1、内容提要内容提要 v随着现代测试技术的广泛应用，测试对象和参数随着现代测试技术的广泛应用，测试对象和参数也日益复杂，愈来愈多地涉及到随机信号分析与也日益复杂，愈来愈多地涉及到随机信号分析与处理的知识。本章主要介绍随机信号的基本概念、处理的知识。本章主要介绍随机信号的基本概念、随机信号的相关分析和谱分析、线性非移变系统随机信号的相关分析和谱分析、线性非移变系统对随机信号的响应、功率谱估计等。对随机信号的响应、功率谱估计等。第一节第一节 随机信号的基本概念随机信号的基本概念 v从第一章的信号分类中我们已经知道，随机信号从第一章的信号分类中我们已经知道，随机信号是一种不确定性信号，不能表示为一确定的
2、时间是一种不确定性信号，不能表示为一确定的时间函数，即信号的变化不存在任何确定的规律，因函数，即信号的变化不存在任何确定的规律，因而不可能预见其未来任一时刻的数值，也就是说而不可能预见其未来任一时刻的数值，也就是说它是一种在相同试验条件下，不能重复出现的信它是一种在相同试验条件下，不能重复出现的信号。显然，它与确定性信号是两类性质完全不同号。显然，它与确定性信号是两类性质完全不同的信号，对随机信号的描述、分析和处理方法也的信号，对随机信号的描述、分析和处理方法也完全不同于确定性信号。完全不同于确定性信号。v随机信号在客观实际中普遍存在，在测试过程中随机信号在客观实际中普遍存在，在测试过程中也相
3、当常见。例如：陀螺的漂移、测试系统中电也相当常见。例如：陀螺的漂移、测试系统中电子元器件产生的热噪声、机械传动中随机因素影子元器件产生的热噪声、机械传动中随机因素影响引起的振动、以及测试过程中的随机误差等，响引起的振动、以及测试过程中的随机误差等，都可以抽象为随机信号。图都可以抽象为随机信号。图8-18-1为某船舶在航行中为某船舶在航行中所产生的振动信号，这是一种典型的随机信号。所产生的振动信号，这是一种典型的随机信号。第一节第一节 随机信号的基本概念随机信号的基本概念图图8-1 8-1 船舶振动信号船舶振动信号 第一节第一节 随机信号的基本概念随机信号的基本概念v仅在离散时间点上给出定义的为
4、离散时间随机信仅在离散时间点上给出定义的为离散时间随机信号，即随机序列。随机序列可以是连续随机信号号，即随机序列。随机序列可以是连续随机信号的采样结果，也可以是客观存在的随机物理现象的采样结果，也可以是客观存在的随机物理现象的表示。的表示。v对随机物理现象每次的观察结果都不一样，每次对随机物理现象每次的观察结果都不一样，每次观察得到的时间函数只是可能产生的无限个时间观察得到的时间函数只是可能产生的无限个时间函数中的一个函数中的一个“样本样本”，随机现象可能产生的全，随机现象可能产生的全部样本的集合（总体）称为随机过程，随机信号部样本的集合（总体）称为随机过程，随机信号实际上也就是随机过程。实际
5、上也就是随机过程。第一节第一节 随机信号的基本概念随机信号的基本概念v在分析随机信号中由于它的不可重复性，似乎应在分析随机信号中由于它的不可重复性，似乎应当分析无限长的信号才能得到准确的分析结果，当分析无限长的信号才能得到准确的分析结果，然而这在实际工作中是不可能做到的。对随机信然而这在实际工作中是不可能做到的。对随机信号的分析只能限定于下面所描述的平稳且各态历号的分析只能限定于下面所描述的平稳且各态历经的随机过程。这类信号便于研究，同时具有普经的随机过程。这类信号便于研究，同时具有普遍性。遍性。v如果随机过程的统计规律不随时间而改变，则称如果随机过程的统计规律不随时间而改变，则称为平稳随机过
6、程，否则称为非平稳随机过程。为平稳随机过程，否则称为非平稳随机过程。v若一个随机过程在某一时刻的所有样本的统计特若一个随机过程在某一时刻的所有样本的统计特征和单一样本在长时间内的统计特征一致，则称征和单一样本在长时间内的统计特征一致，则称为各态历经（或各态遍历）的随机过程，否则是为各态历经（或各态遍历）的随机过程，否则是非各态历经的随机过程。非各态历经的随机过程。第一节第一节 随机信号的基本概念随机信号的基本概念v对于平稳的各态历经的随机过程，从总体各样本对于平稳的各态历经的随机过程，从总体各样本中所能获得的信息并不比从单个样本获得的信息中所能获得的信息并不比从单个样本获得的信息多，因此在实际
7、应用中，只要对一个样本进行分多，因此在实际应用中，只要对一个样本进行分析计算，就可以得知随机过程的统计特征。析计算，就可以得知随机过程的统计特征。v与确定性信号相比，随机信号有三个主要特点：与确定性信号相比，随机信号有三个主要特点：v1 1）随机信号的任何一个实现，都只是随机信号总）随机信号的任何一个实现，都只是随机信号总体中的一个样本，任何一个样本都不能代表该随体中的一个样本，任何一个样本都不能代表该随机信号。机信号。第一节第一节 随机信号的基本概念随机信号的基本概念v2 2）在任一时间点上随机信号的取值都是一个随机）在任一时间点上随机信号的取值都是一个随机变量，从而随机信号的描述与随机变量
8、一样，只变量，从而随机信号的描述与随机变量一样，只能用概率密度函数和数学期望这样的数字特征值能用概率密度函数和数学期望这样的数字特征值来描述。若是各态历经的随机信号，那么数学期来描述。若是各态历经的随机信号，那么数学期望可用一个样本的时间平均来代替。望可用一个样本的时间平均来代替。v3 3）平稳随机信号在时间上是无始无终的，其能量）平稳随机信号在时间上是无始无终的，其能量是无限的，且不存在傅里叶变换，因此平稳随机是无限的，且不存在傅里叶变换，因此平稳随机信号不能用通常的频谱来表示，也不能采用常规信号不能用通常的频谱来表示，也不能采用常规的滤波方法进行处理，而需要用基于最小估计理的滤波方法进行处
9、理，而需要用基于最小估计理论的广义滤波论的广义滤波维纳滤波、卡尔曼滤波和自适维纳滤波、卡尔曼滤波和自适应滤波来实现。另外由于随机信号能量是无限的，应滤波来实现。另外由于随机信号能量是无限的，平均功率是有限的，所以采用功率谱来描述随机平均功率是有限的，所以采用功率谱来描述随机信号的频域特性。信号的频域特性。第二节第二节 随机信号的描述随机信号的描述 v由于随机信号不能用确定的时间函数来表示，因由于随机信号不能用确定的时间函数来表示，因此随机信号只能用其统计特性来描述，一般采用此随机信号只能用其统计特性来描述，一般采用四种统计特征量来描述其基本特点：四种统计特征量来描述其基本特点：均值（数均值（数
10、学期望）、均方值和方差；学期望）、均方值和方差；概率密度函数和概概率密度函数和概率分布函数；率分布函数；相关函数和协方差；相关函数和协方差；功率谱密功率谱密度。度。主要内容主要内容均值、均方值、方差均值、均方值、方差一 概率密度函数和概率分布函数概率密度函数和概率分布函数 二 相关函数和协方差相关函数和协方差三功率谱密度功率谱密度四白噪声和有色噪声信号白噪声和有色噪声信号五一、均值、均方值、方差一、均值、均方值、方差v对于各态历经连续随机信号对于各态历经连续随机信号x(tx(t)的数学期望的数学期望E Ex(tx(t)，可以用一个样本的时间平均即均值求，可以用一个样本的时间平均即均值求得，即得
11、，即v数学期望数学期望E Ex(tx(t)也称随机信号的均值，描述了也称随机信号的均值，描述了随机信号中的静态分量或称直流分量。由于不同随机信号中的静态分量或称直流分量。由于不同时刻有不同的数学期望，所以时刻有不同的数学期望，所以 是是x(tx(t)在各个时在各个时刻的摆动中心，故又称为一阶原点矩。刻的摆动中心，故又称为一阶原点矩。v描述随机信号随时间变化的量有均方值和方差。描述随机信号随时间变化的量有均方值和方差。均方值表示为均方值表示为TTxdttxTmtxE0)(1lim)(（8-1）xmTTxdttxTtxEm022)(1lim)(2（8-2）一、均值、均方值、方差一、均值、均方值、方
12、差v均方值反映了随机信号均方值反映了随机信号x(tx(t)的强度和功率，它也的强度和功率，它也可看作是随机信号对零值波动的分量，因此也称可看作是随机信号对零值波动的分量，因此也称 为为x(tx(t)的二阶原点矩。均方值的正平方根称的二阶原点矩。均方值的正平方根称为均方根值，又称有效值，它也是信号平均能量为均方根值，又称有效值，它也是信号平均能量的一种表达。的一种表达。v方差是随机信号方差是随机信号x(tx(t)相对均值波动的分量，表示相对均值波动的分量，表示为为2xmTxTxxdtmtxTmtxE0222)(1lim)(（8-3）一、均值、均方值、方差一、均值、均方值、方差v 方差反映了随机信
13、号各可能值对其平均值的偏离方差反映了随机信号各可能值对其平均值的偏离程度，方差程度，方差 又称为又称为x(tx(t)的二阶中心矩。的二阶中心矩。越越大，随机信号大，随机信号x(tx(t)各样本值的分散程度也越大。各样本值的分散程度也越大。v均值、均方值、方差之间有如下关系均值、均方值、方差之间有如下关系v相应地，对于各态历经平稳随机信号序列相应地，对于各态历经平稳随机信号序列x(nx(n)的的均值、均方值和方差分别定义为均值、均方值和方差分别定义为)(2tx)(2tx222xxxmm（8-4）NnNnxnxNmnxE1)()(1lim)(（8-5）一、均值、均方值、方差一、均值、均方值、方差v
14、随机信号序列均值、均方值、方差之间有如下关随机信号序列均值、均方值、方差之间有如下关系系NnNnxnxNnxEm122)()(1lim)(2NnnxNnxnxmnxNmnxE12)(2)(2)()(1lim)(（8-6）（8-7）2)()(2)(2nxnxnxmm（8-8）二、二、概率密度函数和概率分布函数概率密度函数和概率分布函数 v概率密度函数表示随机信号概率密度函数表示随机信号x(tx(t)瞬时值落在瞬时值落在x x值附值附近近xx范围内的概率密度，若对某一随机信号范围内的概率密度，若对某一随机信号x(tx(t)进行观察，进行观察，T T为观察时间，为观察时间，TxTx为为T T时间内时
15、间内x(tx(t)落在落在(x(x，x+xx+x)区间内的总时间，其幅值落在区间内的总时间，其幅值落在(x(x，x+x+x x)区间内的慨率可以用区间内的慨率可以用TxTx/T T反映，当反映，当T T，其概率为其概率为v而随机信号而随机信号x(tx(t)的概率密度函数定义反映了信号的概率密度函数定义反映了信号幅值落在某一极小范围（幅值落在某一极小范围（x x00）内的概率，其）内的概率，其表达式表达式TTxxtxxPxTlim)(（8-9）TTxxxxtxxPxpxTxx000lim1lim)(lim)(（8-10）二、二、概率密度函数和概率分布函数概率密度函数和概率分布函数v值得注意的是，
16、概率密度函数不是概率，值得注意的是，概率密度函数不是概率，p(x)dxp(x)dx才代表随机信号才代表随机信号x(tx(t)取值在取值在x x与与x+dxx+dx之间的概率。之间的概率。根据概率密度函数的定义，很容易证明概率密度根据概率密度函数的定义，很容易证明概率密度函数具有如下性质：函数具有如下性质：0)(xp（8-11）1)(dxxp（8-12）)()(xtxPdpx（8-13）)()()()(211221xtxxPxtxPxtxPdxxpxx（8-14）二、二、概率密度函数和概率分布函数概率密度函数和概率分布函数v概率分布函数是信号瞬时值小于或等于某指定值概率分布函数是信号瞬时值小于或
17、等于某指定值的概率，表示为的概率，表示为v因此有因此有v概率分布函数具有以下性质：概率分布函数具有以下性质：00F(x)F(x)11 （8-178-17）F(-F(-)=0=0 （8-188-18）F(F()=1=1 （8-198-19）xdpxtxPxF)()()(（8-15）)()(xpdxxdF（8-16）二、二、概率密度函数和概率分布函数概率密度函数和概率分布函数 若若abab，则，则F(a)F(a)F(bF(b)（8-20）F F axaxb b=F(b)=F(b)-F(aF(a)（8-21）v在测试技术中，许多随机信号服从或近似服从正在测试技术中，许多随机信号服从或近似服从正态分布
18、，并且大量独立随机分量的叠加近似服从态分布，并且大量独立随机分量的叠加近似服从正态分布，正态分布是最常用的一种分布，其概正态分布，正态分布是最常用的一种分布，其概率密度函数和概率分布函数分别为率密度函数和概率分布函数分别为22()1()exp22xxxxmp x22()1()exp22xxxxmF xd（8-22）（8-23）二、二、概率密度函数和概率分布函数概率密度函数和概率分布函数v连续随机信号的均值、均方值、方差与概率密度之连续随机信号的均值、均方值、方差与概率密度之间存在如下关系间存在如下关系v对于离散随机信号序列的情况，如果信号序列对于离散随机信号序列的情况，如果信号序列x(nx(n
19、)在幅值上是量化了的，设量化单位为在幅值上是量化了的，设量化单位为Q Q，是幅值落是幅值落在在 到到 之间的序列点数，之间的序列点数，N N是被观察序列的总长是被观察序列的总长度，则概率密度函数为度，则概率密度函数为dxxxpmx)(dxxpxmx)(22dxxpmxxx)()(22（一阶原点矩）（一阶原点矩）（8-248-24）（二阶原点矩）（二阶原点矩）（8-258-25）（二阶中心矩）（二阶中心矩）（8-268-26）iN二、二、概率密度函数和概率分布函数概率密度函数和概率分布函数v在数字信号处理中，常用无因次表示概率密度，在数字信号处理中，常用无因次表示概率密度，即为即为v概率分布函数
20、为概率分布函数为 NNQxxxPQpiNiiilim111（8-27）NNxxxPpiNiiilim1（8-28）ijiiipxxPF（8-29）二、二、概率密度函数和概率分布函数概率密度函数和概率分布函数v若被观察信号的长度若被观察信号的长度N有限，则只能得到均值、有限，则只能得到均值、均方值、方差、概率密度函数和概率分布函数在均方值、方差、概率密度函数和概率分布函数在该序列长度内的估计值该序列长度内的估计值10)()(1NnnxnxNm102)()(12NnnxnxNm2)()(2)(2nxnxnxmmNNpiiijiipF（8-30）（8-31）（8-32）（8-33）（8-34）二、二
21、、概率密度函数和概率分布函数概率密度函数和概率分布函数v例例8-1 设随机变量设随机变量x(t)的概率密度为的概率密度为求其均值、均方值和方差。求其均值、均方值和方差。v解：根据前面的公式可得：解：根据前面的公式可得：1,10()1,01xxp xxx 10010)1()1()(dxxxdxxxdxxxpmx102012261)1()1()(三、三、相关函数和协方差相关函数和协方差v同确定性信号的相关函数相类似，平稳随机信号同确定性信号的相关函数相类似，平稳随机信号x(t)的自相关函数定义为的自相关函数定义为v自相关函数反映了自相关函数反映了x(t)的幅值在的幅值在t和和t+两个不同时两个不同
22、时间点上瞬时值之间的关联性。在实际计算中，不间点上瞬时值之间的关联性。在实际计算中，不可能对无限长信号进行积分计算，一般用有限长可能对无限长信号进行积分计算，一般用有限长样本作其估计样本作其估计TTxdttxtxTtxtxER0)()(1lim)()()(（8-35）TxdttxtxTR0)()(1)(三、三、相关函数和协方差相关函数和协方差v自相关函数自相关函数 具有以下几个性质：具有以下几个性质：v1）在）在=0时，时，具有最大值，即具有最大值，即v2）是偶函数是偶函数v3 3）)(xR)(xR)()0(xxRR（8-36）)(xR)()(xxRR（8-37）2(0)()()xxRE x
23、t x tm（8-38）三、三、相关函数和协方差相关函数和协方差v4）当）当时，随机变量时，随机变量x(t)与与x(t+)互不相关，互不相关，由于由于x(t)是平稳的，均值为常数，所以有是平稳的，均值为常数，所以有v5）将式）将式（8-38）和式和式（8-39）代入式代入式（8-8）可可得得v若将若将x(t)的均值扣除，则所得的自相关函数称为自的均值扣除，则所得的自相关函数称为自协方差，表示为协方差，表示为2()()()xxxxRE x t E x tm mm（8-39）)()0(2xxxRR（8-40）)()()()()()(2xxxxxxxRRmRmtxmtxEC（8-41）三、三、相关函
24、数和协方差相关函数和协方差v当当=0时，自协方差即为方差，即时，自协方差即为方差，即v两个不同随机信号两个不同随机信号x(t)和和y(t)之间的互相关联的特之间的互相关联的特性用互相关函数和互协方差函数表示，互相关函性用互相关函数和互协方差函数表示，互相关函数定义为数定义为v互协方差函数定义为互协方差函数定义为 22)0()0(xxxxmRC（8-42）TTxydttytxTtytxER0)()(1lim)()()(（8-43）()()()()xyxyxyxyCEx tmy tmRm m（8-44）三、三、相关函数和协方差相关函数和协方差v互相关函数具有下列性质；互相关函数具有下列性质；v1）
25、不是偶函数，通常它不在不是偶函数，通常它不在=0处取峰值，处取峰值，其峰值偏离原点的位置反映了两信号相互有多大时其峰值偏离原点的位置反映了两信号相互有多大时移时，相关程度最强。移时，相关程度最强。v2）和和 是两个不同的函数。是两个不同的函数。v3）)(xyR)()(yxxyRR（8-45）)(xyR)(yxR2)()0()0(xyyxRRR（8-46）三、三、相关函数和协方差相关函数和协方差v由于信号由于信号x(t)和和y(t)本身的取值大小导致计算相关本身的取值大小导致计算相关函数结果取值的大小，因而在比较不同的两组随函数结果取值的大小，因而在比较不同的两组随机信号相关程度时，仅视其相关函
26、数值大小是不机信号相关程度时，仅视其相关函数值大小是不确切的。为了避免信号本身幅值对其相关性程度确切的。为了避免信号本身幅值对其相关性程度量的影响，就将相关函数作归一化处理，引入一量的影响，就将相关函数作归一化处理，引入一个无量纲的函数：相关系数函数，其定义是个无量纲的函数：相关系数函数，其定义是v若若 ，说明，说明x(t)与与y(t)完全相关；若完全相关；若 ，说明说明x(t)与与y(t)完全不相关；若完全不相关；若 说明说明x(t)与与y(t)部分相关。部分相关。)0()0()()(yyxxxyxyRRR（8-47）1)(xy0)(xy1)(三、三、相关函数和协方差相关函数和协方差v随机信
27、号序列随机信号序列x(n)的自相关函数定义为的自相关函数定义为v自协方差函数定义为自协方差函数定义为v随机信号序列随机信号序列x(n)和和y(n)的互相关函数定义为的互相关函数定义为10)()(1lim)()()(NnNxmnxnxNmnxnxEmR（8-48）2)()()()()()()(nxxnxnxxmmRmmnxmnxEmC（8-49）10)()(1lim)()()(NnNxymnynxNmnynxEmR（8-50）三、三、相关函数和协方差相关函数和协方差v互协方差函数定义为互协方差函数定义为()()()()()()()()xyx ny nxyx ny nCmEx nmy nmmRmm
28、m（8-51）四、功率谱密度四、功率谱密度v随机信号是在时间上无始无终地向正负方向无限随机信号是在时间上无始无终地向正负方向无限延伸的、具有无限大能量的信号，它显然不满足延伸的、具有无限大能量的信号，它显然不满足狄里赫利条件，不存在傅里叶变换，因此不可能狄里赫利条件，不存在傅里叶变换，因此不可能用频谱在频域上对随机信号进行分析处理，但可用频谱在频域上对随机信号进行分析处理，但可以认为它是一种功率信号，这与确定性周期信号以认为它是一种功率信号，这与确定性周期信号相似，可以用信号的平均功率相对频率的分布情相似，可以用信号的平均功率相对频率的分布情况，即功率谱密度来分析描述随机信号在频域上况，即功率
29、谱密度来分析描述随机信号在频域上的特性。随机信号的功率谱密度有两种定义方式：的特性。随机信号的功率谱密度有两种定义方式：单边功率谱密度和双边功率谱密度。单边功率谱密度和双边功率谱密度。四、功率谱密度四、功率谱密度v设设x(t)为平稳随机信号，则为平稳随机信号，则x(t)的自相关函数为的自相关函数为v自相关函数自相关函数 的傅里叶变换为的傅里叶变换为v其反变换为其反变换为v当当=0时，由式（时，由式（8-52）和（）和（8-54）可得）可得)()()(txtxERx（8-52）)(xRdeRSjxx)()(（8-53）deSRjxx)(21)(（8-54）dStxEx)(21)(2（8-55）四
30、、功率谱密度四、功率谱密度v上式左边可理解为随机信号电压上式左边可理解为随机信号电压x(t)通过单位电阻通过单位电阻时产生的平均功率，因此，由积分的意义，时产生的平均功率，因此，由积分的意义，可可看成看成x(t)的平均功率相对频率的分布函数，所以称的平均功率相对频率的分布函数，所以称 为双边自功率谱密度，简称功率谱密度。为双边自功率谱密度，简称功率谱密度。v式式（8-53）和式和式（8-54）称之为维纳一辛钦定理，称之为维纳一辛钦定理，定理表明：平稳随机信号的自相关函数与功率谱密定理表明：平稳随机信号的自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换对。度是一对傅里叶变换对。v由于由于 是实偶函数，有是
31、实偶函数，有)(wSx)(wSx)(xR)()(xxSS(8-56)四、功率谱密度四、功率谱密度v则式则式（8-55）可写成可写成 v令令 ，则，则v上式中的上式中的 也是功率谱密度，它反映了也是功率谱密度，它反映了x(t)在正在正频率轴上的功率分布状况，称之为单边功率谱密度。频率轴上的功率分布状况，称之为单边功率谱密度。显然有显然有)(2)(wSwGXx02)(221)(dStxEx(8-57)02)(21)(dGtxEx(8-58)(wGX2(),0()0,0 xxSG(8-59)四、功率谱密度四、功率谱密度v两个随机信号频域特性的相互关系用互功率谱密度两个随机信号频域特性的相互关系用互功
32、率谱密度来描述，互功率谱密度与互相关函数也是一对傅里来描述，互功率谱密度与互相关函数也是一对傅里叶变换对，为叶变换对，为v同样同样 为双边互功率谱密度，为双边互功率谱密度，是单边功是单边功率谱密度。显然也有率谱密度。显然也有 deRSjxyxy)()(deSRjxyxy)(21)(8-60)(8-61)(wSxy)(wGxy2(),0()0,0 xyxySG(8-62)四、功率谱密度四、功率谱密度v由于互相关函数由于互相关函数 不一定是偶函数，也不一定不一定是偶函数，也不一定是奇函数，所以互功率谱密度具有复数形式是奇函数，所以互功率谱密度具有复数形式v上式中上式中 v 称为共谱密度函数，称为共
33、谱密度函数，称为重谱密度函数。称为重谱密度函数。)(xyR)()()(xyxyxyjQCS(8-63)dRCxyxycos)()(dRQxyxysin)()(8-64)(8-65)(wCxy)(wQ四、功率谱密度四、功率谱密度v自功率谱与互功率谱间有如下关系自功率谱与互功率谱间有如下关系 v式式（8-60）式式（8-66）中各式对单边、双边功中各式对单边、双边功率谱都成立。率谱都成立。v对于离散随机信号序列对于离散随机信号序列 的自功率谱密度的自功率谱密度 与自相关函数与自相关函数 为为v其中其中=Ts，Ts为采样周期。为采样周期。)(nx2)()()(xyyxSSS(8-66)()(nxS)
34、()(mRnxmmjnxnxemRS)()()()()()1()()2jmx nx nRmSed（8-67）（8-68）四、功率谱密度四、功率谱密度v 为实偶函数，从而有为实偶函数，从而有 v同样地，互功率谱密度与互相关函数也是一对傅里同样地，互功率谱密度与互相关函数也是一对傅里叶变换对叶变换对v 互功率谱密度具有如下性质互功率谱密度具有如下性质)()(nxS)()()()(nxnxSS（8-69）mmjnynxnynxemRS)()()()()()()()()()1()()2jmx n y nx n y nRmSed（8-70）（8-71）)()()()()()()()()(nxnynynx
35、nynxSSS（8-72）四、功率谱密度四、功率谱密度v例例8-2 8-2 已知平稳随机信号序列已知平稳随机信号序列x(nx(n)的自相关函的自相关函数数 ，求其功率谱密度，求其功率谱密度Sx(Sx()。v解：解：2)()()()()()()(nynxnynxSSS（8-73）1,)(aamRmx10()()jmxxmmjmmjmmmSRm ea 四、功率谱密度四、功率谱密度v例例8-3 8-3 设随机相位余弦信号设随机相位余弦信号 式中，式中，A A、00为常数，为常数，为在（为在（0 0，22）上均匀）上均匀分布的随机变量，其概率密度为分布的随机变量，其概率密度为 试求其自相关函数试求其自
36、相关函数Rx(Rx()和功率谱密度和功率谱密度Sx(Sx()。v解：解：v1 1）由自相关函数定义，有）由自相关函数定义，有)cos()(0tAtx1,02()20,p其他四、功率谱密度四、功率谱密度 因此，周期函数的自相关函数也是周期函数，且因此，周期函数的自相关函数也是周期函数，且具有相同的周期。具有相同的周期。v2 2）由功率谱定义，得）由功率谱定义，得02200002200002000200cos221)22cos(cos2)()22cos(cos2)22cos(cos2)cos()(cos)()()(AdAdpAtEAtAtAEtxtxER四、功率谱密度四、功率谱密度v因此，其功率谱
37、为两个冲激函数的叠加。因此，其功率谱为两个冲激函数的叠加。)()(2)sin()cos(cos(2)cos(2)()(0020202AdjAdeAdeRS五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号v在测试系统中，除有用信号外的一切不需要的信在测试系统中，除有用信号外的一切不需要的信号和干扰都可称为噪声。但通常，噪声是指随机号和干扰都可称为噪声。但通常，噪声是指随机产生的各种干扰。如某些电气设备在工作时发出产生的各种干扰。如某些电气设备在工作时发出的电磁干扰，自然界的雷电干扰，以及电子元器的电磁干扰，自然界的雷电干扰，以及电子元器件中由于电子等的无规则运动而产生的起伏噪声件中由于电子等的无
38、规则运动而产生的起伏噪声等。各种噪声按其不同的发生机制而有不同的特等。各种噪声按其不同的发生机制而有不同的特性。这里主要讨论测试系统中最常见的噪声信号性。这里主要讨论测试系统中最常见的噪声信号即白噪声和有色噪声。即白噪声和有色噪声。v最典型的白噪声是电阻热噪声，它是由导电媒质最典型的白噪声是电阻热噪声，它是由导电媒质中的电子热运动引起的起伏电压，一个电阻就是中的电子热运动引起的起伏电压，一个电阻就是一个噪声源。在一个噪声源。在2020世纪世纪2020年代时，人们就从理论年代时，人们就从理论和实验求得温度为和实验求得温度为T T，阻值为，阻值为R R的电阻的噪声起伏的电阻的噪声起伏电压均方值为电
39、压均方值为五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号v其中其中k k为玻尔兹曼常数，为玻尔兹曼常数，B B代表测量设备的带宽，单代表测量设备的带宽，单位为位为HzHz。由于热噪声是平稳随机过程，上式中。由于热噪声是平稳随机过程，上式中 的即表示此有限频带的即表示此有限频带B B内的噪声功率，因此相内的噪声功率，因此相应的功率谱密度为应的功率谱密度为v此式表明，热噪声的功率谱密度仅由温度此式表明，热噪声的功率谱密度仅由温度T T和电阻和电阻R R决定，而不随频率变化。这种频谱为一常数的性质，决定，而不随频率变化。这种频谱为一常数的性质，可以到频率高达可以到频率高达 HzHz量级还能成立。量
40、级还能成立。kTRBmnx42)(2)(nxmkTRBkTRBS224)(五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号v理想的白噪声是指对所有的频率其功率谱密度都理想的白噪声是指对所有的频率其功率谱密度都是一非零常数的随机过程，即是一非零常数的随机过程，即v其自相关函数为其自相关函数为0)(SSwn（8-74）)(2)(21)(00SdeSdeSRjjwnx（8-75）五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号v白噪声信号的自相关函数和功率谱密度如图白噪声信号的自相关函数和功率谱密度如图8-28-2所所示。白噪声在示。白噪声在=0=0时，其自相关函数为无穷大，时，其自相关函数为无穷大
41、，在在00时，时，Rx(Rx()=0)=0，即表明白噪声，即表明白噪声x(tx(t)在在t1t2t1t2（t2=t1+t2=t1+）时，）时，x(t1)x(t1)与与x(t2)x(t2)是不相关是不相关的。白噪声这一名称是由白色光谱包含了所有可的。白噪声这一名称是由白色光谱包含了所有可见光频率分量这个概念借用过来的。实际上这种见光频率分量这个概念借用过来的。实际上这种理想白噪声是不可能得到的，一般将功率谱密度理想白噪声是不可能得到的，一般将功率谱密度在比实际考虑的有用频带宽得多的范围内均匀分在比实际考虑的有用频带宽得多的范围内均匀分布的噪声，近似为白噪声。布的噪声，近似为白噪声。S0 O Rx
42、()S0 O Swn()图图8-2 8-2 白噪声信号的自相关函数和功率谱密度白噪声信号的自相关函数和功率谱密度五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号v如果噪声不是白噪声，功率谱为有限带宽，通常如果噪声不是白噪声，功率谱为有限带宽，通常称为有色噪声，有色噪声的情况有多种多类，若称为有色噪声，有色噪声的情况有多种多类，若设某类有色噪声的自相关函数为设某类有色噪声的自相关函数为v对对Rn(Rn()作傅里叶变换，可得该有色噪声的功率作傅里叶变换，可得该有色噪声的功率谱为谱为00()2nRe 20211)(nS五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号v该有色噪声的功率谱和自相关函数如
43、图该有色噪声的功率谱和自相关函数如图8-38-3所示。所示。v利用相关函数的特性从背景噪声中提取周期信号。利用相关函数的特性从背景噪声中提取周期信号。如一个周期信号，其相关函数也是周期的，而白如一个周期信号，其相关函数也是周期的，而白噪声的自相关函数是非周期的，记为噪声的自相关函数是非周期的，记为Rwn()=k(Rwn()=k()，即当，即当00时，时，Rwn(Rwn()=0)=0。图图8-38-3有色噪声的功率谱和自相关函数有色噪声的功率谱和自相关函数五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号v设信号是由周期信号设信号是由周期信号p(tp(t)和白噪声和白噪声n(tn(t)所构成，所构
44、成，为为v且信号且信号p(tp(t)和白噪声和白噪声n(tn(t)相互统计独立，从而有相互统计独立，从而有v当当00时，则有时，则有v所以，可以通过测算所以，可以通过测算Rx(Rx()，就能确定周期信号，就能确定周期信号p(tp(t)是否存在。是否存在。)()()(tntptx（8-76）)()()()()(kRRRRpwnpx)()(pxRR五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号v若信号若信号 是随机相位正弦波，则是随机相位正弦波，则其自相关函数为其自相关函数为v若信号若信号p(tp(t)和有色噪声和有色噪声n(tn(t)相互统计独立，则相互统计独立，则)sin()(tAtpcos
45、21)(2ARp00221cos21)()()(eARRR五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号v上式运算所得的自相关函数表示成如图上式运算所得的自相关函数表示成如图8-48-4所示。所示。由图和上式可知，由图和上式可知，增加到足够大时，信号增加到足够大时，信号x(tx(t)的自相关函数只取决于周期信号的自相关函数只取决于周期信号p(tp(t)的自相关函的自相关函数，可以利用这一结果的特征判断周期信号是否数，可以利用这一结果的特征判断周期信号是否存在。存在。v在在MATLABMATLAB信号处理工具箱中提供了计算随机信号信号处理工具箱中提供了计算随机信号自相关和互相关函数的函数自相关
46、和互相关函数的函数XCORRXCORR（），其具体调（），其具体调用格式可参见本书附录。用格式可参见本书附录。图图8-4 8-4 从有色噪声中提取周期信号从有色噪声中提取周期信号五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号v例例8-4 8-4 用用MATLABMATLAB中的函数中的函数XCORRXCORR求出下列两个周期求出下列两个周期信号的互相关函数，式中的信号的互相关函数，式中的f=10Hzf=10Hz。v解解:计算两个周期信号互相关函数的计算两个周期信号互相关函数的MATLABMATLAB程序程序vN=500;N=500;vFs=500;Fs=500;vpi=3.1416;pi=3
47、.1416;vLag=200;Lag=200;)2/2sin(2)(,)2sin()(五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号vn=0:N-1;n=0:N-1;vt=n/Fs;t=n/Fs;vx=sin(2x=sin(2*pipi*1010*t);t);vy=2y=2*sin(2sin(2*pipi*1010*t+pi/2);t+pi/2);vc,lags=xcorr(x,y,Lag,unbiasedc,lags=xcorr(x,y,Lag,unbiased););vsubplot(3,1,1),plot(t,x,k);subplot(3,1,1),plot(t,x,k);vxlabe
48、l(txlabel(t););vylabel(x(tylabel(x(t););vgrid;grid;vsubplot(3,1,2),plot(t,y,k);subplot(3,1,2),plot(t,y,k);五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号vxlabel(txlabel(t););vylabel(y(tylabel(y(t););vgrid;grid;vsubplot(3,1,3);subplot(3,1,3);vplot(lags/Fs,c,kplot(lags/Fs,c,k););vxlabel(txlabel(t););vylabel(Rxy(tylabel(Rxy(
49、t););vgrid;grid;运算结果如图运算结果如图8-58-5所示。所示。五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号图图8-5 8-5 互相关函数的计算结果互相关函数的计算结果五、白噪声和有色噪声信号五、白噪声和有色噪声信号v由图由图8-58-5可见，可见，也是周期信号，周期同样是也是周期信号，周期同样是10 Hz10 Hz，幅值为，幅值为1 12 20.5=10.5=1，初始相角为，初始相角为9090。从例从例8-48-4中可以得到互相关函数的一个重要性质：中可以得到互相关函数的一个重要性质：两个均值为零、具有相同频率的周期信号，其互两个均值为零、具有相同频率的周期信号，其互相关
50、函数保留原信号频率、相位差和幅值的信息。相关函数保留原信号频率、相位差和幅值的信息。v白噪声在随机信号处理技术中的作用非常重要，白噪声在随机信号处理技术中的作用非常重要，在下一节中，将介绍白噪声在系统传递函数辨识在下一节中，将介绍白噪声在系统传递函数辨识中的应用中的应用。)(xyR第三节第三节 随机信号通过线性系统的分析随机信号通过线性系统的分析v当一个线性稳定系统在连续时间随机信号作用下，当一个线性稳定系统在连续时间随机信号作用下，其输出也为随机信号。由于随机信号的随机性，其输出也为随机信号。由于随机信号的随机性，因而只能根据输入随机信号的统计特征和系统的因而只能根据输入随机信号的统计特征和
