1、 现代数控轨迹插补原理与控制的方法现代数控轨迹插补原理与控制的方法 轨迹插补是数控系统最重要的核心技术。轨迹插补只是一种将轨迹插补是数控系统最重要的核心技术。轨迹插补只是一种将基本数控曲线分解为数控机床运动所需的最小运动量基本数控曲线分解为数控机床运动所需的最小运动量的方法，的方法，沿给沿给定的曲线进行大量坐标点的密化，定的曲线进行大量坐标点的密化，保证高精度，需在保证高精度，需在极短的时间极短的时间、实时完成实时完成，具有很大的难度。，具有很大的难度。鉴于轨迹插补的重要性，学术和工程技术界对轨迹插补的研究鉴于轨迹插补的重要性，学术和工程技术界对轨迹插补的研究一直没有停止一直没有停止,从经典的
2、基准脉冲插补原理的逐点比较法到最新的数从经典的基准脉冲插补原理的逐点比较法到最新的数据采样插补原理的曲面直接插补方法层出不穷据采样插补原理的曲面直接插补方法层出不穷。3.1 3.1 数控轨迹插补原理的分类数控轨迹插补原理的分类 数控轨迹插补原理分为二大类：数控轨迹插补原理分为二大类：基准脉冲插补和数据采样插补。现代采用数据采样插补原理基准脉冲插补和数据采样插补。现代采用数据采样插补原理3.1.1 3.1.1 基准脉冲插补基准脉冲插补 基准脉冲插补也叫脉冲增量插补基准脉冲插补也叫脉冲增量插补,根据一定的算法根据一定的算法输出是脉冲输出是脉冲，而且，每次只产生一个而且，每次只产生一个单位的行程脉冲
3、单位的行程脉冲 脉冲方式脉冲方式:在插补模块与驱动装置之间以脉冲形式传递指令信息。在插补模块与驱动装置之间以脉冲形式传递指令信息。脉冲个数代表要求的位移量，脉冲频率表示希望的位移速度。脉冲个数代表要求的位移量，脉冲频率表示希望的位移速度。基准脉冲插补算法简单，只要加法和移位就可以完成插补，可基准脉冲插补算法简单，只要加法和移位就可以完成插补，可用硬件实现，以提高插补速度。也可以用软件实现。用硬件实现，以提高插补速度。也可以用软件实现。基准脉冲插补适合中等精度（如基准脉冲插补适合中等精度（如0.01mm0.01mm）和中等速度（如）和中等速度（如1 13 3米米/min/min）,执行元件是步进
4、电机、步进脉冲马达执行元件是步进电机、步进脉冲马达。3.1.2 3.1.2 数据采样插补数据采样插补 数据采样插补也叫数字增量插补，它是使用数据采样插补也叫数字增量插补，它是使用一系列首尾相接的一系列首尾相接的微小直线段来逼近给定的曲线轮廓。微小直线段来逼近给定的曲线轮廓。直线段是按加工时间来进行分割直线段是按加工时间来进行分割的，故也称为的，故也称为“时间分割法时间分割法”。数字方式数字方式：插补输出一个数字量，指插补模块与驱动装置间以插补输出一个数字量，指插补模块与驱动装置间以数字形式传递指令信息数字形式传递指令信息 执行件为交流电机的闭环或半闭环数控系统，并能达到较高的执行件为交流电机的
5、闭环或半闭环数控系统，并能达到较高的进给速度和控制精度进给速度和控制精度。数字方式可用于二种系统中数字方式可用于二种系统中，一种是模拟伺服驱动的数控系统，一种是模拟伺服驱动的数控系统，另一种是全数字伺服驱动的数控系统。另一种是全数字伺服驱动的数控系统。第一种系统中第一种系统中：模拟伺服单元仅具有电流环和速度环模拟伺服单元仅具有电流环和速度环，位置控制需由数控装置完成，这样数控装置中还需包括位置控位置控制需由数控装置完成，这样数控装置中还需包括位置控制器和位置反馈接口，由此构成位置闭环。制器和位置反馈接口，由此构成位置闭环。插补模块和位置控制模块间就需以数字方式传递指令信息。插补模块和位置控制模
6、块间就需以数字方式传递指令信息。第二种系统中第二种系统中：全数字伺服系统本身已带有位置环，不需要数控装置中再设置全数字伺服系统本身已带有位置环，不需要数控装置中再设置位置控制器，位置控制器，由于全数字伺服系统需要数字通讯接口、实时网络等数字通讯由于全数字伺服系统需要数字通讯接口、实时网络等数字通讯手段接受数字化的通讯信息，因此要将插补指令以数字方式传送给手段接受数字化的通讯信息，因此要将插补指令以数字方式传送给这种数字伺服系统。这种数字伺服系统。3.2 3.2 现代数控系统轨迹插补方法现代数控系统轨迹插补方法 随着高速、高精、多坐标复杂曲线曲面加工的发展，现代数控随着高速、高精、多坐标复杂曲线
7、曲面加工的发展，现代数控系统系统轨迹插补在数据采样插补原理的基础上产生了许多新的方法轨迹插补在数据采样插补原理的基础上产生了许多新的方法。比较典型的有比较典型的有高速采样插补高速采样插补、样条曲线插补样条曲线插补、自由曲面插补自由曲面插补等。有等。有些数控系统还派生出了许多其它插补方法。些数控系统还派生出了许多其它插补方法。直线插补、圆弧插补直线插补、圆弧插补 （平面、空间）（平面、空间）螺纹加工、螺旋线插补、正弦线插补螺纹加工、螺旋线插补、正弦线插补 指数曲线插补指数曲线插补 渐开线插补渐开线插补 样条插补样条插补 FANUC系统：系统：非均匀有理非均匀有理B样条样条(NURBS)控制点（组
8、成控制多边性）控制点（组成控制多边性）节点矢量节点矢量 权重权重 光顺插补光顺插补-过型值点的过型值点的样条曲线样条曲线 SIEMENS系统：系统：A样条样条 B样条样条 C样条样条 高速插补高速插补 纳米插补纳米插补 曲面直接插补曲面直接插补3.2.13.2.1 高速采样插补高速采样插补方法方法 1.1.高速（高频）采样插补的优越性高速（高频）采样插补的优越性 数据采样插补的基本思想是在每个插补周期用微小直线段逼近数据采样插补的基本思想是在每个插补周期用微小直线段逼近被插补曲线，因此不可避免地会产生被插补曲线，因此不可避免地会产生插补误差插补误差，见图，见图2-12-1：图图3-1 3-1
9、插补误差插补误差 =CD=OD OC =CD=OD OC （3-13-1）将将 OD=OD=OC OC =(OA=(OA2 2-AC-AC2 2)1/21/2 AC=AC=L/L/2 2 ALOB BC D其中其中-插补误差（最大弓高误差）插补误差（最大弓高误差）-插补点处被插补曲线曲率半径插补点处被插补曲线曲率半径 L-L-插补直线段长度插补直线段长度 由式（由式（3-23-2）知，）知，插补直线段越短，插补精度越高插补直线段越短，插补精度越高。然而，在进。然而，在进给速度一定的条件下，给速度一定的条件下，要得到足够短的插补直线段，必须具有很短要得到足够短的插补直线段，必须具有很短的插补周期
10、，即很高的插补频率的插补周期，即很高的插补频率。现在一般的数控系统由于受软硬。现在一般的数控系统由于受软硬件条件的限制大都采用件条件的限制大都采用低频插补低频插补方法，方法，插补频率一般为几百赫兹插补频率一般为几百赫兹，插补采样周期为数毫秒插补采样周期为数毫秒。低频插补存在下面问题：低频插补存在下面问题：被加工曲线曲面轮廓的曲率半径越小，插补误差越大。被加工曲线曲面轮廓的曲率半径越小，插补误差越大。限制了进给速度的提高。限制了进给速度的提高。F F=L/T L/T=L Lf f 2211L （3-23-2）代入（代入（3-13-1）得）得 低频插补时在一个插补周期产生的直线段比较长，一般还需要
11、低频插补时在一个插补周期产生的直线段比较长，一般还需要进一步进行精插补，才能保证伺服执行的正确性（平稳性）。这种进一步进行精插补，才能保证伺服执行的正确性（平稳性）。这种二级插补将增加数控系统软硬件的复杂性，不仅增加了系统成本，二级插补将增加数控系统软硬件的复杂性，不仅增加了系统成本，而且对系统的可靠性造成不利的影响。而且对系统的可靠性造成不利的影响。当当精插补采用脉冲增量插补精插补采用脉冲增量插补方法时，则由于受插补速度和脉冲方法时，则由于受插补速度和脉冲传递速度的限制，还要影响进给速度的提高。传递速度的限制，还要影响进给速度的提高。可见，低频插补不能满足高速、高精加工的要求。可见，低频插补
12、不能满足高速、高精加工的要求。为了解决常规低速采样插补方法存在的问题，实现高速、高精为了解决常规低速采样插补方法存在的问题，实现高速、高精加工，现代数控系采用高速采样插补加工，现代数控系采用高速采样插补 提高高速采样插补的性能具体措施如下提高高速采样插补的性能具体措施如下：（1 1）大幅度提高插补频率）大幅度提高插补频率 高速高精度插补的关键因素是采用高频插补，为既保证轨迹控高速高精度插补的关键因素是采用高频插补，为既保证轨迹控制精度，又达到高的进给速度，采用提高插补频率的办法。见图制精度，又达到高的进给速度，采用提高插补频率的办法。见图（3-13-1），），ABAB为一个插补周期的插补直线段
13、长度，即为一个插补周期的插补直线段长度，即L L。而。而L L=FTFT，F F 为进给速度，为进给速度，T T 为插补采样周期，其倒数为插补频率。由此可推为插补采样周期，其倒数为插补频率。由此可推出，插补频率公式为：出，插补频率公式为：24601000 Ff24242222/1222FfLLLFTf24601000 Ff（3-33-3）式中式中 f-f-插补频率插补频率(1/s)(1/s)F-F-进给速度进给速度(m/min)(m/min)-插补误差插补误差(mm)(mm)-曲率半径曲率半径(mm)(mm)由式（由式（3-33-3）可知，如果插补允许误差）可知，如果插补允许误差=0.0001
14、mm=0.0001mm，当以高速，当以高速 F F30m/min 30m/min 加工小曲率半径（加工小曲率半径（15mm15mm）轮廓时，则插补频）轮廓时，则插补频 率率f f 高达数千赫兹。为此，开发新型数控系统时，将插补频率提高达数千赫兹。为此，开发新型数控系统时，将插补频率提 高到高到10000Hz，即插补周期为，即插补周期为0.1ms。这一数值是普通数控系。这一数值是普通数控系统统 的的2040倍倍。（2 2）有实效的提高系统分辨率）有实效的提高系统分辨率 数控系统的分辨率直接影响数控机床的加工精度数控系统的分辨率直接影响数控机床的加工精度，一般来说，一般来说，分辨率应比所控制数控机
15、床的加工精度高一个数量级分辨率应比所控制数控机床的加工精度高一个数量级。如数控机。如数控机 床的床的加工精度为微米级加工精度为微米级，则其数控系统的，则其数控系统的分辨率必须为分辨率必须为0.10.1m m。插补周期为数毫秒的常规数控系统，只提高分辨率是无用的插补周期为数毫秒的常规数控系统，只提高分辨率是无用的如果将分辨率提高到如果将分辨率提高到0.10.1m m，因为其插补误差大大超过，因为其插补误差大大超过0.10.1m m，不，不符合实际，也无法取得实效。符合实际，也无法取得实效。（3 3）粗精插补合一）粗精插补合一 低频插补时需要进行二级插补：粗插补和精插补。低频插补时需要进行二级插补
16、：粗插补和精插补。高频插补时采用高频插补时采用“插补和位控同步插补和位控同步”和和“直接数据传递直接数据传递”技术技术，从而实现粗精插补合一。从而实现粗精插补合一。插补和位控同步是：插补和位控同步是：插补采样频率达到位置控制环的采样频率，插补采样频率达到位置控制环的采样频率，并使插补与位控的动作保持严格的同步关系。高性能位置环的采样并使插补与位控的动作保持严格的同步关系。高性能位置环的采样周期一般为零点几毫秒，而高速插补采样周期为周期一般为零点几毫秒，而高速插补采样周期为0.1ms0.1ms，在速度上已，在速度上已达到位置控制环采样的水平，使插补与位置环采样频率一致。再进达到位置控制环采样的水
17、平，使插补与位置环采样频率一致。再进行软硬件合理设计，即可实现高速插补和位置控制的同步。行软硬件合理设计，即可实现高速插补和位置控制的同步。直接数据传递是直接数据传递是：插补模块与位置控制模块间的信息传递可以：插补模块与位置控制模块间的信息传递可以直接通过数字量进行，而不采用常规的脉冲量传递。这样可以省掉直接通过数字量进行，而不采用常规的脉冲量传递。这样可以省掉插补模块与数字伺服系统之间的数字插补模块与数字伺服系统之间的数字/脉冲转换环节（插补侧）和脉脉冲转换环节（插补侧）和脉冲冲/数字转换环节（伺服侧），从而消除信息传递瓶颈，提高信息传数字转换环节（伺服侧），从而消除信息传递瓶颈，提高信息传
18、递速度。递速度。由于高速同步数据传递，插补直线段长度已经很短，插补输出由于高速同步数据传递，插补直线段长度已经很短，插补输出数据周期短到位置环能分辨的最小值，不需要对插补输出数据细分。数据周期短到位置环能分辨的最小值，不需要对插补输出数据细分。将独立的精插补融入了高速采样插补中，实现了粗精插补合一。将独立的精插补融入了高速采样插补中，实现了粗精插补合一。（4 4）软硬件结合发挥综合优势）软硬件结合发挥综合优势 实现高速采样插补（实现高速采样插补（0.10.1m m分辨率，分辨率，0.1ms0.1ms周期）条件周期）条件:高速高性能微处理器：如高速高性能微处理器：如Pentiun DPentiu
19、n D、Athlon64Athlon64等以上等以上CPUCPU芯片芯片 通过高效算法和直接操纵通过高效算法和直接操纵CPUCPU核心硬件的软件设计技术核心硬件的软件设计技术2 2高速高精插补的硬件环境高速高精插补的硬件环境 常规插补的硬件方案常规插补的硬件方案,如图如图3-23-2所示所示，预处理和粗插补共用一个预处理和粗插补共用一个CPUCPU，精插补单用一个，精插补单用一个CPUCPU（或（或DSPDSP）。粗、精插补之间通过高速接口或双端口粗、精插补之间通过高速接口或双端口RAMRAM来传来传 递信息递信息精精插插补补接接口口预处预处理理粗插粗插补补位位置置控控制制伺服伺服驱动驱动机机
20、床床零件程序零件程序图图3-2 3-2 常规插补的硬件方案常规插补的硬件方案 在当前数字式交流伺服系统多为脉冲控制的情况下，往往要求在当前数字式交流伺服系统多为脉冲控制的情况下，往往要求精插补的输出是各坐标运动的指令脉冲串，在精插补精插补的输出是各坐标运动的指令脉冲串，在精插补CPUCPU和位置控制和位置控制CPUCPU间需专用接口来传递信息。间需专用接口来传递信息。常规插补的硬件方案存在的问题常规插补的硬件方案存在的问题：所用所用CPUCPU的数量多，系统硬件规模大，软件设计复杂，的数量多，系统硬件规模大，软件设计复杂，不仅提高了系统成本，而且可靠性不易得到保证。不仅提高了系统成本，而且可靠
21、性不易得到保证。在精插补与位置控制模块间通过非编码方式直接传递指令脉冲在精插补与位置控制模块间通过非编码方式直接传递指令脉冲信号，增加了查错纠错的难度，不易保证信息传递的高可靠性，从信号，增加了查错纠错的难度，不易保证信息传递的高可靠性，从而限制了进给速度的提高。而限制了进给速度的提高。新一代高速高精插补的硬件方案，见图新一代高速高精插补的硬件方案，见图3-33-3。位置控制位置控制预处理预处理高速插补高速插补伺服伺服驱动驱动机床机床零件程序零件程序图图3-3 3-3 高速高精插补的硬件方案高速高精插补的硬件方案 该方案的特该方案的特点点：预处理、高速插补和位置控制三位一体，：预处理、高速插补
22、和位置控制三位一体，通过实时操作系统支持下的多线程机制共同运行于同一通过实时操作系统支持下的多线程机制共同运行于同一CPUCPU的硬件平的硬件平台上。台上。优越性优越性：省去了各模块间的硬件接口，消除了信息传得的瓶颈，：省去了各模块间的硬件接口，消除了信息传得的瓶颈，缩小了硬件规模，提高了系统的可靠性。缩小了硬件规模，提高了系统的可靠性。实现实现:要求有高水平的硬件基础，控制核心中央处理器应采用多要求有高水平的硬件基础，控制核心中央处理器应采用多核心、高主频、高性能的新型核心、高主频、高性能的新型CPU。在系统构成上，应选用高质量、。在系统构成上，应选用高质量、高可靠高可靠All-in-one
23、All-in-one主板、高抗干扰接口、高抗干扰的电源等。主板、高抗干扰接口、高抗干扰的电源等。3 3插补算法与软件设计插补算法与软件设计（1 1）高速高精插补算法的特点）高速高精插补算法的特点 常规采样插补算法特点常规采样插补算法特点:广泛使用增量式递推算法，即当前点的坐标值是以前一点坐标广泛使用增量式递推算法，即当前点的坐标值是以前一点坐标 值为基础计算出来的。值为基础计算出来的。该算法的优点是每步计算量小，计算速度快；该算法的优点是每步计算量小，计算速度快；缺点是前一步的计算误差将通过递推过程传递到后一步，造成缺点是前一步的计算误差将通过递推过程传递到后一步，造成 误差积累。误差积累。这
24、种情况在低频插补时由于插补计算的总步数不太多，对插补这种情况在低频插补时由于插补计算的总步数不太多，对插补精度影响不大。但在高速高精插补时，由于每一插补周期产生的插精度影响不大。但在高速高精插补时，由于每一插补周期产生的插补直线段很短，使之直线段的总数量急剧增加，采用增量递推算法补直线段很短，使之直线段的总数量急剧增加，采用增量递推算法使误差积累更严重，对插补精度将造成不可忽视的影响。使误差积累更严重，对插补精度将造成不可忽视的影响。（2 2）参数化插补）参数化插补 高速高精插补时高速高精插补时,采用采用参数化的绝对值算法参数化的绝对值算法。参数化算法参数化算法的特点是，不涉及函数计算，只需进
25、行为数不多的的特点是，不涉及函数计算，只需进行为数不多的几次加减乘除计算即可求得被插补轨迹上运动点的坐标值，有利于几次加减乘除计算即可求得被插补轨迹上运动点的坐标值，有利于高速高精的生成插补轨迹。高速高精的生成插补轨迹。1 1）轨迹计算公式）轨迹计算公式 参数化插补中轨迹计算公式的一般形式为：参数化插补中轨迹计算公式的一般形式为：x x=1 1（u u）y y=2 2（u u）（3-43-4）z z=3（u u）式中式中 u u-参变量，参变量，u u 0,10,1。介绍一下相关的数学知识介绍一下相关的数学知识 形状数学描述形状数学描述微分几何微分几何曲线和曲面微分性质问题，用矢曲线和曲面微分
26、性质问题，用矢量、量、矢函数描述。矢函数描述。CAGD-计算机辅助几计算机辅助几何何设计，关于形状描述。也用矢设计，关于形状描述。也用矢量量矢函数描述。矢函数描述。形状描述中的矢量形状描述中的矢量：不必考虑方向和模长。：不必考虑方向和模长。CAGDCAGD中的矢量、点与直线中的矢量、点与直线矢量矢量-（一般：方向与长度）（一般：方向与长度）CAGD中中依其始端是否位于原点，分为依其始端是否位于原点，分为 绝对、相对矢量。矢量由几个坐标分量组成，常用行阵、列阵表绝对、相对矢量。矢量由几个坐标分量组成，常用行阵、列阵表 示矢量。示矢量。绝对矢量绝对矢量-表示定义形状的点或形状上的点，又称位置矢量，
27、一个点对应空间一个表示定义形状的点或形状上的点，又称位置矢量，一个点对应空间一个 位置，由位置，由绝对矢量的矢端（末端）表示，在图形中，将矢量记号写绝对矢量的矢端（末端）表示，在图形中，将矢量记号写 于点的附于点的附 近，以标记该点，不再划出矢杆和箭头，如近，以标记该点，不再划出矢杆和箭头，如a，b，c。相对矢量相对矢量-表示点与点间的相互位置关系（如边矢量，一阶导矢）和矢量与矢量间表示点与点间的相互位置关系（如边矢量，一阶导矢）和矢量与矢量间 相互关系的矢量（高阶导矢）。相互关系的矢量（高阶导矢）。相对矢量相对矢量又称又称自由矢量，可在空间内任意平移自由矢量，可在空间内任意平移 如如c=b-
28、a表示表示，a 到到b 的矢量的矢量。固定矢量固定矢量（常矢量）（常矢量）-方向与长度都不变的矢量方向与长度都不变的矢量变矢量变矢量-方向与长度之一、或二者都变化的矢量方向与长度之一、或二者都变化的矢量矢函数矢函数变矢量随着某个变化的标量即变量或参数而变化，则称所指变矢量随着某个变化的标量即变量或参数而变化，则称所指 变矢量为该变量或参数的矢函数变矢量为该变量或参数的矢函数-即即参数矢函数参数矢函数 参数矢函数的直线表示：参数矢函数的直线表示：常用二点间的线性插值表示。常用二点间的线性插值表示。已知给定二点已知给定二点P0 与与P1（可以是二维或三维），其连线可以看作动点（可以是二维或三维），
29、其连线可以看作动点P从首点从首点P0 到末点到末点P1扫出的轨迹。动点扫出的轨迹。动点P随着某个参数随着某个参数u在规范参数域在规范参数域u 0，1内按线性关系运动，用绝对矢量表示，内按线性关系运动，用绝对矢量表示，有如下关系有如下关系：其线性关系如图，即其线性关系如图，即用相对矢量（用相对矢量（p-p0）与相对矢量（）与相对矢量（p1-p0）关系表示，有如下关系：）关系表示，有如下关系：1,0uupp，01uu：(1-u)p0p1P（u）uppuupp101010ppupp上面二式整理都能得出下式直线方程上面二式整理都能得出下式直线方程 010ppupup进行理论分析时，人们偏爱使用整理为下
30、式的形式：进行理论分析时，人们偏爱使用整理为下式的形式：举例：举例：给定空间二点给定空间二点 p0 1 2 4 ,p1 9 6 8 ,写出这写出这二点连线直二点连线直 线方程，求出线方程，求出u=0.25时，直线上点的坐标时，直线上点的坐标解：直线方程解：直线方程 101uppuup86925.042125.0125.0p86925.042175.025.0p533 101uppuup（B-1）代入：代入：上面参数矢函数直线方程中，参数上面参数矢函数直线方程中，参数u的最高次数为一次，故称线性插的最高次数为一次，故称线性插值。与多项式函数不同（值。与多项式函数不同（u 常表示为多项式函数），那
31、里只有零次常表示为多项式函数），那里只有零次与一次多项式定义直线，但在参数多项式里，没有零次直线，却有与一次多项式定义直线，但在参数多项式里，没有零次直线，却有高次直线。高次直线。例如，例如，p(u)=(1 u3)p0 +u3 p1,u 0,1 该式也表示连接该式也表示连接p0到到p1二点的直线，一般若：二点的直线，一般若：p(u)=F0(u)p0 +F1(u)p1 满足满足 F0(u)+F1(u)=1，就表示过二点就表示过二点p0与与p1的直线的直线 这里这里F0(u)与与 F1(u)称为称为基函数基函数或或混合函数混合函数。在线性插值下，。在线性插值下，F0(u)=1-u，F1(u)=u。
32、曲线与曲面的表示曲线与曲面的表示解析几何中，空间曲线用参数表示解析几何中，空间曲线用参数表示 写成三个坐标关于写成三个坐标关于u的标量函数：的标量函数：微分几何里微分几何里：列矢量或行矢量列矢量或行矢量他们他们 被合写在一起被合写在一起：uzzuyyuxx，uzuyuxupzyxp微分几何里表示曲线的一般函数形式：微分几何里表示曲线的一般函数形式：upp（B-2）这种矢量等价于迪卡尔坐标分量表示：这种矢量等价于迪卡尔坐标分量表示：kuzjuyiuxup在在CAGD使用形状描述数学方法，曲线采用使用形状描述数学方法，曲线采用称为基表示称为基表示的一种特的一种特殊的矢量函数形式殊的矢量函数形式：u
33、aupinii0 （B-3）其中其中niui,1,0称为基函数，决定了曲线的整体称为基函数，决定了曲线的整体性质。性质。niai,1,0称为系数矢量，当基函数确定后，决定了系数矢量称为系数矢量，当基函数确定后，决定了系数矢量是表示位置矢量的绝对矢量，还是相对矢量，也就是表示位置矢量的绝对矢量，还是相对矢量，也就决定了所表示曲线的形状决定了所表示曲线的形状 upp：一质点随时间变化的运动轨迹：一质点随时间变化的运动轨迹-曲线曲线一阶导数一阶导数 ：质点的运动速度：质点的运动速度二阶导数二阶导数 ：质点运动的加速度：质点运动的加速度曲面是曲线的推广，在微分几何里表示成曲面是曲线的推广，在微分几何里
34、表示成双参数双参数 u 和和 v 的矢函数的矢函数vupp,（B-4）在在CAGD里，曲面里，曲面也采用基也采用基表示的表示的一种特殊矢函数形式一种特殊矢函数形式 vuavupjininjij00,（B-5）描述形状的参数曲线是有界的，由描述形状的参数曲线是有界的，由u的参数域决定。的参数域决定。参数曲线中的参数可能具有几何意义，也可能没有几何意义。参数曲线中的参数可能具有几何意义，也可能没有几何意义。圆心位于原点的四分之一单位圆：圆心位于原点的四分之一单位圆：P()=Rcoscos Rsinsin 同一条同一条曲线参数化不是唯一的，上面圆的参数方程可表示为：曲线参数化不是唯一的，上面圆的参数
35、方程可表示为：101211222uuuuuMup，计算时，还是要在各坐标函数上进行（公式计算时，还是要在各坐标函数上进行（公式3-43-4）。下面给出几种）。下面给出几种常用曲线的轨迹计算公式常用曲线的轨迹计算公式圆弧插补轨迹计算公式圆弧插补轨迹计算公式：（3-53-5）式中式中 M常数矩阵，当插补点位于一、二、三、四象限时，其取常数矩阵，当插补点位于一、二、三、四象限时，其取值分别为值分别为Muuuyx221211 00RRRR0000RR RR00 ，R R圆弧半径圆弧半径椭圆插补轨迹计算公式椭圆插补轨迹计算公式：Puuuyx221211 （3-63-6）式中式中P P常数矩阵当插补点位于
36、一、二、三、四象限时，其取值分别为常数矩阵当插补点位于一、二、三、四象限时，其取值分别为，00ABBA0000AB BA00,A A、B B椭圆长半轴和短半轴椭圆长半轴和短半轴X-X-平面第一象限抛物线插补轨迹计算公式：平面第一象限抛物线插补轨迹计算公式：（3-73-7）2aux buy式中式中 a a、b b抛物线终点的抛物线终点的X X、Y Y坐标值坐标值三次样条插补轨迹计算公式：三次样条插补轨迹计算公式：（3-8）xxxxCuCuCuCx012233yyyyCuCuCuCy012233zzzzCuCuCuCz012233式中式中 Cix、Ciy、Ciz(i=0、1、2、3)由曲线型值点确
37、定的系数。由曲线型值点确定的系数。上面轨迹计算公式特点是，上面轨迹计算公式特点是，不涉及函数计算，只进行加减乘除不涉及函数计算，只进行加减乘除计计算求得被插补轨迹上运动点的坐标值，可高速高精的生成插补轨迹算求得被插补轨迹上运动点的坐标值，可高速高精的生成插补轨迹。2 2）实时插补计算）实时插补计算 实时插补计算的任务实时插补计算的任务:在每一个插补周期中，按上述轨迹公式实在每一个插补周期中，按上述轨迹公式实时计算时计算插补轨迹上当前点的坐标值插补轨迹上当前点的坐标值。插补计算不是静态的几何计算，它必须使插补计算不是静态的几何计算，它必须使相邻点间的距离满足相邻点间的距离满足进给速度的要求进给速
38、度的要求，插补计算时，插补计算时参变量参变量u u 的取值必须按当前的的取值必须按当前的F F 值来值来确定确定。这样才能保证插补点按给定的进给速度沿被插补曲线运动，。这样才能保证插补点按给定的进给速度沿被插补曲线运动，从而生成符合要求的插补轨迹。从而生成符合要求的插补轨迹。插补计算应包括以下步骤插补计算应包括以下步骤：根据给定的插补周期根据给定的插补周期T T(ms)(ms)和当前周期的进给速度和当前周期的进给速度F F（mm/minmm/min），用下式计算当前周期的插补直线段长度），用下式计算当前周期的插补直线段长度L Li i（mmmm）:60000TFLii（3-93-9）根据参变量
39、根据参变量u ui i与与L Li i间的如下关系求出当前插补周期的间的如下关系求出当前插补周期的u ui i：iiLdsduu（3-103-10）式中式中 d du/u/d ds s 参变量对曲线弧长的变化率。参变量对曲线弧长的变化率。由于高频插补时，一个插补周期中弧长与弦长非常接近由于高频插补时，一个插补周期中弧长与弦长非常接近，所以，所以实际计算时可令：实际计算时可令：222zyxuLudsdu（3-113-11）这样将这样将u u 取一摄动量，然后求出对应的，即可求出所需的取一摄动量，然后求出对应的，即可求出所需的 d du u/d/ds s。然后由式（然后由式（3-103-10）求出
40、）求出u u ，于是可计算出当前插补周期参变量的取，于是可计算出当前插补周期参变量的取值：值：iiiuuu1（3-123-12）式中式中 u ui-1i-1 上一插补周期参变量取值。上一插补周期参变量取值。将代将代 u ui i 入轨迹计算公式，即可计算出插补轨迹上的当前点的坐入轨迹计算公式，即可计算出插补轨迹上的当前点的坐 标标 值值 x xi i 、y yi i 、z zi i 。不断重复上述过程直到插补终点，可得到整个离散化的插补轨迹。不断重复上述过程直到插补终点，可得到整个离散化的插补轨迹。在高速插补中，在高速插补中，轨迹精度是主要矛盾轨迹精度是主要矛盾，插补点的坐标计算必须绝，插补点
41、的坐标计算必须绝对准确。对准确。插补点插补点沿轨迹运动速度的准确性则处于次要地位沿轨迹运动速度的准确性则处于次要地位，可允许有微小，可允许有微小的误差。的误差。因此以上插补过程中计算因此以上插补过程中计算 d du u/d/ds s 和时允许有一定误差，此误差和时允许有一定误差，此误差仅对进给速度有微小影响。仅对进给速度有微小影响。这样，这样，d du u/d/ds s和的计算可以用近似方法快速完成和的计算可以用近似方法快速完成，达到了既保证，达到了既保证轨迹精度又提高了计算速度的目的。轨迹精度又提高了计算速度的目的。3 3）插补误差控制）插补误差控制 只按进给速度进行插补运算虽然只按进给速度
42、进行插补运算虽然能保证插补点准确，能保证插补点准确，位于被插补位于被插补曲线上，不存在轨迹误差，但曲线上，不存在轨迹误差，但不能保证逼近误差不能保证逼近误差.即插补直线段与被插补曲线的弓高误差也要满足要求。即插补直线段与被插补曲线的弓高误差也要满足要求。因此，因此，在进行高精度插补时，还必须控制由逼近误差引起的插在进行高精度插补时，还必须控制由逼近误差引起的插补误差。补误差。按图按图3-43-4情况，可求得情况，可求得满足允许误差满足允许误差要求的最大插补直线段要求的最大插补直线段长长度：度：22maxL（3-133-13）被插补曲线被插补曲线插补轨迹插补轨迹-i ii-1i-1LmaxOff
43、dfntntdt 图图3-4 3-4 插补的弓高误差插补的弓高误差 图图3-5 3-5 自动加减速曲线自动加减速曲线 将求得的将求得的Lmax作为约束弦长作为约束弦长，若，若按进给速度计算的希望弦长按进给速度计算的希望弦长超过约束弦长超过约束弦长，则，则按约束弦长计算插补轨迹按约束弦长计算插补轨迹。这样，在曲面上比较。这样，在曲面上比较平坦的区域将以给定的进给速度切削平坦的区域将以给定的进给速度切削，进入曲率半径比较小的区域进入曲率半径比较小的区域后，可自动调节进给速度进行降速切削后，可自动调节进给速度进行降速切削，从而，从而实现加工速度的自适实现加工速度的自适应控制。应控制。4 4）自动加减
44、速控制自动加减速控制 参数化插补中的自动加减速控制可通过参数化插补中的自动加减速控制可通过按加减速曲线自动调整按加减速曲线自动调整每一插补周期中插补直线段长度每一插补周期中插补直线段长度来实现。下面以加速过程为例进行来实现。下面以加速过程为例进行分析。分析。设系统的加速曲线如图设系统的加速曲线如图3-53-5所示，现将其所示，现将其作为样板作为样板以数表的形式以数表的形式存放在内存中。图中存放在内存中。图中 fd d 为加速过程为加速过程进给速度总改变量进给速度总改变量，t td d 为加速为加速过程所需时间。过程所需时间。若加速开始时刻的实际若加速开始时刻的实际进给速度为进给速度为F1，加速
45、过程结束后的希望加速过程结束后的希望进给速度为进给速度为F2，则根据从，则根据从加速开始到当前时刻所经过的采样周期个加速开始到当前时刻所经过的采样周期个数数n n，可计算出查表时间，可计算出查表时间:12/FFTnftn d d （3-143-14）根据根据 tn 查加速查加速曲线表可得样板速度增量曲线表可得样板速度增量 fn n。由此可计算出经过。由此可计算出经过n n个插补周期后实际进给速度：个插补周期后实际进给速度：（3-153-15）dnifFFfFF/121 将将F Fi i代入式（代入式（3-93-9）计算当前采样周期中插补直线段长度，并据此）计算当前采样周期中插补直线段长度，并据
46、此进行轨迹计算，即可实现满足图进行轨迹计算，即可实现满足图3-53-5曲线要求的自动加减速控制。曲线要求的自动加减速控制。对于自动减速控制，与加速控制类似，但减速前须预测减速点，对于自动减速控制，与加速控制类似，但减速前须预测减速点，已决定何时开始减速。已决定何时开始减速。5 5）插补预处理）插补预处理 该任务是为顺利进行实时插补计算所作的准备工作。对于参数化该任务是为顺利进行实时插补计算所作的准备工作。对于参数化曲线插补，预处理工作是根据数控系统得到的输入信息，确定有关插曲线插补，预处理工作是根据数控系统得到的输入信息，确定有关插补计算公式中的待定系数，并计算被插补曲线起点和终点所对应的参补
47、计算公式中的待定系数，并计算被插补曲线起点和终点所对应的参变量取值，为终点判断提供依据。变量取值，为终点判断提供依据。（3 3）软件设计上要注意的问题）软件设计上要注意的问题 高速插补的高速插补的采样周期只有采样周期只有0.1ms0.1ms，而在每一个采样周期中，而在每一个采样周期中，真正真正用于插补计算的时间只是采样周期的一部分，远小于用于插补计算的时间只是采样周期的一部分，远小于0.1ms0.1ms。要在如要在如此短的时间内完成一次插补运算，不但必须要求此短的时间内完成一次插补运算，不但必须要求插补算法插补算法有很快的执有很快的执行速度，而且行速度，而且需通过特殊的程序设计技术需通过特殊的
48、程序设计技术予以保障。予以保障。上面介绍的插补算法，在上面介绍的插补算法，在实时计算时不涉及复杂的函数计算实时计算时不涉及复杂的函数计算，周，周期性插补过程主要是完成加、减、乘、除简单计算。期性插补过程主要是完成加、减、乘、除简单计算。考虑到考虑到高精度除法计算较为费时高精度除法计算较为费时，在软件设计时，在软件设计时避免采用常规的避免采用常规的浮点算法，而采用特殊设计的浮点算法，而采用特殊设计的6464位动态定点算法位动态定点算法来完成除法运算。来完成除法运算。此外，此外，用用C C语言语言+汇编语言汇编语言对插补算法和相关处理过程进行编程，对插补算法和相关处理过程进行编程，通过对通过对CP
49、UCPU内部核心硬件的直接操作，充分发挥处理器的性能优势，内部核心硬件的直接操作，充分发挥处理器的性能优势，从而保证算法的实时实现。从而保证算法的实时实现。3.2.23.2.2 样条曲线插补样条曲线插补方法方法 样条曲线曲面插补是随着自由型曲线曲面的样条曲线曲面插补是随着自由型曲线曲面的形状描述方法形状描述方法的发的发展而发展。展而发展。在在CAD中使用计算机辅助几何设计（中使用计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design简称简称 CAGD）来描述自由型曲线曲面。）来描述自由型曲线曲面。工业产品的几何形状可以分为二大类：工业产品的几何形状可以分为二大类：第
50、一类是仅由初等解析曲面第一类是仅由初等解析曲面（例如平面、圆柱面、圆锥面、球（例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等）组成，大多数机械零件属于这一类，该类零件可以面、圆环面等）组成，大多数机械零件属于这一类，该类零件可以用用画法几何和机械制图画法几何和机械制图的方法完全清楚地表达和传递所包含的全部的方法完全清楚地表达和传递所包含的全部形状信息；形状信息；第二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由变化的第二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成。例如飞机、汽车、船舶的外。例如飞机、汽车、船舶的外形零件。形零件。显
