1、2016-2017学年上海中学高一（上）期末数学试卷一.填空题1（3分）函数f（x）+lg（3x+1）的定义域是 2（3分）函数f（x）x2（x1）的反函数f1（x） 3（3分）若幂函数f（x）的图象经过点，则该函数解析式为f（x） 4（3分）若对任意不等于1的正数a，函数f（x）ax+23的图象都过点P，则点P的坐标是 5（3分）已知f（x）ax2+bx是定义在a3，2a上的偶函数，那么a ，b 6（3分）方程log2（x+1）2+log4（x+1）5的解是 7（3分）已知符号函数sgn（x），则函数ysgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为 8（3分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当
2、x0时，f（x）x2+x，则函数f（x）的解析式为f（x） 9（3分）函数的单调增区间为 10（3分）设函数yf（x）存在反函数f1（x），若满足f（x）f1（x）恒成立，则称f（x）为“自反函数”，如函数f（x）x，g（x）bx，（k0）等都是“自反函数”，试写出一个不同于上述例子的“自反函数”y 11（3分）方程x2+2x10的解可视为函数yx+2的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程x4+ax40的各个实根x1，x2，xk（k4）所对应的点（i1，2，k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是 12（3分）对于函数yf（x），若存在定义域D内某个区间a，b，使得yf（x）在a，b上的值
3、域也是a，b，则称函数yf（x）在定义域D上封闭如果函数（k0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是 二.选择题13（3分）已知f（x）ax3+bx+1（ab0），若f（2013）k，则f（2013）（）AkBkC1kD2k14（3分）定义在R上的函数f（x）在区间（，2）上是增函数，且f（x+2）的图象关于x1对称，则（）Af（1）f（5）Bf（1）f（5）Cf（1）f（5）Df（0）f（5）15（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三
4、辆车中，甲车消耗汽油最多C某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油16（3分）设函数若关于x的方程f（x）a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A（3，+）B（，3）C3，3）D（3，3三.解答题17在平面直角坐标系中，作出下列函数的图象；（1）； （2）18已知集合Dx|32x103x+2+360，xR，求函数（xD）的值域19设函数f（x）kaxax（a0且a1）是奇函数（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）a2x+a2x2mf（x）在区
5、间1，+）上的最小值为2，求实数m的值20已知函数；（1）当m2时，判断f（x）在（，0）上的单调性并证明；（2）若对任意xR，不等式f（2x）0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论函数yf（x）的零点个数21已知aR，函数f（x）log2（a3）x+3a4；（1）当a2时，解不等式；（2）若函数yf（x24x）的值域为R，求a的取值范围；（3）若关于x的方程解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围2016-2017学年上海中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1（3分）函数f（x）+lg（3x+1）的定义域是（，1）【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不
6、等式组求解x的取值集合得答案【解答】解：由，解得：函数f（x）+lg（3x+1）的定义域是（，1）故答案为：（，1）2（3分）函数f（x）x2（x1）的反函数f1（x）（x1）【分析】由yx2（x1），解得x（y1），把x与y互换即可得出【解答】解：由yx2（x1），解得x（y1），把x与y互换可得：y，f（x）x2（x1）的反函数f1（x）（x1）故答案为：（x1）3（3分）若幂函数f（x）的图象经过点，则该函数解析式为f（x）【分析】设出幂函数的解析式，把点的坐标代入解析式求解即可【解答】解：设幂函数f（x）xa，其图象经过点，27a，解得a；函数f（x）故答案为：4（3分）若对任意不等于
7、1的正数a，函数f（x）ax+23的图象都过点P，则点P的坐标是（2，2）【分析】指数函数恒过定点（0，1），据此令指数型函数的指数为0即可求得最终结果【解答】解：指数函数恒过定点（0，1），据此可令x+20，解得：x2，f（2）a2+232，即函数f（x）ax+23 恒过定点（2，2）故答案为：（2，2）5（3分）已知f（x）ax2+bx是定义在a3，2a上的偶函数，那么a1，b0【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（x）f（x），且定义域关于原点对称，a32a【解答】解：f（x）ax2+bx是定义在a3，2a上的偶函数，f（x）f（x），b0，又 a32a，a1，故答案1，0
8、6（3分）方程log2（x+1）2+log4（x+1）5的解是3【分析】由对数的换底公式和运算法则，把原式转化为log4（x+1）55，由此能求出x的值【解答】解：log2（x+1）2+log4（x+1）5，log4（x+1）4+log4（x+1）5，log4（x+1）55，（x+1）545，x3故答案为：37（3分）已知符号函数sgn（x），则函数ysgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为0，2【分析】结合函数的解析式分类讨论x0，x0，x0三种情况即可求得函数的值域【解答】解：分类讨论：当x0时：ysgn（|x|）+|sgn（x）|sgn（x）+11+12；当x0时：ysgn（|x|）+
9、|sgn（x）|sgn（x）+00+00；当x0时：ysgn（|x|）+|sgn（x）|sgn（x）+11+10；综上可得：函数ysgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为0，2故答案为：0，28（3分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x2+x，则函数f（x）的解析式为f（x）【分析】首先利用奇函数的性质可得f（0）0，然后结合奇函数的性质求解x0时函数的解析式，最后将函数的解析式写出分段函数的形式即可【解答】解：由奇函数的性质可得：f（0）0，设x0，则x0，此时有：f（x）f（x）（x）2+（x）x2x，则 f（x）x2+x，且当x0时，x2+x0，综上可得：函数的解析
10、式为：9（3分）函数的单调增区间为（，1和3，5【分析】首先将解析式中的指数看作一个函数讨论其单调性，然后利用复合函数同增异减的原则讨论原函数的单调性即可【解答】解：绘制函数y|x26x+5|的图象 如图所示：观察函数图象可得函数的单调递增区间为：1，3和5，+）单调递减区间为：（，1和3，5指数函数y0.3x 在定义域内单调递减，结合复合函数同增异减的原则可得函数 的单调递增区间，即函数y|x26x+5|的单调递减区间：（，1和3，5故答案为：（，1和3，510（3分）设函数yf（x）存在反函数f1（x），若满足f（x）f1（x）恒成立，则称f（x）为“自反函数”，如函数f（x）x，g（x）
11、bx，（k0）等都是“自反函数”，试写出一个不同于上述例子的“自反函数”y（0x1）【分析】根据题意，只要写出满足条件的函数即可，如y（0x1）等【解答】解：根据题意，设函数y，（0x1），则y21x2，x21y2，x（0y1），交换x、y得反函数y（0x1），满足题意故答案为：（0x1）11（3分）方程x2+2x10的解可视为函数yx+2的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程x4+ax40的各个实根x1，x2，xk（k4）所对应的点（i1，2，k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是（，6）（6，+）【分析】原方程等价于x3+a，分别作出yx3+a与y的图象：分a0与a0讨论，利用数形结
12、合即可得到结论【解答】解：方程的根显然x0，原方程x4+ax40，等价为方程x3+a，原方程的实根是曲线yx3+a与曲线y的交点的横坐标；曲线yx3+a是由曲线yx3向上或向下平移|a|个单位而得到的若交点（xi，）（i1，2，k）均在直线yx的同侧，因直线yx与y交点为：（2，2），（2，2）；所以结合图象可得：或，解得a6或a6，即实数a的取值范围是（，6）（6，+），故答案为：（，6）（6，+）12（3分）对于函数yf（x），若存在定义域D内某个区间a，b，使得yf（x）在a，b上的值域也是a，b，则称函数yf（x）在定义域D上封闭如果函数（k0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是（1，
13、+）（，1）【分析】由题意便知方程组至少有两个解，从而可得到至少有两个解，从而有k1+|x|1，这样即求出k的取值范围【解答】解：根据题意知，k0时，方程至少有两个不同实数根；即至少有两个实数根；k1+|x|1；同样，k0时，至少有两个不同实根，k（1+|x|）1，实数k的取值范围为（，1）（1，+）故答案为：（，1）（1，+）二.选择题13（3分）已知f（x）ax3+bx+1（ab0），若f（2013）k，则f（2013）（）AkBkC1kD2k【分析】将f（x）ax3+bx+1转化为f（x）1ax3+bx，则函数F（x）f（x）1为奇函数，然后利用奇函数的性质进行求解【解答】解：f（x）a
14、x3+bx+1，f（x）1ax3+bx，令F（x）f（x）1ax3+bx，ab0，函数F（x）f（x）1ax3+bx是奇函数，F（2013）F（2013），即f（2013）1f（2013）1k+1，f（2013）2k故选：D14（3分）定义在R上的函数f（x）在区间（，2）上是增函数，且f（x+2）的图象关于x1对称，则（）Af（1）f（5）Bf（1）f（5）Cf（1）f（5）Df（0）f（5）【分析】由f（x+2）的图象关于x1对称，得f（x+2）f（2x+2）f（4x），令x1可得答案【解答】解：因为f（x+2）的图象关于x1对称，所以f（x+2）f（2x+2）f（4x），所以f（1+2）
15、f（4（1），即f（1）f（5），故选：C15（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油【分析】根据函数图象的意义逐项分析各说法是否正确【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，
16、故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，用丙车比用乙车更省油，故C正确；对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故D错误故选：C16（3分）设函数若关于x的方程f（x）a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A（3，+）B（
17、，3）C3，3）D（3，3【分析】作函数的图象，从而可得x1+x24，x3x41，x31，从而解得【解答】解：作函数的图象如下，结合图象，A，B，C，D的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，故x1+x24，x3x41，故4x3，0log2x32，x31，34x33，故选：D三.解答题17在平面直角坐标系中，作出下列函数的图象；（1）； （2）【分析】根据指数函数的图象和性质即可画出图象【解答】解：（1）函数；的图形如图：（2）函数是偶函数，是x0时，y图象关于y轴对称后，向下平移1个单位得到的图象，如图所示，18已知集合Dx|32x103x+2+360，xR，求函数（xD）的值域【分析】由题意
18、求解不等式首先确定集合D，然后整理函数的解析式，最后利用二次函数在给的区间上求值域的方法求解函数的值域即可【解答】解：集合D中不等式即：（3x）2903x+7290，则：（3x9）（3x81）0，93x81，解得2x4，1log2x2所需求解值域的函数解析式为：f（x）（log2x1）（log2x2），结合二次函数的性质可得：当log2x1 或log2x2 时，函数取得最大值0；当 时，函数取得最小值 ；函数的值域为 19设函数f（x）kaxax（a0且a1）是奇函数（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）a2x+a2x2mf（x）在区间1，+）上的最小值为2，求实数m的值【分析】（1）方
19、法一、由奇函数的性质：f（0）0，解方程可得k1，检验成立；方法二、运用奇函数的定义，由恒等式的性质即可得到k1；（2）求得a3，即有g（x）32x+32x2m（3x3x），令t3x3x，则t是关于x的增函数，可得，h（t）t22mt+2（tm）2+2m2，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得m的值【解答】（1）解法一：函数f（x）kaxax的定义域为R，f（x）是奇函数，所以f（0）k10，即有k1当k1时，f（x）axax，f（x）axaxf（x），则f（x）是奇函数，故所求k的值为1；解法二：函数f（x）kaxax的定义域为R，由题意，对任意xR，f（x）f（x），
20、即kaxaxaxkax，（k1）（ax+ax）0，因为ax+ax0，所以，k1（2）由，得，解得a3或（舍）所以g（x）32x+32x2m（3x3x），令t3x3x，则t是关于x的增函数，可得，g（x）h（t）t22mt+2（tm）2+2m2，当时，则当时，解得；当时，则当tm时，m2（舍去）综上，20已知函数；（1）当m2时，判断f（x）在（，0）上的单调性并证明；（2）若对任意xR，不等式f（2x）0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论函数yf（x）的零点个数【分析】（1）当m2时，利用函数单调性的定义即可判断f（x）在（，0）的单调性，并用定义证明（2）利用参数分离法将不等式 f（2x）0
21、恒成立，进行转化，求m的取值范围；（3）根据函数的单调性和最值，即可得到结论【解答】解：（1）当m2，且x0时，f（x）x+1是单调递减的证明：设x1x20，则f（x1）f（x2）x1+1（x2+1）（x2x1）+（）（x2x1）+（x2x1）（1+）又x1x20，所以x2x10，x1x20，所以（x2x1）（1+）0所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），故当m2时，f（x）x+1在（，0）上单调递减的（2）由f（2x）0得|2x|+10，变形为（2x）22x+m0，即m2x（2x）2而2x（2x）2（2x）2+，当2x即x1时（2x（2x）2）max，所以m（3）由f（x）0可
22、得x|x|x+m0（x0），变为mx|x|+x（x0）令g（x）xx|x|，作yg（x）的图象及直线ym，由图象可得：当m或m时，f（x）有1个零点当m或m0或m时，f（x）有2个零点；当0m或m0时，f（x）有3个零点21已知aR，函数f（x）log2（a3）x+3a4；（1）当a2时，解不等式；（2）若函数yf（x24x）的值域为R，求a的取值范围；（3）若关于x的方程解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围【分析】（1）利用题意得到对数不等式，求解不等式即可求得最终结果；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式得到关于实数a的不等式组，求解不等式组即可；（3）将原
23、问题转化为函数只有一个根的问题，然后分类讨论即可求得最终结果【解答】解：（1）当x2时，f（x）log2（x+2），则不等式即：，据此可得：，即不等式的解集为 （2）函数，设函数y（a3）（x24x）+（3a4）的值域为M，则 （0，+）M，当a30，a3时不满足题意，结合二次函数的性质可得：，即：，据此可得实数a的取值范围是a|a8（3）满足题意时， 恰好有一个解，即：，原问题：等价于方程，（a3）x2+（a4）x10（*）在满足 只有唯一解方程（*）化为（a3）x1（x+1）0若a3时，解x1，此时 ，满足题意；若a2时，两根均为x1，此时 ，也满足若a2且a3时，两根为，当 时，；当x1时，依题意，（3a3）（2a1）0，解得 综上，a的取值范围是 16 / 16
