1、2022-8-31第三讲第三讲 (一一)无穷小量与无穷大无穷小量与无穷大量量 (二二)连续函数连续函数二、二、三个重要关系三个重要关系三、三、无穷小量的比较无穷小量的比较四、四、求极限举例求极限举例五、五、函数的连续性函数的连续性一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量2022-8-32定义定义1 1：在某个变化过程中在某个变化过程中,极限为零极限为零 的函数的函数,称为在此变化过程中的称为在此变化过程中的 无穷小量（无穷小）无穷小量（无穷小）。五、无穷小量与无穷大量五、无穷小量与无穷大量（一）定义（一）定义例如：例如：.0sintan,cos1,tan,sin,2时时的的无无穷穷小小量量
2、都都是是 xxxxxxx.arctan2,12时时的的无无穷穷小小量量都都是是 xxexx 注意：无穷小量是极限 为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！2022-8-33定义定义2 2：在某个变化过程中在某个变化过程中,绝对值无限绝对值无限 变大的函数变大的函数,称为在此变化过程中的称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）无穷大量（无穷大）。)(lim.)(,)(,0,0,0000 xfxxxfGxfxxGxx记记作作无无穷穷大大时时为为当当则则称称有有时时使使当当 )(lim.)(,)(,0,0,0000 xfxxxfGxfxxGxx记记作作正正无无穷穷大大时时为为当当则则称称有有时时使使
3、当当 2022-8-34oxy1 o21xy 例例 xx1lim0 xx1lim0 xx1lim0 201limxx2022-8-35（二）无穷小与无穷大的性质（二）无穷小与无穷大的性质性质性质1：.)()()()(),()(,)()(,都都是是无无穷穷小小和和为为常常数数过过程程中中则则在在此此变变化化都都是是无无穷穷小小和和化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的同同一一个个变变xgxfxgxfcxcfxgxf 注意：注意：性质性质1只可以推广到有限个函数只可以推广到有限个函数)21(lim222nnnnn 例例212)1(1lim2 nnnn0 2022-8-36.)()(,)(,)(,
4、是是无无穷穷小小此此变变化化过过程程中中则则在在是是有有界界函函数数是是无无穷穷小小化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的某某一一个个变变xgxfxgxf性质性质2：.)()()0()(,)()(,都都是是无无穷穷大大和和常常数数过过程程中中则则在在此此变变化化都都是是无无穷穷大大和和化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的同同一一个个变变xgxfcxcfxgxf 性质性质3：2022-8-37 例例 例例?sinlim xxx是是有有界界函函数数11sin0 xx01sinlim0 xxx1sin,01lim xxxx0)(sin)1(limsinlim xxxxxx?1sinlim0 x
5、xx2022-8-381.（无穷小与无穷大）（无穷小与无穷大）.)(1,)(,是是无无穷穷小小则则在在这这个个变变化化过过程程中中是是无无穷穷大大化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的某某一一个个变变xfxf.)(),()()(lim时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中 xxxAxfAxfx 2.（极限与无穷小）（极限与无穷小）（三）三个重要关系（三）三个重要关系2022-8-393.无穷大与无界函数无穷大与无界函数无无界界。反反之之不不一一定定。则则是是无无穷穷大大化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的某某一一个个变变)(,)(,xfxf问题：问题：两个无穷小量的商是否为无穷小量？两个无
6、穷小量的商是否为无穷小量？xxxxf,sin)(例例2022-8-310二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较.)()(,1)()(lim,;)()(,0)()(lim)1(.)()(,是是等等价价无无穷穷小小与与时时称称当当时时当当特特别别是是同同阶阶无无穷穷小小与与时时则则称称当当若若都都是是无无穷穷小小与与过过程程中中设设在在自自变变量量的的同同一一变变化化xgxfxxgxfxgxfxAxgxfxgxfxx 定义：定义：)()()(xxgxf记记作作2022-8-311).()()(.)()(,0)()(lim)2(xxgxfxgxfxxgxfx记记作作相相比比是是高高阶阶无无穷穷小小与与
7、时时则则称称当当若若2022-8-312几个常用的等价无穷小量)0(xxxxxaxaxexxxxxxxxxx2111)1ln(ln11arctanarcsintansin 2022-8-313等价无穷小量的性质)(,sin,1)(sinsin,0 xxxxxxxxxx误误差差是是时时当当时时当当例例 )()()()()()()()(,)(),(,xgxgxfxfxgxfxgxfxgxfx 或或则则无无穷穷小小均均为为时时设设当当性质性质1：2022-8-314)()(lim)()(lim)()(lim)()(lim1111xgxgxgxfxfxfxgxfxxxx 存存在在，且且有有均均为为无无
8、穷穷小小时时若若当当)()(lim),()(),()(,)(),(),(),(,111111xgxfxgxgxfxfxgxfxgxfxx性质性质2：)()(lim)()(lim11xgxfxgxfxx 则则有有等价代换等价代换)()(lim)()(lim1100 xgxfxgxfxx 2022-8-315解解54)12()2(lim)2)(12()2)(2(lim2324lim22222 xxxxxxxxxxxx)232(54)4(;)232()4(,22222 xxxxxxx同同阶阶无无穷穷小小是是与与时时当当?2324lim222 xxxx例例1三、求极限举例三、求极限举例2022-8-3
9、16?cos1lim20 xxx2222022220)()(sinlim214)()(sin2limxxxxxx 222020sin2limcos1limxxxxxx 21sinlimsinlim21220220 xxxxxx例例2解解2022-8-317)()(cos12同阶xOx )()(cos1高阶xx )(21cos12等价xx 21cos1lim20 xxx1cos1lim2210 xxx2022-8-318xxxx30sinsintanlim 21lim22210 xxx?sinsintanlim30 xxxx例例3解解xxx20sincos1lim xxxxcos1sincos1
10、lim20 2022-8-319)(sintan3xOxx 2sintan3xxx)(sintan2xxx 0limsinsintanlim3030 xxxxxxxxxxxxxsin,tan,0时时当当 讨论：讨论：代数和不能代换！代数和不能代换！2022-8-320?)1ln(lim0 xxx解解100ln(1)limlimln(1)xxxxxxln1e例例410lnlim(1)xxx2022-8-321?1lim0 xaxxxexaaxxxx1lim1limln00 axaxxlnlnlim0 )0(ln1 xaxax1(0)xex x解解例例52022-8-322?tan3)sin23(
11、lim20 xxxxx解解例例6xxxxx20tan3)sin23(lim 23201)sin1(3limxxxxx 2)sin1ln(01lim32xexxx 2320)sin1ln(limxxxx 32sinlim320 xxx1(0)xex xln(1)(0)xx x2022-8-323?)sin(cos21lim33 xxx,3ux 作作变变换换ux 3 则则0,3,ux时时当当并并且且 解解)3cos(21cos21ux 又又例例7)sin3sincos3(cos21uu uusin3cos1 2022-8-324301 2cos1 cos3sinlimlimsinsin()3xux
12、uuux从而3lim2210 uuu3 01 coslim3sinuuu2022-8-325连连 续续 函函 数数2022-8-326函数连续性的定义函数连续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有三种在通常意义下，对函数连续性有三种描述：描述：当自变量有微小变化时，因变量的当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；变化也是微小的；自变量的微小变化不会引起因变量的自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；跳变；连续函数的图形可以一笔画成连续函数的图形可以一笔画成,不断开不断开.2022-8-3272xy xytan 例如：例如：上
13、上连连续续在在),(上上连连续续在在)2,2(xysin 2022-8-328处处间间断断在在点点0 x 0,2,0,1)(xxxfy xyO122022-8-329处处间间断断在在点点0 xxyO .0,1,0,0,0,1)(xxxxxxgy2022-8-330处处间间断断在在点点0 x2022-8-331.,;,)()(lim,)(0000000的的一一个个间间断断点点是是函函数数称称处处间间断断在在点点否否则则称称函函数数的的一一个个连连续续点点是是函函数数称称处处连连续续在在点点则则称称函函数数如如果果的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在设设fxxffxxfxfxfxxfxx 定义定义
14、1：以上描述实质上是同义的反复以上描述实质上是同义的反复,数学上要确切数学上要确切地刻画函数连续性地刻画函数连续性,必须用必须用极限极限作定量地描述作定量地描述.（一）定义（一）定义2022-8-332缺缺一一不不可可三三个个条条件件处处连连续续蕴蕴涵涵以以下下在在点点函函数数,0 xf注意注意1;)1(0的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在点点 xf以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性.)()lim()(lim000 xfxfxfxxxx .0换换顺顺序序运运算算与与函函数数运运算算可可以以交交处处连连续续意意味味着着极极限限在在点点函函数数x
15、f注意注意2;)(lim)2(0存存在在极极限限xfxx.)()(lim)3(00相相等等与与函函数数值值极极限限xfxfxx2022-8-333;)()()(lim,()(0000处处左左连连续续在在则则称称且且上上有有定定义义在在设设函函数数xxfxfxfxaxfxx 定义定义2：;)()()(lim,),)(0000处处右右连连续续在在则则称称且且上上有有定定义义在在设设函函数数xxfxfxfbxxfxx （函数在一点的单侧连续性）（函数在一点的单侧连续性）2022-8-334),(.),()(,),()()1(baCfbaxfbaxf 记记作作内内连连续续在在开开区区间间则则称称每每一
16、一点点处处都都连连续续的的在在开开区区间间若若函函数数,.,)(,),()()2(baCfbaxfbabaxf 记记作作上上连连续续在在闭闭区区间间则则称称左左连连续续在在点点右右连连续续且且在在点点内内连连续续在在开开区区间间若若函函数数定义定义3：（函数在区间上的连续性）函数在区间上的连续性）2022-8-335（二）间断点的分类（二）间断点的分类根据间断点的不同情况，可以分为三类：根据间断点的不同情况，可以分为三类：1.可去型间断点可去型间断点)(,)(lim00 xfxfxx但但是是不不等等于于存存在在 可去型间断不是本质性的间断可去型间断不是本质性的间断,可以重新可以重新定义定义,使
17、其连续使其连续.)(lim)(00 xfxfxx 令令2022-8-336没没有有定定义义在在点点0sin)(xxxxf例如例如是是可可去去型型间间断断点点故故但但是是01sinlim0 xxxx 0,10,sin)(1xxxxxf若令若令的的一一个个连连续续点点就就成成为为则则)(01xfx 2022-8-3372.第一类间断点第一类间断点但但是是不不相相等等都都存存在在和和,)(lim)(lim00 xfxfxxxx )(lim)(lim).(0()0(,)(00000 xfxfxfxfxxfxxxx 跃跃度度等等于于处处发发生生跳跳跃跃在在点点函函数数 .0,1,0,0,0,1sgn时时
18、当当时时当当时时当当xxxxy例例 符号函数符号函数 是是第第一一类类间间断断点点0 x2022-8-338至至少少一一个个不不存存在在和和)(lim)(lim00 xfxfxxxx 3.第二类间断点第二类间断点xy1 是是第第二二类类间间断断点点0 xxy1sin 例例 2022-8-339五、函数连续性的基本性质五、函数连续性的基本性质（一）连续性定义的等价形式：（一）连续性定义的等价形式：下下列列命命题题等等价价则则的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在设设,)(0 xxf)()(lim)1(00 xfxfxx)()()()2(0 xxfxf )0)(lim(0 xxx 其中其中2022-
19、8-340)()()(,0)(lim)4(00000 xfxfxfxxxxfx 既既左左连连续续又又右右连连续续在在点点）（03xf)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx （二）连续函数的有界性：（二）连续函数的有界性：)(,000有有界界在在点点简简称称某某邻邻域域上上有有界界的的在在则则连连续续在在点点若若函函数数xfxfxf2022-8-341.)()(),(,0.,0)(,000000同同号号与与上上使使在在即即的的某某邻邻域域上上保保号号在在点点则则且且连连续续在在点点若若函函数数xfxfxxxfxfxf （三）连续函数的保号性：（三）连续函数的保号性：2022-8-3
20、42连续连续也在也在0 )2(xgf 则则连连续续都都在在点点若若,0 xgf连连续续也也在在函函数数对对任任意意常常数数0 ,)1(xgf 连续连续也在也在则则若若00,0)()3(xgfxg（四）连续函数的运算性质：（四）连续函数的运算性质：.)(),(,)(,)()4(00000连连续续在在则则复复合合函函数数且且连连续续在在连连续续在在若若ttgftgxxxfttgx 2022-8-343（六）初等函数的连续性（六）初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。初等函数在其定义区间上是连续的。（五）（五）关于反函数的连续性关于反函数的连续性.)(),()(),()(,)(1严严格格
21、单单调调且且连连续续上上也也或或区区间间在在闭闭则则其其反反函函数数单单调调且且连连续续上上严严格格在在闭闭区区间间若若函函数数afbfbfafyfxbaxfy .,21cos)(Znnxxxf 定定义义域域为为离离散散点点是是初初等等函函数数。例例：2022-8-344连续函数的性质连续函数的性质一、连续函数的基本性质一、连续函数的基本性质二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质2022-8-345一、函数连续性的基本性质一、函数连续性的基本性质（一）连续性定义的等价形式：（一）连续性定义的等价形式：下下列列命命题题等等价价则则的的某某邻邻
22、域域内内有有定定义义在在设设,)(0 xxf)()(lim)1(00 xfxfxx)()()()2(0 xxfxf )0)(lim(0 xxx 其中其中2022-8-346既既左左连连续续又又右右连连续续在在点点）（03xf)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx （二）连续函数的有界性：（二）连续函数的有界性：)(,000有有界界在在点点简简称称某某邻邻域域上上有有界界的的在在则则连连续续在在点点若若函函数数xfxfxf2022-8-347连续连续也在也在0 )2(xgf 则则连连续续都都在在点点若若,0 xgf连连续续也也在在函函数数对对任任意意常常数数0 ,)1(xgf 连续
23、连续也在也在则则若若00,0)()3(xgfxg（三）连续函数的运算性质：（三）连续函数的运算性质：.)(),(,)(,)()4(00000连连续续在在则则复复合合函函数数且且连连续续在在连连续续在在若若ttgftgxxxfttgx 2022-8-348二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。初等函数在其定义区间上是连续的。（四）（四）关于反函数的连续性关于反函数的连续性.)(),()(),()(,)(1严严格格单单调调且且连连续续上上也也或或区区间间在在闭闭则则其其反反函函数数单单调调且且连连续续上上严严格格在在闭闭区区间间若若函函数数afbfbfafyfx
24、baxfy 结论：结论：2022-8-3491.1.有界性定理：有界性定理：.,)(,有有界界上上在在则则设设函函数数baxfbaCf 使使得得则则存存在在两两点点设设函函数数,21baxxbaCf )(max)(),(min)(21xfxfxfxfbxabxa 2.最大最小值定理：最大最小值定理：三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质2022-8-3503.3.零点定理：零点定理：.0)(),(,0)()(,fbabfafbaCf使得使得则存在则存在且且设函数设函数 obyxa2022-8-3514.4.介值定理：介值定理：)(),(,)()(),()(,fbabfafbfafbaCf使使得得存存在在一一点点实实数数之之间间的的任任何何一一个个与与对对于于介介于于则则设设函函数数推论：推论：,baCf 设设)(min ),(max,xfmxfMbaxbax 使使得得则则对对任任意意),(),(baMm )(f2022-8-352 obyxa Mmf(x)g(x)
