1、主讲：郭智第四章 线性方程组1 齐次线性方程组2 非齐次线性方程组消元法求解消元法求解解的存在性问题解的存在性问题设线性方程 a11x1+a12x2+anxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 an1x1+an2x2+an n xn=bn(1)系数矩阵行列式D=|A|0，根据在莱姆法则方程组有唯一解.DDDDDDxxxnn2121可以用加减消元法求.加减消元:1)某个方程乘一个数加到另一个方程上2)某方程两边乘一个非零数.对方程组的上述变换，本质上是对其增广矩阵作初等行变换.nnnnnnnbaaabaaabaaaA21222221111211A是满秩矩阵初等行变换单位矩阵Ancc
2、c11121后矩阵对应的方程组为ncccnxxxE2121 原方程组的解为nncccxxx2121 例例1.用消元法解线性方程组 x12x2 +x4=1，2 x12x2+x3 4x4=6，2 x1+2x2 x3+x4=5，2x2+5x3 2x4=1.解解：对增广矩阵A作初等行变换22540511226412211021A r32r1 r22r122540711608632011021 r4+2r2 r33r21414110017171000863201102110471047000171710008632011021341110rr 1100017171000863207530147104r
3、r1+r211000171710001029109020101910100131103rr r317r432103rr 11000001000200202000141101rr 42109rr 11000001001001020001212r)101(3r得原方程组的解为1012 4321xxxx1.两个例子两个例子例例1.x3+x4=52 x1+x2 x3+4 x4=2 2 x1+x2+x3+6 x4=10,1061122411251100A解解：方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为1061122411251100交换、行106112511002411282200511001221211行(
4、2)+行20000511001221211行(1)+行2)(,3)(ArAArA的秩而系数矩阵的秩 最后一个矩阵表示原线性方程经消元变成下最后一个矩阵表示原线性方程经消元变成下面的方程组面的方程组x3+x4=50=2(4)1221214321xxxx最后一个方程最后一个方程 0=2是矛盾的是矛盾的.说明原方程组无解说明原方程组无解.第二例是方程组第二例是方程组x3+x4=52x1+x2x3+4x4=22x1+x2+x3+6x4=12写出增广阵并做行的变换写出增广阵并做行的变换1261122411251100交换、行1261125110024112行行，行加到 21 11022005110012
5、212112 行加到行00000511001221211在上块为阶梯形，b2=0,则方程组有无限多解.事实上，写出对应于阶梯形矩阵的方程x3+x4=51221214321xxxx2)(,2)(ArAr线性方程组A x=b的增广矩阵mmnmmnnbaaabaaabaaaA21222221111211经加减消元法变成0000000000001222221111211rrrnrrnrnrbbccbcccbcccc定理定理1.设有设有m个方程、个方程、n个未知数的线性方程组个未知数的线性方程组Ax=b (3)若方程组系数阵A的秩与增广阵的秩不相等，则方程无解.(1)(2)若方程组系数阵A的秩等于增广阵
6、的秩且小于n,即r(A)=r(A)n,则方程组有无穷多解；(1)若方程组系数阵A的秩等于增广阵的秩且等于n,即r(A)=r(A)=n,则方程组有唯一解；定理定理1是方程组有无解的判别定理，归于系是方程组有无解的判别定理，归于系数矩阵与增广矩阵的秩的讨论，上面两例子告诉数矩阵与增广矩阵的秩的讨论，上面两例子告诉我们如何应用定理我们如何应用定理1，判别方程的解存在性，解，判别方程的解存在性，解的个数的个数.接下来讨论如何求方程组的解，以及如接下来讨论如何求方程组的解，以及如何表示方程组的解何表示方程组的解.基础解系基础解系解的表示解的表示 线性方程组的解有三种可能性：无解无解；有一个解有一个解；有
7、无穷多解有无穷多解；对于无穷个解，如何表示它们，是这里要解决的问题，首先讨论一类特殊方程组齐次线性方程组，线性方程组(1)的常数项为零，即Ax=0 (2)称为对应于称为对应于(1)的齐次线性方程组的齐次线性方程组.a11x1+a12x2+a1nxn=0 a21x1+a22x2+a2nxn=0 am1x1+am2x2+am n xn=0,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaAnxxxx21 由于其增广矩阵)0(AA 的最后一列为零,增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等，所以一定有解，显然000 x是齐次方程组的解.当r(A)=n.(2)只有唯一的零解；当r(A)n方程组(2)有无穷多
8、解.齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构定理定理1.设齐次线性方程组Ax=0 (2)有无穷多解，记S为(2)的解的集合，则S为Rn的线性子空间.证明证明：证S关于向 量的加法和数乘运算封闭.事实上，x,yS,有Ax=0和Ay=0,A(x+y)=Ax+Ay=0,x+y S.(3)因此所以又对任意的常数k，有A(kx)=k(Ax)=0,所以kxS.(4)故S关于向量加法和数乘运算封闭,从而S是Rn的线性子空间.问题问题：1.S 的维数是多少？2.S 的基如何确定？例例3.解方程组x3+x4=02x1+x2x3+4x4=02x1+x2+x3+6x4=0(5)解解:计算系数矩阵61124112
9、1100A现在来研究无穷多解的表示现在来研究无穷多解的表示的秩，作初等行变换.611241121100变换1,2行6112110041121行(1)+3行22001100221211211行2行(2)+3行00001100221211 r(A)=24.(5)有无穷解.对应于阶梯形矩阵的方程组是x3+x4=00221214321xxxx自下而上逐个解方程x3+x4=0最含两个未知数的不定方程，指定其中取值一个，另一个也随之确定，令x4=k1为任意常数，则x3=x4=k1代入前一方程得0221211121kkxx整理1212521kxx仍为不定方程，令x2=k2为任意常数，则2112125kkx所
10、求方程组的解为2112125kkxx2=k2x3=k1x4=k1k1,k2为任意常数，写成向量形式为任意常数，写成向量形式4321xxxxx(6)112212125kkkkk000212511221kkkkk002102522111kkkkk001211102521kk(6)是方程组是方程组(5)的所有解的所有解.无穷性体现在无穷性体现在k1,k2取一组取一组数，数，(6)得一个解。而得一个解。而k1,k2所取的数组是无穷的所取的数组是无穷的.k1=1,k2=011025e1 k1=0,k2=100121e2(6)式的表示代表了齐次线性方程组的解的求法与表示的基本思想.针对针对(6)式有下述问
11、题：式有下述问题：(6)式中基式中基e1,e2为为2个向量，根据什么确定的？个向量，根据什么确定的？(6)式中2个向量e1,e2的个数是由2=4r(A)向量的个数方程组未知数个数系数矩阵的秩 e1,e2有特别的意义，有特别的意义，(5)的所有的解，由的所有的解，由e1,e2两两解通过解通过(6)式而表示出来，这种解称为方程组式而表示出来，这种解称为方程组(5)的的基础解系基础解系.x=k1e2+k2e2称为向量x可由e1,e2线性表示.例3的求解的过程是下面的特列.定理定理2.若齐次方程组(2)系数阵的秩为r，则存在(2)的nr个解向量 e1,e2,enr使(2)的全部解可表为 k1e1+k2
12、e2+kn ren r的形式，k1,k2,knr为任意数.e1,e2,enr称为齐次方程组的基础解系.齐次线性方程组求解：齐次线性方程组求解：1)对系数矩阵作初等行变换，求出秩对系数矩阵作初等行变换，求出秩r(A);2)确定基础解系确定基础解系e1,enr；3)写出写出e1,enr的线性表示式的线性表示式;x=k1e1+k2e2+knrenr k1,k2,knr为任意常数例例4.求x1+3x2 x3+2x4+4x5=02x1x2+8 x3+7x4+7x5=04x1+5x2+6x3+11x4+10 x5=0的基础解系.解解：首先对方程组的系数阵施以初等行变换6310706310704213110
13、116542781242131000007673710104213100000631070421310000076737101071072372301由此可见，系数阵的秩r=2,rn=5,所以，原方程组有无穷多解，而与以下方程组5431710723723xxxx54327673710 xxxx同解，其中同解，其中x3,x4,x5,可以任意取值可以任意取值(即为自由未知数即为自由未知数),基础解系含基础解系含3个向量个向量.令令543xxx分别取分别取001010100代入上方程组解出代入上方程组解出x1,x2分别为分别为7231x7102x7231x732x7101x762x因此，得原方程组的
14、基础解系因此，得原方程组的基础解系001710723e101073723e210076710e2从而原方程组的全部解可表示为从而原方程组的全部解可表示为e1,e2,e3的线性组合的线性组合1007671001073723001710723eee321332211kkkkkk其中k1,k2,k3为任意常数.掌握了齐次线性方程组解的构造，非齐次方程组的问题不难解决 当b0时，方程组Ax=b称为非齐次线性方程组.它的解和与它对应的齐次方程组Ax=0的解之间有密切联系.定理定理1.非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的一个解和同它的一个解和同它对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组Ax=O的任一
15、个解的任一个解之和一定是方程组之和一定是方程组Ax=b的解，反之，方的解，反之，方程组程组Ax=b的任何一个解可表为它的一个的任何一个解可表为它的一个特殊解和方程组特殊解和方程组Ax=0的一个解之和的一个解之和.定理定理1告诉我们，告诉我们，Ax=b的解表示为：的解表示为：x=xp+xc其中xp是Ax=b的特解，xc是Ax=0的解.(1)例例5.求方程组x1+3x2 x3+2x4+4x5=32x1x2+8 x3+7x4+2x5=94x1+5x2+6x3+11x4+10 x5=15的全解.解解：首先对方程组的增广矩阵施以行的初等变换15101165492781234213136310703631
16、0703421310000003631070342131000000737673710103421310000007376737101073071072372301(2)因此,方程组的系数阵和增广的秩都等于r=2,r0;当x=0时,|x|=0;2、齐次性:|x|=|x|;3、对角不等式:|x+y|x|+|y|.向量的内积满足许瓦兹不等式)(,2,yyxxyxyyxxyx或2、正交 若Rn中两个非零向量u、v的内积为零，则称u、v是正交的。一组向量u1,u2,un，若其中任意两个都是正交的，则称这组向量为正交向量组。例例 e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)为三维向量
17、，计算易得0 ,0 ,0323121eeeeee因此 e1,e2,e3是一组正交向量.3、正交与线性无关定理1、任一正交向量组线性无关。定理2、给定一线性无关向量组，可构造出一正交向量组。定理 2中的正交组可通过施密特正交化方法得到，具体过程如下：设u1,u2,um是一线性无关组，令;11uv;|1211222vvvuuv;|222231211333vvvuvvvuuv;|121122221211mmmmmmmmvvvuvvvuvvvuuv12112|vvvu 2v2u1u 则v1,v2,vm构成一组正交向量，这个过程的具体实现是一些初等的运算.1、定义 Rn的一组基u1,u2,un若为正交向
18、量组，且每一ui都是单位向量，则称这组基为正交规范基。2、例 将R3中的向量组011 ,010 ,110321uuu正交化。解：将u1,u2,u3写成矩阵的形式001111100它的行列式不等于零，则u1,u2,u3是线性无关。;2|,1102111vuv按照施密特正交化方法，有,2121011021010|1211222vvvuuv;21|22v121132222333|vvvuvvvuuv1|,00121210212111021011233vv321 ,vvv得 它是R3的正交基。把它进一步化成标准正交基是容易的：每一向量除以各自的长度即可，即212101e212102e0013e定义定义
19、.如果n阶方阵满足 AA=E(即A-1=A)那么称A为正交阵.定义定义.若P为正交阵,线性变换y=px称为正交变换.设y=px为正交变换,则有|xxxpxpxyyy1.设A是n阶方阵，如果数和非零向量x使得Ax=x (1)则称为 A 的一个特征值，x称为A的对应于的一个特征向量.(1)式也可写成(A-E)x=0,(2)这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式|A E|=0 (3)0212222111211nnanananaaanaaa即上式是以为未知数的一元n次方程,称为A的特征方程|A E|=0(3)(3)式左端是的n次多项式，称为A 的特征多项式.易证(
20、i).1+2+n=a11+a22+ann;(ii)12 n=|A|例例1.求上三角阵nnnnaaaaaaA00022211211的特征值.解解:nnanaanaaaEA002220112110)()22)(11(nnaaa则A的特征值就是主对角线上的元素a11,a22,ann.显然，对下三角和对角阵，都有同样结果，即上三角、下三角和对角阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素.例例2.求111131111A的特征值.解解：A的特征多项式为111131111EA)1()2(2特征值为1=1，2=3=2.对每个特征值，求出相应的齐次线性方程组(A E)x=0 的一个基础解系x1,xs，则矩阵A属于特征值
21、的全部特征向量就是k1x1+k2x2+ksxs其中k1,k2,ks，是不全为零的常数.的特征值为已知矩阵111131111A1=1，2=3=2，求特征向量.例例3.系数矩阵的秩为2，基础解系只含有321个解向量，取为x1=(1,1,1)T.于是，A属于特征值1=1的特征向量的全体可表为k1(1,1,1)T，k1是不等于零的常数.解解：对1=1，相应的齐次线性方程为0321011121110)(xxxEAx对2=3=2，相应的齐次方程组为0321111111111xxx系数矩阵的秩为1，基础解系含312个解向量，取为(1,0,1)T，(0,1,1)T.于是，矩阵A属于特征值2的全部特征向量可表为
22、11010132kkk2、k3 为不全为零的常数.例例4.求方阵201034011A的特征值和特征向量解解：A的特征方程为201034011EA0)1)(2(2特征值为1=2，2=3=1.对1=2，相应的齐次线性方程组为0321001014013xxx系数矩阵的秩为2，基础解系只含有321个解向量，取为x1=(0,0,1)r.于是，属于特征值=2的特征向量的全体可表为k1(0,0,1)r，k1是不等于零的常数.对2=3=1，对应的齐次线性方程组为0321101024012xxx系数阵的秩为2，基础解系含1个解向量，取为x2=(1,2,1)r，则属于特征值1的特征向量的全体可表为k2=(1,2,
23、1)r，k2是不等于零的常数.定理 设1,2,m是方阵A的m个特征值,p1,p2,pm依次是与之对应的特征向量,如果1,2,m各不相等,则p1,p2,pm线性无关.定义 设A，B是n阶方阵,若有可逆方阵p，使 p-1A p=B 则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B 相似。对A进行运算p-1A p称为对A进行 相似变换，可逆矩阵p称为把A变成B的 相似变换矩阵。若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与的特征值亦相同。若n阶方阵A与对角阵nB21相似,则1,2,即是A的n个特征值.若n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。若n阶方阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似。
