1、ttsttstsv)()(00平均速度平均速度:而质点在时刻而质点在时刻 的瞬时速度为的瞬时速度为:0ttsvtt00limlim)(0tvttsttst)()(lim000 xyo)(xfy C（2 2）曲线的切线斜率曲线的切线斜率NT0 xMxtan曲线曲线)(:xfyC在在 点处的切线点处的切线M割线割线 的极限位置的极限位置 MNMT割线割线 的斜率的斜率MN00()()tanf xxf xyxxMN 而0 x且且就是就是xy0limxlimtank(即切线即切线 的斜率的斜率 )MTxykx0lim两个问题的共性两个问题的共性:瞬时速度瞬时速度tsvt0lim切线斜率切线斜率xykx
2、0lim所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题变化率问题、1、导数的概念、导数的概念定义定义 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x存在存在,)(xf并称此极限为并称此极限为)(xfy 记作记作:;0 xxy;)(0 xf;dd0
3、 xxxy即即00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义 ,在点在点0 x处可导处可导,在点在点0 x的导数的导数.xy0limxxxfxxfx)()(lim000在在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度0ttsvt0lim曲线曲线)(:xfyCxykx0lim运动质点的位置函数运动质点的位置函数)(tss 因此因此)(0ts)(0 xf 在在 点处的切线斜率点处的切线斜率M0000()()()limxf xxf xfxx 若函数在开区间若函数在开区间 I I 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数此时导数
4、值构成的新函数称为导函数.记作记作:;y;)(xf;ddxy.)(ddxfx因此因此:就称函数在就称函数在I I内可导内可导.00()()x xfxfx0000()()()limxf xxf xfxx 求导数的步骤：求导数的步骤：根据定义，求函数根据定义，求函数y=f(x)的导数可以分为三个步骤的导数可以分为三个步骤：)()(xfxxfy（1）求函数的增量）求函数的增量（2）算比值）算比值xxfxxfxy)()(xyyx0lim（3）取极限）取极限例1 已知 2yx,求 2,xyy()()yf xxf x 22()xxx22()x xx (2)2yxxxxxxx00limlim(2)2xxyy
5、xxxx 2()2xx 222|4xxyx解（1）求增量 （2）算比值 （3）取极限 所以 )(sinx例2 xxxxxsin)sin(lim022sin)2cos(lim0 xxxxxxcosxxxxx2sin)2cos(2lim02.导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CNT0 xMx)(,(00 xfxM曲线曲线y=f(x)在点在点处切线的斜率，即处切线的斜率，即)(0 xfk)(000 xxxfyy)0)()()(10000 xfxxxfyy法线为法线为由此得曲线由此得曲线y=f(x)在定点在定点)(,(00 xfxM处的切线方程为处的切线方程为例1 求抛物线 2xy 在点（
6、2,4）处的切线方程和法线方程.解解 因为 2yx，根据导数的几何意义，曲线 2xy 在点（2,4）处的切线斜率 22|4xkx所求切线方程为 44(2)yx法线方程为 14(2)4yx 例2 求曲线 xyln上一点,使过该点的切线与直线 320 xy平行.解解 设曲线 xyln上点(,)P x y的切线与直线 320 xy平行,由导数的几何意义,得所求切线的斜率为.1)(lnxxk而直线 320 xy的斜率为 31k令 311x,得 3x.将 3x 带入曲线 xyln,得 3lny,所以曲线 xyln在点(3,ln3)P的切线与直线 320 xy平行.定理：若函数定理：若函数y=f(x)在在
7、 处可导，则处可导，则f(x)在在 连续。连续。0 x0 x 可导与连续的关系可导与连续的关系注意注意:函数在某点处连续，但在该点处不一定可导。函数在某点处连续，但在该点处不一定可导。例例 3 证明函数证明函数 在点在点x=0连续但不可导。连续但不可导。32)(xxf所以所以f(x)在在x=0连续。连续。f(x)是初等函数是初等函数,xR证明证明2323()()xx1323x而而323 x0 x 所以所以f(x)在在x=0不可导。不可导。3.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式,0)(.1c,)(.21xx3.1x 6.()ln,xxaaa 7.()xxee 18.(log),ln
8、axxa 19.(ln)xx 2114.()xx 15.(),2xx,cos)(sin.10 xx,sin)(cos.11xx,sec)(tan.122xx,csc)(cot.132xx14.(sec)tan secxxx 15.(csc)cotcscxxx 211)(arcsin.16xx211)(arccos.17xx211)(arctan.18xx211)cot(.19xxarc4.4.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则,)(.1vuvu设设 均是均是 的可导函数，则的可导函数，则)(),(xvvxuux,)(.2uvvuuvuccu)(.32)(.4vvuvu
9、vu例1 求函数 lnsin5xyxxe的导数.解解 1(ln)(sin)()(5)cos.xxyxxexex例2 设2()cosf xxxx，求()fx及(1)f 解解 112221()()(cos)()2sin2fxxxxxxx13(1)2sin1sin1.22f 例3 求函数2tanlnyxx的导数.解解 2(tan ln)2(tan)lntan(ln)yxxxxxx2212tan2(seclntan)2seclnxxxxxxxx例4 求函数 2(23)xyxe的导数.解 22(23)(23)()xxyxexe26(23)xxxex e2(362)xxxe 例5 求函数 lnsinyxx
10、arcx的导数.解()lnsin(ln)sinln(sin)yxxarcxxx arcxxx arcx2lnlnsinsin.1xxxarcxarcxx例6 求函数 xaxay的导数.解 2()()()()axaxax axyax22)(2)()()(xaaxaxaxa则则dxdududydxdyxuxuyy)()(xufyx或或或或)(),(xuufy 设设复合而成复合而成)(xfy由由5.5.复合函数的导数复合函数的导数 例1 求函数 32)1(xy的导数.解解 函数 32)1(xy可以看成由 123xuuy和复合而成的因此.)1(623)1()(22223xxxuxudxdududydx
11、dy例2 求函数的导数 23sin(1)cos;(2)ln;(3)3xynxyxy.解（1）;sinsin)()(cosnxnnunxuy（2）23213ln()(ln)3;dyxuxudxxx（3）2sin23(ln3)cos22(ln3)3cosuxxuvxyyuvvxxx 例3 求函数的导数 23(1)lncos;(2)arctan;(3)sin(21)yxyxyx1sin(cos)tancoscosxyxxxx 2224()21()1xxyxx 23sin(21)sin(21)yxx 23sin(21)cos(21)(21)xxx26sin(21)cos(21)xx解解 （1）（2）（
12、3）6.6.隐函数的导数隐函数的导数.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.定义定义:0),(yxF由方程由方程 所确定的函数称为隐函数。所确定的函数称为隐函数。例1 求由方程 221xy所确定的隐函数 y的导数 dydx解解 在方程中,将 y看作是 x的函数,则 2y是 x的复合函数,因此,利用复合函数求导法,方程两边同时对 x求导数：22()()(1)xxy得2
13、20.xyy解出 y,得.xyy 例2 求由方程 x yxye所确定的隐函数y的导数.解解 两边对x求导,得 (1),x yyxyey因此.x yx yyeyxyyexxyx 例3 验证21(arcsin)(11)1xxx 的导数.解解 设 arcsinyx，根据反正弦函数的定义得,sin()22xyx两边对x求导,得1cos y y即 1cosyy因为当 22y时，cos0y,所以 22cos1(sin)1yyx于是,得21(arcsin)1xx 7.7.对数求导法对数求导法定义定义 如果对幂指函数),(的函数都是其中xvuuyv乘除运算和乘方、开方运算所得的函数求导数,应先对等 式两边取对
14、数,然后用隐函数的求导方法求其导数.这种方法称为对数求导法.或者由多次例1 求函数(0)xyxx的导数 lnln,yxx解 两边取对数，得 两边对x求导数,得 11lnln1,yxxxyx因此).ln1()ln1(xxxyyx例2 求函数(1)(21)(3)(52)xxyxx的导数.解解 两边取对数，得1lnln(1)ln(21)ln(3)ln(52)2yxxxx两边对x求导数，得 111215()2121352yyxxxx所以11215()2121352yyxxxx 1(1)(21)1215()2(3)(52)121352xxxxxxxx则则dydx()()f tt设参数方程设参数方程()(
15、)xtyf t确定了确定了 与与 之间的函数关系之间的函数关系yx8.8.由参数方程所确定函数的导数由参数方程所确定函数的导数 例1 求参数方程 cos(0,0,)sinxaabyb为参数所确定的函数的导数 dydx解(sin)coscot.(cos)sindydybbbddxdxaaad 例2(sin),.(1 cos)2xa ttyat求摆线在t处的切线斜率解解 因为(1 cos)sin,(sin)1 cosdyattdxa ttt所以 2sin121.1 01 cos2tdykdx记作记作22(),d yfxydx或或9.9.高阶导数高阶导数()(),()()()yf xyfxyfxyf
16、xyf x 一般地，若函数的导数仍然可导 则称的导数（）为函数的二阶导数二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.,().fx相应地称为一阶导数)()4(,nyyyyy，、一般地一般地,的各阶导数记为的各阶导数记为:)(xfy,()1().f xnf xn一般地 函数的阶导数的导数称为函数的 阶导数例1 求函数2lnxeyx的二阶导数解解 211,.xxyeyexx例2 设arctanyx，求(1),(1)yy解解 因为211yx 2222221(1)2(),1(1)(1)xxyxxx 所以 11(1),(1)22yy 例3 求由方程 222xya确定的隐函数的二阶
17、导数 22d ydx解解,022yxyyyx2222233()()().xxyxxxxyyxayyyyyyyy 例4 求xye的n阶导数.解解(4),xxxxyeyeyeye一般地，可得()nxye1.问题的提出问题的提出实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,2xA 因为正方形面积2020)(xxxA所以.)(220 xxx )1()2(:)1(:)2(xx 0 xx 010.10.函数的微分函数的微分的线性函数，且为的线性函数，且为 的主要部分的主要部分xAx的高阶无穷小，当的高阶无穷小，当 很小时可忽略
18、很小时可忽略|x0 xxx0 x2x再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值xxy2030|)(3xxx2.微分的定义微分的定义000000000(),()()()(),(),(),(),.x xx xyf xxxxyf xxf xAxoxAxyf xxAxyf xxxdydf xdyAx 定义设函数在某区间内有定义及在这区间内如果成
19、立 其中 是与无关的常数则称函数在点可微 并且称为函数在点相应于自变量增量的微分记作或即3、可微的条件、可微的条件定理00|().x xdyfxx且可导可微即即000()(),().f xxf xxAfx函数在点可微的充要条件是函数在点处可导 且设设,xy dxdy 且且xxxdy)(dxx.)(dxxfdy).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy)(xfy 在某区间内处处可微在某区间内处处可微,则有则有若若xxfdy)(例例1 1解解.02.0,23时的增量与微分当求函数xxxyxxdy
20、)()2(3.32xx.24.002.02|xxdy02.0232332)02.02()1(y000008.00024.024.0242408.04.微分的求法微分的求法1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式22(sin)cos(cos)sin(tan)sec(cot)cscdxxdxdxxdxdxxdxdxxdx )(dxxfdydxeedadxaadxxxx)(,ln)(dxxxdCd1)(,0)(dxxxddxaxxda1)(ln,ln1)(log2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)(,)()(,)(vudvvduvududvvduuvdCduCud
21、dvduvudarcdxxxddxxxddxxxddxxxd222211)cot(,11)(arctan11)(arccos,11)(arcsin例2 求27tan6yxx的微分解 22(7tan6)(27sec).dyxxdxxx dx例3 求下列函数的微分.)()2()2sin()1(22bxaxexfxy解 222(1)cos(2)(2)2 cos(2);dyxd xxxdx.)2()()()2(222dxebxabxaxdexdfbxaxbxax例4 求由方程221xy所确定的函数的导数 dydx解 两端同时求微分得 221dxdyd即 220 xdxydyydyxdx 所以 dyxd
22、xy 1.单调性的判别法单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA11.11.函数的单调性函数的单调性)(xfy 0)(xf0)(xf)(xfy 2.单调区间的求法单调区间的求法;)1(）的定义域（写出函数xf的实根及不可导点；求方程0)()2(xf的单调性。）
23、（判断函数的符号由xfxf,)()3(1.函数极值的定义函数极值的定义ab)(xfy 1x2x3x4x5x6x12.12.函数的极值函数的极值)(xfy oxy函数的极小值，函数的极小值，是是f(x)的极小值点；的极小值点；0 x并称并称都有内的任意点内的任意点),(0 xxx),()(0 xfxf邻域邻域 设函数设函数f(x)在在 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义,0 x若对于若对于 该该为函数为函数f(x)的极大值，并称的极大值，并称0 x)(0 xf则称点点 是是f(x)的极大值点；的极大值点；),()(0 xfxf若都有则称)(0 xf为为oxy0 x)(0 xfoxy0 x)(0
24、 xf 函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称为函数的统称为函数的极值极值，使，使函函数取得极值的点称为函数的数取得极值的点称为函数的极值点极值点。2.函数极值的判定和求法函数极值的判定和求法定义定义.)()0)(的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf注意注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如例如,3xy ,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x定理定理1 设函数设函数f(x)在点在点 可导，且在点可导，且在点 取得取得极值，则函数在极值，则函数在 的导数的导数 0 x0 x0 x0)(0 xf极值存在的必要条件极值存在的必要条件x
25、yoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)定理定理2(第一充分条件第一充分条件)设函数设函数 的某个邻的某个邻域内连续且可导。且域内连续且可导。且0)(xxf在0)(0 xf则函数则函数f(x)在点在点 取得极大值取得极大值 。0 x)(0 xf（3）如果在）如果在 的去心邻域内，的去心邻域内，不改变符号，不改变符号，则则 不是函数不是函数f(x)的极值。的极值。0 x)(xf)(0 xf（1）如果当）如果当 时，时，0 xx;0)(xf0 xx;0)(xf当当时，时，（2）如果当）如果当 时，时，0 xx;0)(xf0 xx;0)(xf当当时，时，则函数则函数f(x)在点在点 取得
26、极小值取得极小值 。0 x)(0 xfxyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:;)1(的定义域求函数;0)()2(的根求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查xf.)4(求极值(不是极值点情形不是极值点情形)定理定理3（第二充分条件）（第二充分条件）设函数设函数f(x)在点在点 处具处具有二阶导数且有二阶导数且0 x.0)(,0)(0 0 xfxf（1）如果）如果 ,则函数则函数f(x)在在 处取得极小值；处取得极小值；0)(0 xf0 x（2）如果）如果 ,则函数则函数f(x)在在 处取得极大值；处取得极大值；0)(0 xf0 x注意：当注意：当 时，则
27、定理时，则定理3失效，这失效，这.0)(,0)(0 0 xfxf时仍可用第一充分条件来判定。时仍可用第一充分条件来判定。例例1 1解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)()1(2xxxf，令令0)(xf.2,421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx,66)()2(xxf)4(f,018)4(f故极大值故极大值,60 )2(f,018 )2(f故极小值故极小值.48 13.13.函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 在生产实际中，往往遇到求在一定条件下怎在生产实际中，往往遇到求在一定条件下怎样使样使“材料最省材料最省”，“成本最低成本最低”，“投资最投
28、资最少少”，“效益最高效益最高”等方面的问题。它们在数学上都可等方面的问题。它们在数学上都可以归结为求函数的最大值和最小值问题。以归结为求函数的最大值和最小值问题。1 求函数求函数 在闭区间在闭区间 上的最值的方法上的最值的方法:)(xfy(1)(1)求求 在在 内的极值可疑点（即驻点和不内的极值可疑点（即驻点和不)(xf),(bamxxx,21、(2)最大值最大值 maxM,)(1xf,)(2xf,)(,mxf、,)(af)(bf最小值最小值 minm,)(1xf,)(2xf,)(,mxf、,)(af)(bf,ba可导点）：可导点）：例例1 求求293)(23xxxxf在在6,2上的最值上的
29、最值解解963)()1(2xxxf)3)(1(3xx令令3,121xx2)2(9)2(3)2()2()2(23f02)1(9)1(3)1()1(23f7239333)3(23f25269636)6(23f56所以所以 函数的最大值为函数的最大值为(6)56,f25)3(f0最小值为最小值为例例2求求2)(xexf在下列各区间的最值：在下列各区间的最值：解解),()2(;5,1 )1(22)(xexxf)1(在在5,1 上上0)(xf所以所以最大值为最大值为最小值为最小值为eef1)1(1551)5(eef令令0,0)(xxf0)(xf;0)(xf当当时，时，0 x0 x当当时，时，所以所以0
30、x是是)(xf的极大值点，的极大值点，其最大值为其最大值为1)0(0 ef),(在在内内)2(也就是最大值点也就是最大值点14.曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点1.曲线的凹凸性与拐点的定义曲线的凹凸性与拐点的定义定义定义 设曲线弧设曲线弧y=f(x)上每一点都有切线上每一点都有切线.若在某区若在某区间内间内,该曲线弧位于其上任一点切线的上方该曲线弧位于其上任一点切线的上方,则称曲线则称曲线弧在该区间内是凹的弧在该区间内是凹的;若该曲线弧位于其上任一点切若该曲线弧位于其上任一点切线的下方线的下方,则称曲线弧在该区间内是凸的。则称曲线弧在该区间内是凸的。xyoxyo凹凹凸凸拐点拐点xyo曲线弧
31、上凹与凸（或凸与凹）的分界点，叫做曲线曲线弧上凹与凸（或凸与凹）的分界点，叫做曲线y=f(x)的拐点。的拐点。2.曲线凹凸性的判定，拐点的判定曲线凹凸性的判定，拐点的判定0)(0 xf0 x)(xf)(,(00 xfx定理定理2(拐点的充分条件）若且在拐点的充分条件）若且在两侧变号，则点两侧变号，则点 是曲线是曲线y=f(x)的拐的拐点。点。定理定理1 设函数设函数y=f(x)在区间在区间 内有二阶导数。内有二阶导数。),(ba 则曲线则曲线y=f(x)0)(xf（1）若在）若在 内，内，),(ba在区间在区间 内是凹的；内是凹的；),(ba则曲线则曲线y=f(x)0)(xf),(ba（2）若
32、在）若在 内，内，在区间在区间 内是凸的；内是凸的；),(ba例1 讨论曲线 内的在)2,0(cos)(xxf凹凸性.解.cos)(,sin)(xxfxxf()0,cos0,fxx令即在开区间)2,0(内解得二个实根 3,.22x(0,2):(0,),2这两个实根将区间分成三个区间),23,2().2,23(;)2,23()2,0(cos)(内是凸的与在区间xxf内在区间)23,2(.)0,23()0,2(是拐点与曲线是凹的.点例2 试确定),2,1(,23有拐点使三次曲线的值cxbxaxycba并且在该点切线的斜率为1.解解 依题意得方程组,26,232baxycbxaxy 2,132,06
33、2.abcabcab解之得 1,3,4,abc 因此 3234yxxx曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义1 )14.曲线的曲率曲线的曲率)S S).M.MC0Myxo.sKMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线C是光滑的，.0是是基基点点M,sMM （.切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdK 2.曲率的计算
34、公式曲率的计算公式注意注意:(1)直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany ,12dxyyd ,arctany 有有.12dxyds 322(1)yky,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx 3222()()()()()()ttttktt(),()dytdxt223()()()().()d yttttdxt例1 已知圆的半径为R,求圆上:(1)任意一段弧的平均率;(2)任一点处的曲率.解（1）在圆上任取一段弧 AB,由平面几何知道,弧两端 A
35、P与BP的转角 等于圆心角,即 AOB于是 ABR,因此,AB的平均曲率为 1.KABRR（2）圆上任一点的曲率0011limlim.ABABKABR R例2 求曲线.|)0,0(03xKKxaaxy及的曲率解 由 代入曲率计算公式得得,6,3,23axyaxyaxy.0|,)91(602342xKxaaxK定义D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkk
36、yxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半径曲率半径 xyo15.曲率圆和曲率半径曲率圆和曲率半径1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.注意注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).11,.kk即曲率圆曲率圆y=
37、y(x)与曲线与曲线y=f(x)的关系的关系过同一点过同一点)()(00 xfxy 有公切线有公切线)()(00 xfxy 圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同2302023020)(1|)(|)(1|)(|xfxfxyxy|)(|)(|00 xfxy )()(00 xfxy 设圆的方程为设圆的方程为222)()(byax连续求导两次，将上述条件代入得连续求导两次，将上述条件代入得22020)()(bxfax0)()()(000 xfbxfax0)()()(10020 xfbxfxf解得解得)()(1)(02000 xfxfxfxa )()(1)
38、(0200 xfxfxfb|)(|)(102302xfxf 例1 设工件内表面的截线为抛物线 24.0 xy 现在要用砂轮削 其内表面,问用直径多大的砂轮比较合适?并求出抛物线在点(1,0.4)的曲率中心.解 显然,我们选用的砂轮的半径,应小于或等于工件的内表面截线上各点处的曲率半径的最小值,否则就会磨掉工件的不应磨去的部分.因此我们先求曲率半径的最小值,由于 0.8,0.8.yxy所以工件内表面截线 24.0 xy 上任意一点的曲率半径为 8.0)64.01(8.0)64.01(232232xxR容易看出,当 0 x 时,即在抛物线 24.0 xy 的顶点处,R的值最小.这个最小值 25.1
39、minR略小于2.5单位的砂轮磨削工件内表面才比较合适.因此我们应选用直径等于或由于在点(1,0.4)处,8.0|,8.0|11 xxyy所以.45.28.0/)64.01(4.0,64.08.0/)64.01(8.01因此,抛物线在点(1,0.4)处的曲率中心为(-0.64,2.45).20cm2mm例1 球壳外径为,厚度为,求球壳体积的近似值.解 球的体积为 于是由题设,2.0,10,3403rrrV.4)(200rrrrVdV将0,rr、的值代入得球壳体积的近似值.2.251|)2.0(1014.34|2cmV例2 设测得圆钢的直径 60.04Dmm,测得 D的绝对误差|0.005Dmm
40、试估计圆钢截面面积的绝对误差和相对误差.解 我们把测量 D时所产生的误差当作自变量 D的增量 D,由公式 24DS计算 S时所产生的误差就是函数 S的增量 S,当|D很小时,可用微分 dS近似地代替增量 S即 所求绝对误差为.2DSdSSDD2260.04|0.0050.4716,2SdSmmmm所求相对误差为2|0.0052|220.017%.60.044DDSdSDDSSD例3 计算球的体积时,要求相对误差不超过1%,问测得的直径的相对误差不能超过多少?解解 设球的直径为 D,体积为 V,由,2,623DVDV得从而体积 V的相对误差为.3|DVVVDDv由题意要求.3001,10013|
41、DDVDDv得因此,只要测量的直径的相对误差小于3001时,就能保证计算球的体积的相对误差不超过1%.例4 用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的四周各截去面积相等的小正方形，然后把四周折起,焊成铁盒.问在四周截去多大的正方形,才能使所做的铁盒容积最大?x3Vcm解解 设截去的小正方形的边长为cm,铁盒容积为根据题意有).24,0(,)248(2xxxV问题归纳为求x为何值时,函数V在区间(0,24)内取得最大值.),8)(24(12)2)(248(2)248(2xxxxxV令,0V 求得在(0,24)内的驻点x=8.由于函数在(0,24)内只有一个驻点,因此,当x=8时,V
42、取最大值.即截取的正方形边长为8 cm时,铁盒容积最大 例5(经济批量问题)某工厂全年计划生产某种产品4800件,分批生产,批量相同,每批生产准备费用8(单位:万元),每件产品年库存保管费0.03万元,假设成批入库,均匀出库(年平均库存量为批量的一半).问每批应生产多少件,才能使全年生产准备费用和库存保管费用之和最少?最少费用是多少?又全年生产多少批?解 设批量为Q,全年生产 Q4800批,全年生产准备费用为 Q48008因为是均匀出库,年平均库存量为 203.0,2QQ全年库存保管费为又设全年生产准备费用和库存保管费之和为F(Q),则 .200338400)(,200348008)(2QQF
43、QQQF由).1600(1600,0)(舍去得驻点QQQF又 .0)1600(,78600)(3 FQQF因此,Q=1600是F(Q)的极小点,也就是最小点.316004800481600批批数，）F（即全年生产3批,每批生产1600件能使全年生产准备费和库存保管费之和最小,最少费用为48万元.例6 汽车连同载重共5000kg，在抛物线拱桥上行驶，速度为21.6km/h，桥的跨度为10m，拱的净高为0.25m，求汽车越过桥顶时对桥的压力。xP5-5Oy解 如图拱桥的方程为20.25100 xy 汽车在顶点P处受到重力和桥的支撑力Q的作用 合力mgQ为汽车越过桥顶时的向心力F 视汽车在P点作匀速
44、圆周运动 则2mvFR其中R为P点处抛物线的曲率半径 由1,5050 xyy (0,0.25)P322150(1)yKy得点处的曲率故P点处的曲率半径150RmK从而25000(21600/3600)3600()50FN所以5000 9.8360045400()QmgFN ab例7 从宽为(m)的河修建一条宽为 (m)的运河，二者相交成直角，问：能驶进运河的船，其最大长度是多少？CBbaDA解 如图所示，能驶进运河的船最大长度为AC的最小值.设,02BAC则 cotABBDDAab从而sec(cot)secyACABab化简，得,0cossin2aby 332222sincossincoscossinsincosababy0y 30arctanba令得唯一驻点 000y 当时，020y；当时，0()yy故为的唯一极小值点，也是最小值点.所以，当0时，AC的值最小，从而所求船的最大长度为2232332000()1tan()()tanbyaab
