1、 类型四类型四 抛物线形问题抛物线形问题 例 1、已知平面直角坐标系xOy（如图 1） ，直线mxy的经过点)0 , 4(A和点)3 ,(nB. （1）求m、n的值； （2）如果抛物线cbxxy 2 经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求ABPsin的 值； （3）设点Q在直线mxy上，且在第一象限内，直线mxy与y轴的交点为点D， 如果DOBAQO，求点Q的坐标. 例 2、如图在直角坐标平面内，抛物线3 2 bxaxy与 y 轴交于点 A，与 x 轴分别 图 1 O x y 交于点 B（-1，0） 、点 C（3，0） ，点 D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （
2、2）联结 AD、DC，求ACD的面积； （3）点 P 在直线 DC 上，联结 OP，若以 O、P、C 为顶点的三角形与 ABC 相似，求 点 P 的坐标 例 3、已知抛物线经过点(0,3)A、(4,1)B、(3, 0)C （1）求抛物线的解析式； 备用图 第 2 题图 （2）联结 AC、BC、AB，求BAC的正切值； （3）点 P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点 P 作PGAP交y轴于点G，当点G 在点A的上方，且APG与ABC相似时，求点 P 的坐标 例 4、已知抛物线 2 yxbxc经过点 A（1,0）和 B（0,3） ，其顶点为 D. （1）求此抛物线的表达式； （第 3 题图）
3、 y x A B C O （2）求 ABD 的面积； （3）设 P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴 右侧，作 PH对称轴，垂足为 H，若 DPH 与 AOB 相 似，求点 P 的坐标. 例 5、平面直角坐标系 xOy 中（如图 8） ，已知抛物线 2 yxbxc经过点 A（1,0）和 B （3,0） ， 与 y 轴相交于点 C，顶点为 P （1）求这条抛物线的表达式和顶点 P 的坐标； （2）点 E 在抛物线的对称轴上，且 EA=EC， 求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为 直线 MN，点 Q 在直线 MN 右侧的抛物线 上，MEQ=NEB，求点 Q 的坐标 例
4、 6、 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 B （8,0） 和点 C （9，3） 抛物线caxaxy8 2 （a，c 是常数，a0）经过点 B、C，且与 x 轴的另一交点为 A对称轴上有一点 M ，满足 MA=MC 图 5 y （1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形 ABCM 的面积； （3） 如果坐标系内有一点 D，满足四边形 ABCD 是等腰梯形， 且 AD/BC，求点 D 的坐标 例 7、如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 2yaxxc与 x 轴交于 点 A 和点 B（1，0） ，与 y 轴相交于点 C（0，3） （1）求抛物线的【解析】式和顶点 D 的坐标
5、； （2）求证：DAB=ACB； A B O C x y （第 7 题图） D （3）点 Q 在抛物线上，且 ADQ 是以 AD 为 底的等腰三角形，求 Q 点的坐标 例 8、 如图 8， 在平面直角坐标系xOy中， 直线3ykx与x轴、y轴分别相交于点A、B， 并与抛物线 2 17 42 yxbx 的对称轴交于点2,2C，抛物线的顶点是点D （1）求k和b的值； （2）点G是y轴上一点，且以点B、C、G为顶点的三角形与BCD相似，求点G的坐 标； （3）在抛物线上是否存在点E：它关于直线AB的对称点F恰好在y轴上如果存在，直 接写出点E的坐标，如果不存在，试说明理由 例 9、已知：如图 9，
6、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 3yaxbx的图像与 x 轴交 于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，顶点 C 在直线2x 上，将抛物线沿射线 AC 的方向平移， 当顶点 C 恰好落在 y 轴上的点 D 处时，点 B 落在点 E 处 （1）求这个抛物线的【解析】式； 图 8 x y 1 1 O （2）求平移过程中线段 BC 所扫过的面积； （3）已知点 F 在 x 轴上，点 G 在坐标平面内，且以点 C、E、F、G 为顶点的四边形是矩 形，求点 F 的坐标 例 10、如图，已知抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C（1，1） ，P 是抛物线上位于第一象限内的 一点，直线 OP 交该抛物线对称轴于点 B，直线 CP 交 x 轴于点 A （1）求该抛物线的表达式； （2）如果点 P 的横坐标为 m，试用 m 的代数式表示线段 BC 的长； （3）如果 ABP 的面积等于 ABC 的面积，求点 P 坐标 A B O x y 备用图 A B O x y 图 9 (第 10 题图) y P O x C B A
