1、第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 5.1 5.1 系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念 5.2 5.2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 5.3 5.3 代数稳定性判据（代数稳定性判据（RouthRouth判据、判据、HurwitzHurwitz判据）判据）5.4 5.4 乃奎斯特稳定性判据（乃奎斯特稳定性判据（NyquistNyquist判判据）据）5.5 5.5 应用乃奎斯特判据分析延时系统的应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性稳定性 5.6 5.6 由伯德图判断系统的稳定性由伯德图判断系统的稳定性 5.7 5.7 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 5
2、.8 5.8 李雅普诺夫稳定性方法李雅普诺夫稳定性方法 见光盘课件（第五章第一节）见光盘课件（第五章第一节）系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件对于对于 上图所示控制系统，有上图所示控制系统，有 sG1 sG1 sG2 sH+-+N(s)sXi sXo sNbsbsbsbsXasasasaasasasabsbsbsbsHsGsGsGsNsXmmmmonnnnnnnnmmmmo11101110111011102121撤除扰动，即撤除扰动，即 按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于零，即零，即
3、当当 时，上式成立，以上条时，上式成立，以上条件形成系统稳定的充分必要条件之一。件形成系统稳定的充分必要条件之一。0011101110txatxatxatxasXasasasaononnonoonnnn 0sincos11torjjjjjtkitiotxtFtEeeDtxii0,0ji 对应闭环系统特征根的实部，因此对应闭环系统特征根的实部，因此对于定常线性系统，若系统所有特征根的对于定常线性系统，若系统所有特征根的实部均为负值，则零输入响应最终将衰减实部均为负值，则零输入响应最终将衰减到零，这样的系统就是稳定的。反之，若到零，这样的系统就是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，
4、特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入响应将随时间的推移而发散，这则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就是不稳定的。样的系统就是不稳定的。由此，可得出控由此，可得出控制系统稳定的另一充分必要条件是：系统制系统稳定的另一充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。系统特特征方程式的根全部具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传递函数的极点全部具有负实部，或说闭环递函数的极点全部具有负实部，或说闭环传递函数的极点全部在传递函数的极点全部在 ss平面的左半面。
5、平面的左半面。ji,劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 这一判据是基于方程式的根与系数的关这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立的。设系统特征方程为系而建立的。设系统特征方程为 式中，式中，为系统的特征根。为系统的特征根。021000110101110nnnnnnnnnssssssaaasaasaasaasasasansss,21由根与系数的关系可求得由根与系数的关系可求得 nnnnnnnnnnnssssssaasssssssssaassssssaasssaa1232101242132103131210221011;从上式可知，要使全部特征根均具有负实部，从上式可知，要使全部特征根均具有负实部，
6、就必须满足以下两个条件。就必须满足以下两个条件。（1 1）特征方程的各项系数）特征方程的各项系数 (i=0i=0，1 1，2 2，n)n)都不等于零。因为若有一个系数都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足上式；此时系统正有负的特征根，才能满足上式；此时系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。实部为正）。（2 2）特征方程的各项系数的符号都相同，）特征方程的各项系数的符号都相同，才能满足上式，按照惯例，才能满足上式，按照惯例，一般取正值，一般取正值，上述两
7、个条件可归结为系统稳定的一个必要上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即条件，即 0 0。但这只是一个必要条件。但这只是一个必要条件,既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为它不是充分条件。因为它不是充分条件。iaiaia 同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为正号，则系统一定稳定。正号，则系统一定稳定。劳斯阵列为劳斯阵列为 10112124321343212753116420wsvsuusccccsbbbbsaaaasaaaasnnnn其中系数根据下列公式计算：其中系数根据下列公式计算：系数的计算，一直进行到其余
8、的值都等于系数的计算，一直进行到其余的值都等于零时为止，用同样的前两行系数交叉相乘零时为止，用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算的方法，可以计算c c，d,ed,e等各行的系数，等各行的系数，170613150412130211aaaaabaaaaabaaaaab121211141713131512121311ccbbcdbbaabcbbaabcbbaabc 这种过程一直进行到第这种过程一直进行到第n n行被算完为止。系行被算完为止。系数的完整阵列呈现为三角形。在展开的阵数的完整阵列呈现为三角形。在展开的阵列中，为了简化其后的数值计算，可用一列中，为了简化其后的数值计算，可用一个正整数去
9、除或乘某一整个行。这时，并个正整数去除或乘某一整个行。这时，并不改变稳定性结论。劳斯判据还说明：实不改变稳定性结论。劳斯判据还说明：实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。列的系数符号改变的次数。例例:设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。0516178234ssss解：解：首先，由方程系数可知已满足稳定的首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列必要条件。其次，排劳斯阵列 由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符由劳斯阵列的第一列看出：第
10、一列中系数符号全为正值，所以控制系统稳定。号全为正值，所以控制系统稳定。53/40515168517101234sssss例例2 2 设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列要条件。其次，排劳斯阵列 第一列中系数改变符号两次，说明闭环系统第一列中系数改变符号两次，说明闭环系统有两个正实部的根，控制系统不稳定。有两个正实部的根，控制系统不稳定。32314233101234sssss03432234ssss对于特征方程
11、阶次低（对于特征方程阶次低（n3n3）的系统，劳斯的系统，劳斯判据可化为如下简单形式，以便于应用。判据可化为如下简单形式，以便于应用。二阶系统特征式为二阶系统特征式为 ，劳斯，劳斯表为表为 故二阶系统稳定的充要条件是故二阶系统稳定的充要条件是2asasa1202011202asasaas0a0,a0,a210三阶系统特征式为三阶系统特征式为 ，劳斯表为劳斯表为 故三阶系统稳定的充要条件是故三阶系统稳定的充要条件是 322130asasasa30030211312203asaaaaasaasaas30213210aaaa0,a0,a0,a0,a 例例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算设某反馈控
12、制系统如下图所示，试计算使系统稳定的使系统稳定的K K值范围。值范围。解：系统闭环传递函数为解：系统闭环传递函数为 21sssK sXo sXi KsssKsXsXio21特征方程为特征方程为 根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足稳定须满足 故使系统稳定的故使系统稳定的K K值范围为值范围为 0K6 0K0,b0)(a0,b0)S3=-a-S3=-a-jbjb 对于矢量（对于矢量（S-S2S-S2）和（和（S-S3S-S3）,当当S S：0j0j变化时变化时 22argargarctan2argarctan2arg3232ssssabssabs
13、s设设 SmSm为正实根，对于矢量（为正实根，对于矢量（S-S-SmSm）,当当S S：0j0j变化时变化时 图图5-6 5-6 正实根情况正实根情况 2argmss Sm Im Re 2 Im Re 1mS2mSa b-b 设设Sm+1Sm+1、Sm+2Sm+2为具有正实部的共轭复根，为具有正实部的共轭复根，Sm+1=Sm+1=c+jdc+jd (c0,d0)(c0,d0)Sm+2=Sm+2=c-jdc-jd 对于矢量（对于矢量（S-Sm+1S-Sm+1）和（和（S-Sm+2S-Sm+2）,当当S S：0j0j变化时变化时因此，因此，p p个左根的总角变化量为个左根的总角变化量为p(-/2)
14、p(-/2)。22argargarctan2argarctan2arg2121mmmmsssscdsscdss另外，原点根不引起角变化量。另外，原点根不引起角变化量。综上，综上，推论：如果推论：如果n n次多项式次多项式D(sD(s）的所有零点都的所有零点都位于复平面的左半面，则当以位于复平面的左半面，则当以s=js=j代入代入D D（s s）并命并命从从0 0连续增大到连续增大到时，复数时，复数D D（s s）的的角连续增大角连续增大 2222arg1qpnpqpnssini2arg1nssini 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函设反馈控制系统前向
15、通道和反馈通道传递函数分别为数分别为 ,则则其开环传递函数为其开环传递函数为 sAsBsHsAsBsG22111,sDsNsAsBsAsBsHsGKK22111分子为系统闭环特征多项式，而分母为系统分子为系统闭环特征多项式，而分母为系统开环特征多项式。由于系统开环传递函数分开环特征多项式。由于系统开环传递函数分母阶次大于等于分子阶次，故分子分母阶次母阶次大于等于分子阶次，故分子分母阶次相同，均为相同，均为n n阶。阶。sDsNsBsBsAsAsBsAsXsXBBio212112 sDsDsAsAsBsBsAsAsHsGKB21212111（1 1）如果开环极点均在）如果开环极点均在s s左半平
16、面，则根据左半平面，则根据米哈伊洛夫定理推论，米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，则则 2argnjDK0:2argnjDB0:0:01arg1jHjG（2 2）如果开环特征多项式有）如果开环特征多项式有P P个根在个根在s s右半平右半平面，面，q q个零点在原点，其余（个零点在原点，其余（n-p-qn-p-q）个根在个根在s s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论，左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即这时如果闭环系统是稳定的，即 的的
17、所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，理推论，22argqpnjDK0:sDB2argnjDB0:则则 或开环乃氏图相对（或开环乃氏图相对（-1-1，j0j0）点的角变化点的角变化量为量为 ，系统闭环后就是稳定的。，系统闭环后就是稳定的。也就是说，对于一个稳定的闭环系统而言，也就是说，对于一个稳定的闭环系统而言，当当从从0 0连续增大到连续增大到时，开环传递函数在右时，开环传递函数在右半平面的每一个极点使角增量为半平面的每一个极点使角增量为180180；开环；开环传递函数在原点处的每一个极点使角增量为传递函数在原点处的每一个极点使角增量为9090。
18、22221arg1qpqpnnjHjG0:2 qp这样，闭环系统是否稳定，可以从开环频率这样，闭环系统是否稳定，可以从开环频率特性的角增量来判断。特性的角增量来判断。设开环特征多项式在右半平面有设开环特征多项式在右半平面有p p个零点，原个零点，原点处有点处有q q个零点，其余（个零点，其余（n-p-qn-p-q）个零点在左个零点在左半平面，则乃奎斯特稳定判据可表述为：对半平面，则乃奎斯特稳定判据可表述为：对于系统开环乃氏图，当于系统开环乃氏图，当从从0 0到到变化时，其变化时，其相对（相对（-1-1，j0j0）点的角变化量为点的角变化量为时，系统闭环后稳定。时，系统闭环后稳定。2qp例例:某
19、反馈控制系统如图某反馈控制系统如图5-105-10所示。试问所示。试问k k为何值时，系统稳定。为何值时，系统稳定。解：解：系统开环传递函数系统开环传递函数 1TsKsG故故p=1,q=0p=1,q=0。当当K1K1时，频率特性为直径大于时，频率特性为直径大于1 1的半圆的半圆，其频率特性如上图所示，可见，其频率特性如上图所示，可见 此时系统稳定。此时系统稳定。当当00K1K1时，频率特性为直径小于时，频率特性为直径小于1 1的半的半圆，其频率特性如上图所示，可见圆，其频率特性如上图所示，可见 此时系统不稳定。此时系统不稳定。见光盘课件（第五章第四节）见光盘课件（第五章第四节）0180argj
20、G00argjG例例9 9 某反馈控制系统开环传递函数为某反馈控制系统开环传递函数为 当当K K为不同值时的频率特性，如图所示，试判为不同值时的频率特性，如图所示，试判别其稳定性。别其稳定性。105.011.0sssKsG解：因为解：因为p=0,q=1,p=0,q=1,故使系统稳定的条件应为故使系统稳定的条件应为 显然，对于显然，对于K K1010的频率特性，满足上式，系的频率特性，满足上式，系统稳定。对于统稳定。对于k=40k=40的频率特性，当的频率特性，当0 00)0）的充要条件为的充要条件为P P的所有主子行列的所有主子行列式为正。如果式为正。如果P P的所有主子行列式为非负，为的所有
21、主子行列式为非负，为正半定（记作正半定（记作V(x)0V(x)0）；）；如果如果-V(xV(x)为正定为正定,则则V(xV(x)为负定（记作为负定（记作V(xV(x)0)0）；）；如果如果-V(xV(x)为正半定为正半定,则则V(xV(x)为负半定（记作为负半定（记作V(x)0V(x)0）。x xx xx xP)(V例：例：正定。则)(V01121412110,041110,010 xxx1121412110 xxx)(V321321x xx x例：例：(0,0(0,0）是唯一的平衡状态。设正定的标量函）是唯一的平衡状态。设正定的标量函数为数为故系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。故系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。)()(22212122221121xxxxxxxxxx)V(,且当0)x2(x)x(xxx2x)x(xxx2xx2xx2xdtdxxVdtdxxV)(Vxx)V(2222122212122221121221122112221x xx xx xx x第五章作业第五章作业（p191194)5-4，5-5，5-6（1）（）（2），），5-9，5-21，选作：选作：5-11
