1、江西省上饶市“山江湖”协作体2019-2020学年高二数学上学期第一次联考试题 文（含解析）第卷一、选择题1.如果，那么下列各式一定成立是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用不等式的基本性质进行判断和证明即可，A,B,D三项均可通过简单赋值法进行排除，也可通过不等式性质进行排除【详解】，即，故C正确，A，D不正确，当时，故B不一定正确，故选：C【点睛】本题考查不等式的基本性质的理解与判断，处理此类题型可通过简单的赋值法排除一些干扰项，也可利用不等式的基本性质进行严格证明2.下列结论不正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】
2、根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A正确.对于B选项，若，则，故B选项错误.对于C、D选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C、D正确.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.3.不等式的解集是：A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把不等式转化为不等式，即可求解，得到答案【详解】由题意，不等式，等价于，解得，即不等式的解集为，故选C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着
3、重考查了推理与运算能力，属于基础题4.盐水溶液的浓度公式为，向盐水中再加入克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】向盐水溶液中加入克盐，得出加入后的盐水浓度为，根据盐水更咸，说明盐的浓度更大，由此得出不等关系，可得出正确选项.【详解】向盐水溶液中加入克盐，盐水的浓度变为，此时浓度变大，盐水更咸，即，故选：A.【点睛】本题考查不等关系的确定，解题时要将题中的文字信息转化为数学语言，考查转化思想，属于基础题.5.在平面直角坐标系中，不等式组 为正常数)表示的平面区域的面积是4，则的最大值为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 0
4、【答案】A【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，再分析不等式组（a为常数）表示的平面区域面积是4，我们可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出实数a的值，最后利用几何意义求出最大值【详解】解：由题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示解得三角形的三个顶点为A（0，0），B（a，a），C（a，a）所以SABC2aa4，解得a2或a2（舍去）在ABC中满足zx-3y的最大值是点B（2，-2），代入得最大值等于8故选：A【点睛】本题考查线性规划求最值的问题，解题的关键先根据可行域的面积计算a的值，属于基础题.6.在 表示的平面区域内的一个点是（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】把 ，
5、 ， ，代入，可知 使得不等式成立，在表示的平面区域内的一个点是故选A7.函数的最小值为 （ ）A. 3B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】降次-配凑-均值不等式【详解】，则，当时取“=”，所以正确选项为A。【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题8.三边，满足，则三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】【分析】由基本不等式得出，将三个不等式相加得出，由等号成立的条件可判断出的形状。【详解】为三边，由基本不等式可得，将上述三个不等式相加得，当且仅当时取等号，所以，是等边三角形，故选：C。【点睛】本题考
6、查三角形形状的判断，考查基本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力，属于中等题。9.已知函数f(x)x4，x(0,4)，当xa时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)a|xb|的图象为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式可得到a2，b1，得到g(x)2|x1|，该函数图象可看做y2|x|的图像向左平移1个单位得到，从而求得结果.【详解】因为x(0,4)，所以x11，所以f(x)x4x15251，当且仅当x2时取等号，此时函数有最小值1，所以a2，b1，此时g(x)2|x1|此函数图象可以看作由函数y的图象向左平移1个单位
7、得到结合指数函数的图象及选项可知A正确故选A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值和指数函数的图像和性质，利用基本不等式求出a2，b1是本题的关键，考查学生的逻辑推理能力和综合分析能力，属中档题.10.设正项等差数列的前n项和为，若，则的最小值为A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用等差数列的求和公式得出，再利用等差数列的基本性质得出，再将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】由等差数列的前项和公式可得，所以，由等差数列的基本性质可得，所以，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：D.【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应
8、用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。11.已知向量，若则的最小值为A. 12B. C. 15D. 【答案】D【解析】【分析】因为，所以3a+2b=1,再利用基本不等式求最小值.【详解】因为，所以3a+2b=1,所以.当且仅当时取到最小值.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示和利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12.若正数满足，则的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】先根据已知得出符号及的值，再根据基本不等式求解.【详解】 ； 当且仅当，即时，等号成立
9、.故选B.【点睛】本题考查基本不等式，注意基本不等式成立的条件“一正二定三相等”.第II卷二、填空题13.中,三边所对的角分别为,若,则角_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.【详解】由得，由于，所以.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.14.下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_即即即 可证得【答案】【解析】【分析】由于，所以所以即.【详解】由于，所以即，所以第步推理错误.【点睛】本题考查不等式8条基本性质，其中出问题的是不等式两边同时乘以一个负数，不等号要改变方向.15.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围
10、是_.【答案】.【解析】【分析】在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.【详解】，且，在等式两边同时除以得，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，由于不等式恒成立，则，即，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.16.设关于x，y的不等式组表示的平面区域为记区域上的点与点距离的最小值为，若，则的取值范围是_；【答案
11、】；【解析】【分析】根据不等式组表示的平面区域，又直线过点，因此可对分类讨论，以求得，当时，是到直线的距离，在其他情况下，表示与可行域内顶点间的距离分别计算验证【详解】如图，区域表示在第一象限（含轴的正半轴），直线过点，表示直线的上方，当时，满足题意，当时，直线与轴正半轴交于点，当时，当时，满足题意，当时，不满足题意，综上的取值范围是故答案为【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，解题关键是在求时要分类讨论是直接求两点间的距离还是求点到直线的距离，这要区分开来三、解答题17.已知.(1)求证： ；(2)若，且，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1) 已知直接对使
12、用均值不等式；(2)不等式分母为，通过降次构造，再使用均值不等式。【详解】证明：(1)；(2)，当且仅当或时取“=”.【点睛】“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式。18.已知关于的函数.（）当时，求不等式的解集；（）若对任意的恒成立，求实数的最大值.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）由时，根据，利用一元二次不等式的解法，即可求解；（）由对任意的恒成立，得到，利用基本不等式求得最小值，即可求解.【详解】（）由题意，当时，函数，由，即，解得或，所以不等式的解集为.（）因为对任意的恒成立，即，又由，当且仅当时，即时，取得最小值，所以，即实数的最大值为.【点睛】本题主
13、要考查了一元二次不等式的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及合理利用基本不等式求得最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.在中，且的边a，b，c所对的角分别为A，B，C.（1）求的值；（2）若，试求周长的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角公式化简得到答案.（2）利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到，得到答案.【详解】（1）原式 （2）， 时等号成立.周长的最大值为【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，周长的最大值，意在考查学生解决问题的能力.20.已知数列的前项的和，满足，且.（1）求数列的通项公
14、式；（2）若数列满足：，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据得到，再得到，两式作差，判断出数列为等差数列，进而可得出结果；（2）根据（1）的结果，利用错位相减法，即可求出结果.【详解】解：（1）由条件得：, 两式相减得：，则有.-得：，所以数列等差数列，当，即 即.（2），两式相减得【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及错位相减法求和，熟记等差数列的通项公式、求和公式，以及错位相减法的一般步骤即可，属于常考题型.21.如图，三条直线型公路，在点处交汇，其中与、与的夹角都为，在公路上取一点，且km，过铺设一直线型的管道，其中点在上，点在上（，足够长），设km
15、，km（1）求出，的关系式；（2）试确定，的位置，使得公路段与段的长度之和最小【答案】（1）（2）当时，公路段与段的总长度最小【解析】【分析】（1）（法一）观察图形可得，由此根据三角形的面积公式，建立方程，化简即可得到的关系式；（法二）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，找到各点坐标，根据三点共线，即可得到结论；（2）运用“乘1法”，利用基本不等式，即可求得最值，得到答案【详解】（1）（法一）由图形可知，所以，即 （法二）以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，由，三点共线得（2）由（1）可知，则（），当且仅当（km）时取等号答：当时，公路段与段的总长度最小为8.【点
16、睛】本题主要考查了三角形的面积公式应用，以及利用基本不等式求最值，着重考查了推理运算能力，属于基础题22.已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）1【解析】【分析】（1）根据韦达定理即可。（2）分别对三种情况进行讨论。（3）带入，分别对时三种情况讨论。【详解】（1）解集为可得1，2是方程的两根，则，（2）时，时，时，（3），为上的奇函数当时，当时，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，在时，取得最大值，即；当时，则函数在上单调递减，在上单调递减，且时，在时，取得最小值，即；对于任意的都有则等价于或（）则最小值为1【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式，以及绝对值不等式，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论。本题属于难题。
