1、2019-2020学年上海中学高一（上）期中数学试卷一.填空题1（3分）已知集合U1，0，2，3，A0，3，则UA 2（3分）若关于x的不等式|x+a|b（a，bR）的解集为x|2x4，则ab 3（3分）命题“若x2，则x2+3x0”的逆否命题是 4（3分）若全集U1，2，3，4，5，6，7，8，9，A、B为U的子集，且（UA）B1，9，AB2，（UA）UB4，6，8，则集合A 5（3分）已知集合Aa，b，2，B2，b2，2a（a，bR），且AB，则b 6（3分）已知正实数x，y满足x+3y1，则xy的最大值为 7（3分）已知集合AxR|2x30，BxR|xa，若AB，则实数a的取值范围为 8
2、（3分）已知xR，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如A（2）2，A（0.4）1，A（1.1）1，A（2xA（x）5，则正实数x的取值范围为 9（3分）a，bR，|a|1，|a+b|1，则（a+1）（b+1）的最大值为 ，最小值为 10（3分）若使集合A（k）x|（kxk26）（x4）0，xZ中元素个数最少，则实数k的取值范围是 ，设BZ，对B中的每一个元素x，至少存在一个A（k），有xA（k），则B 二.选择题11（3分）下列命题中正确的有（）很小的实数可以构成集合；集合y|yx21与集合（x，y）|yx21是同一个集合；集合（x，y）|xy0，x，yR是指第二和第四象限内的点集；A0个
3、B1个C2个D3个12（3分）设x0，y0，下列不等式中等号能成立的有（）；A1个B2个C3个D4个13（3分）集合Ax|，集合，则xA是xB的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件14（3分）使关于x的不等式x23（t1）x+2t（t3）0恒成立的实数t（）A不存在B有且仅有一个C有不止一个的有限个D无穷多个三.解答题15设a0，b0，比较与的大小16解下列不等式：（1）|x+1|2x1|1；（2）17据市场分析，某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨（包含10吨和25吨），月生产总成本y（万元）可以看成月产量x（吨）的二次函数，当月产量为10吨时，月总成本
4、为20万元，当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元（1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数解析式；（2）若x10，25，当月产量为多少时，每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？18已知命题：“xx|1x1，使等式x2xm0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（xa）（x+a2）0的解集为N，若xN是xM的必要条件，求a的取值范围19已知二次函数，（1）若a3，b2，c1，解不等式组：；（2）若a，b，c1，2，3，4，对任意xR，证明：f1（x）、f2（x）、f3（x）中至少有一个非负；（3）设a、b、c是正整数，求所有可能的有序三元组（a，b，c
5、），使得f1（x）0，f2（x）0，f3（x）0均有整数根2019-2020学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1（3分）已知集合U1，0，2，3，A0，3，则UA1，2【分析】根据补集的定义进行求解即可【解答】解：U1，0，2，3，A0，3，UA1，2，故答案为：1，22（3分）若关于x的不等式|x+a|b（a，bR）的解集为x|2x4，则ab3【分析】由题意，解不等式|x+a|b得出baxba，再由已知解集为x|2x4，从而得出ba2且ba4，两者联立解出a，b的值，即可得出答案【解答】解：|x+a|b（a，bR），解得baxba，又关于x的不等式|x+a|b（a
6、，bR）的解集为x|2x4，ba2且ba4，解得a3，b1，ab3故答案为：33（3分）命题“若x2，则x2+3x0”的逆否命题是若x2+3x0，则x2【分析】由已知可得，原命题的题设P：x2，结论Q：x2+3x0逆否命题是若非Q，则非P从而可求【解答】解：依题意得，原命题的题设为：x2，结论为：x2+3x0逆否命题：若x2+3x0，则x2，故答案为：若x2+3x0，则x24（3分）若全集U1，2，3，4，5，6，7，8，9，A、B为U的子集，且（UA）B1，9，AB2，（UA）UB4，6，8，则集合A2，3，5，7【分析】作出韦恩图，根据集合关系进行求解即可【解答】解：作出韦恩图，由（UA）
7、B1，9，AB2，（UA）UB4，6，8得A2，3，5，7，故答案为：2，3，5，75（3分）已知集合Aa，b，2，B2，b2，2a（a，bR），且AB，则b或1【分析】由集合相等，则集合中元素相等，再由集合中的元素满足互异性，确定性，无序性，排除不符合要求的解，得出结论【解答】解：集合B中的元素2a，有两种可能，或者若，解之得，或者（经检验不符合）若，解之得，经检验a0时，b0，不满足集合中元素互异性，所以舍去综上所述故答案为6（3分）已知正实数x，y满足x+3y1，则xy的最大值为【分析】运用基本不等式得出x+3y1，化简求解xy即可【解答】解；正实数x，y满足x+3y1，x+3y1，化简
8、得出xy（x3y等号成立）xy的最大值为（，y等号成立）故答案为：7（3分）已知集合AxR|2x30，BxR|xa，若AB，则实数a的取值范围为【分析】化简集合A，根据AB写出实数a的取值范围【解答】解：集合AxR|2x30x|x，BxR|xa，当AB时，实数a的取值范围为a故答案为：a8（3分）已知xR，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如A（2）2，A（0.4）1，A（1.1）1，A（2xA（x）5，则正实数x的取值范围为【分析】由A（x）表示不小于x的最小整数分类讨论可得2xA（x）的取值范围，解不等式验证即可【解答】解：当A（x）1时，0x1可得，42xA（x）5有，矛盾，则A（x
9、）1；当A（x）2时，1x2可得，42xA（x）5有1x，满足条件；当A（x）3时，2x3可得，42xA（x）5有x，矛盾；则A（x）3；由此类，当当A（x）4时也不符合题意；故答案为：1x9（3分）a，bR，|a|1，|a+b|1，则（a+1）（b+1）的最大值为 ，最小值为 2【分析】令ta+b1，1，bta，变换主元法，t主元，令f（t）（a+1）t+1a2，求出最大值和最小值即可【解答】解：令ta+b1，1，bta，a1，1，则（a+1）（b+1）（a+1）（ta+1）（a+1）t+1a2，当a1，（a+1）（b+1）0，当a1，a+1（0，1，把t主元，令f（t）（a+1）t+1a2
10、，f（t）maxf（1）（a）2+0，f（t）minf（1）（a+2，所以（a+1）（b+1）的最大值为，最小值为2，故答案为：，210（3分）若使集合A（k）x|（kxk26）（x4）0，xZ中元素个数最少，则实数k的取值范围是（3，2），设BZ，对B中的每一个元素x，至少存在一个A（k），有xA（k），则BZ【分析】化简集合A，对k讨论即可求解x的范围，可得答案【解答】解：集合Ax|（kxk26）（x4）0，xZ，方程（kxk26）（x4）0，k0解得：x1k+，x24，（kxk26）（x4）0，xZ当k0时，A（，4；当k0时，4k+，A（，4k+，+）；当k0时，k+4，Ak+，4；当
11、k0时，集合A的元素的个数无限；当k0时，k+4，Ak+，4，集合A的元素的个数有限，令函数g（k）k+，（k0）则有：g（k）2，对于集合A，0，4满足条件的元素只有0，1，2，3，4，只需k+，0包含的整数最小，题意要求xZ，故只需k+5，且k+4，解得：3k2，根据对A（k）的讨论，所以BZ，故答案为：3k2，BZ二.选择题11（3分）下列命题中正确的有（）很小的实数可以构成集合；集合y|yx21与集合（x，y）|yx21是同一个集合；集合（x，y）|xy0，x，yR是指第二和第四象限内的点集；A0个B1个C2个D3个【分析】由集合元素的性质：确定性可知错误；中注意集合中的元素是什么；中
12、注意x0或y0的情况【解答】解：错误，很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；错误，中集合y|yx21的元素为实数，而集合（x，y）|yx21的元素是点；错误，集合（x，y）|xy0，x，yR中还包括实数轴上的点；故正确的有0个故选：A12（3分）设x0，y0，下列不等式中等号能成立的有（）；A1个B2个C3个D4个【分析】设x0，y0，x+，所以成立，利用基本不等式可知成立，不成立，当xy时成立，得出结论【解答】解：设x0，y0，x+，所以成立，因为x0，y0，所以，当且仅当xy1时取等号，故成立，运用基本不等式不能取等号，此时x2+54，显然不成立，当xy时成立，故正确的有三个，
13、故选：C13（3分）集合Ax|，集合，则xA是xB的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】求解不等式（组）化简A，B，再由充分必要条件的判定得答案【解答】解：Ax|x|x|0x1，x|x1且x3，则由xAxB，反之不成立xA是xB的充分不必要条件故选：A14（3分）使关于x的不等式x23（t1）x+2t（t3）0恒成立的实数t（）A不存在B有且仅有一个C有不止一个的有限个D无穷多个【分析】使关于x的不等式x23（t1）x+2t（t3）0恒成立，开口向上，所以只需9（t1）28t（t3）t2+6t+9（t+3）20，求出即可【解答】解：使关于x的不等式x
14、23（t1）x+2t（t3）0恒成立，开口向上，所以只需9（t1）28t（t3）t2+6t+9（t+3）20，即t3，所以t有且只有一个故选：B三.解答题15设a0，b0，比较与的大小【分析】ab0，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：设a0，b0，+，根据均值不等式可得，+2，+2，当且仅当ab时取等号，所以由+可得+2（+），即则与的大小为16解下列不等式：（1）|x+1|2x1|1；（2）【分析】（1）去绝对值号，分段解不等式即可得出不等式的解集；（2）不等式可转化为，分解后可得，由于四个因子的四个零点，把所有实数分成了五部分，分段讨论不等式是否成立即可得出不等式的解集【解答】解：（
15、1）|x+1|2x1|，解|x+1|2x1|1得，x1，故不等式的解集是；（2）可转化为，即，当x6时，四个因子都非负，不等式成立；当3x4时，四个因子两个为正两个为负，此时不等式成立；当x2时，四个因子都非正，不等式成立，综上知，不等式的解集是（，2（3，4）6，+）17据市场分析，某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨（包含10吨和25吨），月生产总成本y（万元）可以看成月产量x（吨）的二次函数，当月产量为10吨时，月总成本为20万元，当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元（1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数解析式；（2）若x10，25，当月产量为多少时，每吨平均成
16、本最低？最低平均成本是多少万元？【分析】（1）设出函数解析式，代入（10，20），可得函数解析式；（2）求出每吨平均成本，利用基本不等式可求最值【解答】解：（1）由题意，设ya（x15）2+17.5（aR，a0）将x10，y20代入上式得：2025a+17.5，解得a，y（x15）2+17.5（10x25）（2）平均成本x+3231当且仅当x，即x2010，25时上式“”成立故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元18已知命题：“xx|1x1，使等式x2xm0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（xa）（x+a2）0的解集为N，若xN是xM的必要条件，求a
17、的取值范围【分析】（1）利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M；（2）若xN是xM的必要条件，则MN分类讨论当a2a即a1时，Nx|2axa，当a2a即a1时，Nx|ax2a，当a2a即a1时，N三种情况进行求解【解答】解：（1）由x2xm0可得mx2x1x1Mm|（2）若xN是xM的必要条件，则MN当a2a即a1时，Nx|2axa，则即当a2a即a1时，Nx|ax2a，则即当a2a即a1时，N，此时不满足条件综上可得19已知二次函数，（1）若a3，b2，c1，解不等式组：；（2）若a，b，c1，2，3，4，对任意xR，证明：f1（x）、f2（x）、f3
18、（x）中至少有一个非负；（3）设a、b、c是正整数，求所有可能的有序三元组（a，b，c），使得f1（x）0，f2（x）0，f3（x）0均有整数根【分析】（1）代值直接计算即可；（2）只需证明1、2、3至少有一个小于等于0即可；（3）先判断当a9时，没有满足条件的有序三元组（a，b，c），再讨论a8时，满足条件的有序三元组（a，b，c）即可【解答】解：（1）当a3，b2，c1时，解不等式x23x+20得x1或x2，解不等式x22x+10得x1，解不等式x2x+30得xR，综上，所求不等式组的解集为（，1）（2，+）；（2）证明：，相加得1+2+3（a2）2+（b2）2+（c2）212，a，b，c1，2，3，4，1+2+30即1、2、3至少有一个小于等于0，f1（x）、f2（x）、f3（x）中至少有一个非负；（3）由判别式大于等于0，及f（1）0，可得a24b，b24c，c24a，ab+1，bc+1，ca+1，a4，b4，c4，a1ba+2，a2ca+1，（a2）212a24b（a2）2，a24b为平方数，当a9时，a24b（a2）2ba1，同理可得当b9时，cb1a2，此时两根为1和a1，两根为1和b1，无整数解，不符故a9不满足题意；当a8时，讨论可得（4，4，4），（6，8，7），（7，6，8），（8，7，6）符合13 / 13
