1、设为线性空间设为线性空间V的两个线性变换，定义它们的两个线性变换，定义它们,A B事实上，事实上，()()()()()ABA BA BB的的乘积乘积 为：为：,VABA BAB 则则 也是也是V的线性变换的线性变换.AB()()()()()(),A BA BABAB()()()()()()()kkkkkABA BABA BAB（1）满足结合律：满足结合律：AB CA BC（2），E为单位变换为单位变换 EEAAA（3）交换律一般不成立，即一般地，交换律一般不成立，即一般地，.ABBA例例1.线性空间中，线性变换线性空间中，线性变换 R x D fxfx 0,xDJfxDf t dtfx 00
2、xJDfxJfxft dtfxf 而，而，.DJJD 0 xJfxf t dt 即即.DJE(),XAX A例例2.设设A、B为两个取定的矩阵，定义变换为两个取定的矩阵，定义变换n nP 则皆为的线性变换，且对有则皆为的线性变换，且对有,A Bn nP,n nXP()()()()(),XXXBA XBAXBABA BA()()()()().XXAXAX BAXBBAB AB(),XXB Bn nXP.ABBA则则 也是也是V的线性变换的线性变换.AB设为线性空间设为线性空间V的两个线性变换，定义它们的两个线性变换，定义它们,A B ,VABAB的的和和 为：为：AB事实上，事实上，()()()
3、()ABAB()()()()()()()(),AABBABAB()()()()()()kkkkkABABAB()()()().kkABAB（3）0为为零变换零变换.00,AAA（4）乘法对加法满足左、右分配律：乘法对加法满足左、右分配律：A BCABAC BC ABACA（1）满足交换律：）满足交换律：ABBA（2）满足结合律：）满足结合律：ABCAB+C ,V AA设为线性空间设为线性空间V的线性变换，定义变换为：的线性变换，定义变换为：A A则则 也为也为V的线性变换，称之为的的线性变换，称之为的负变换负变换.AA注：注：()0AA ,kkVAA的的数量乘积数量乘积 为：为：kA则则 也是
4、也是V的线性变换的线性变换.kA设为线性空间设为线性空间V的线性变换，定义的线性变换，定义 k 与与A,kP A(1)()()klk l AA(2)()klklAAA(3)()kkkABAB(4)1 AA2基本性质基本性质注：注：线性空间线性空间V上的全体线性变换所成集合对于上的全体线性变换所成集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性上的一个线性空间，记作空间，记作().L VEABBA则称则称为可逆变换，称为的逆变换，记作为可逆变换，称为的逆变换，记作AAB1.A设为线性空间设为线性空间V的线性变换，若有的线性变换，若有V的变换使的变换使AB(1
5、)可逆变换的逆变换也是可逆变换的逆变换也是V的线性变换的线性变换.A1 A 1111AAAAAA 111AA AA 11AA证：对证：对,VkP 111AAAA 11111kkkAAAAAA A 1111kkkAAAAA是是V的线性变换的线性变换.1 A(2)线性变换可逆线性变换是一一对应线性变换可逆线性变换是一一对应.AA证：证：设为线性空间设为线性空间V上可逆线性变换上可逆线性变换.A任取任取 若若 则有则有()(),AA,V 111()()()()AAAAAA1()().AA A为单射为单射.其次，对令则且其次，对令则且,V 1(),A,V 11()()().AA AAA A为满射为满射
6、.故为一一对应故为一一对应.A若为一一对应，易证的逆映射也为若为一一对应，易证的逆映射也为VAAB的线性变换，且的线性变换，且.EABBA故可逆，故可逆，.A1 BA线性变换，则可逆当且仅当线性变换，则可逆当且仅当A12(),(),()nAAA(3)设是线性空间设是线性空间V的一组基，为的一组基，为V的的A12,n 线性无关线性无关.证：证：设设1122()()()0.nnkkkAAA于是于是1 122()0nnkkkA因为可逆，由因为可逆，由(2)，为单射，又，为单射，又A(0)0,AA1 1220nnkkk而线性无关，所以而线性无关，所以12,n 0,1,2,.ikin故线性无关故线性无关
7、.12(),(),()nAAA若线性无关，则它若线性无关，则它12(),(),()nAAA也为也为V的一组基的一组基.1122()()(),nnkkkAAA因而，对有因而，对有,V 即有即有1122().nnkkk A A为满射为满射.12(),(),()nAAA线性无关线性无关,1,2,iiabin若若 则有则有()(),AA其次，任取其次，任取 设设,V 11,nniiiiiiab11()(),nniiiiiiab AA即即.由由(2)，为可逆变换为可逆变换.A故为一一对应故为一一对应.A从而，为单射从而，为单射.A(4)可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关可逆线性变换把线性无关的向
8、量组变成线性无关的向量组的向量组.线性无关线性无关.若若 11220.rrkkkAAA证：设为线性空间证：设为线性空间V的可逆变换，的可逆变换，A12,rV 则有，则有，1122()0rrkkkA又可逆，于是是一一对应，且又可逆，于是是一一对应，且(0)0 AAA11220rrkkk故故 线性无关线性无关.12(),(),()rAAA由由 线性无关，有线性无关，有120.rkkk12,r ,nn AAA当时，规定（单位变换）当时，规定（单位变换）.0n 0E A设为线性空间设为线性空间V的线性变换，的线性变换，n为自然数，定义为自然数，定义A称之为的称之为的n次幂次幂.A 易证易证 ,0nm
9、nmnmmnm n AA AAA 1nn AA 当为可逆变换时，定义的当为可逆变换时，定义的负整数幂负整数幂为为AA 一般地，一般地，.nnn ABA B设设 10,mmfxa xa xaP xA为为V的一个线性变换，则的一个线性变换，则10()mmfaaa EAAA多项式多项式.也是也是V的一个线性变换，称的一个线性变换，称 为线性变换的为线性变换的A()f A ,h xfxg xp xfx g x 在在 中，若中，若 P x则有，则有，,hfg AA fggfAAAA即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.pfg AAA 对有对有(),(),f xg
10、xP x fggf AAAA证明：证明：1,1.kkkkk A BBAA设为线性变换，若设为线性变换，若,A B,EABBA证：对证：对k作数学归纳法作数学归纳法.当当k=2时，若时，若,EABBA对对两端左乘，得两端左乘，得A2,A BABAA对对两端右乘，得两端右乘，得A2,ABABAA上两式相加，即得上两式相加，即得222 122.A BBAAA112(1).kkkkABBAA对对两端左乘，得两端左乘，得A对对两端右乘两端右乘 得得1,k A11(1),kkkkA BABAA11,kkkABABAA，得，得1.kkkk A BBAA假设命题对时成立，即假设命题对时成立，即1k 由归纳原理，命题成立由归纳原理，命题成立.
