAAAAAA111212122212,rrtttrBBBBBBBBBB其中其中 （）的列数分别等于）的列数分别等于 12,iiitAAA1,2,
45、is12,jjtjBBB（）的行数）的行数1,2,jr则有则有111212122212rrsssrCCCCCCABCCC其中其中1,tijikkjkCA B1,2,;1,2,.is jr例例21设设1000001000001001012002002A求求 ，2A3A4分块矩阵的转置分块矩阵的转置设设 A 是是 mn 矩阵，且具有如下分块矩阵，且具有如下分块111212122212,ttssstAAAAAAAAAA则则 A 的转置的转置 是是 nm 矩阵，且容易得到矩阵，且容易得到TATTT11211TTTT12222TTT12.ssttstAAAAAAAAAA5对角分块矩阵的逆矩阵对角分块矩阵的逆矩阵设对角分块矩阵设对角分块矩阵 12sAOOOAOAOOA且且 均为可逆矩阵均为可逆矩阵 12,sA AA于是，于是，A 是可逆矩阵，是可逆矩阵，且且111121.sAOOOAOAOOA
