1、第4章 投影变换投影变换投影变换 4.1投影变换的方法 4.1.1概述 4.1.2常用方法 4.2换面法 4.2.1换面法基本规律 4.2.2 换面法可以解决的六个基本问题 4.2.3换面法应用实例4.1投影变换的方法投影变换的方法4.1.14.1.1概述概述在前面的章节中，我们分别讨论了点、直线和平面以及它们的相对位置的投影。在投影分析和解题过程中我们知道，当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（垂直或平行）时，其投影或具有积聚性或反映其真实形状，见表4-1。但当它们处于一般位置时，它们的投影就没有这些特性，此时解题作图就比较困难。为此我们可将几何元素与投影面的相对位置变换成处于有利解题位置，
2、这种变换的方法称为投影变换。4.1投影变换的方法投影变换的方法 表表4-1 4-1 空间几何元素对投影面处于有利于解题位置的一些情况空间几何元素对投影面处于有利于解题位置的一些情况实长（形）问题实长（形）问题角度问题角度问题线段的实长线段的实长平面的实形平面的实形两直线的夹角两直线的夹角直线与平面的夹直线与平面的夹角角两平面的夹角两平面的夹角XababXababccXababccXababcnmmncXccbdd(a)ab4.1投影变换的方法投影变换的方法距离问题距离问题点到直线的距点到直线的距离离两直线间的两直线间的距离距离点到平面的距点到平面的距离离直线到平面的距直线到平面的距离离两平面之
3、间的两平面之间的距离距离 表表4-1 4-1 空间几何元素对投影面处于有利于解题位置的一些情况空间几何元素对投影面处于有利于解题位置的一些情况Xab(a)bnnkkXabdckdhchk(a)bbXabeacceff bXabaccf eeff bXabeacefggc4.1投影变换的方法投影变换的方法相交问题相交问题直线与平面相交直线与平面相交两平面相交两平面相交直线有积聚性直线有积聚性平面有积聚性平面有积聚性一平面有积聚性一平面有积聚性两平面有积聚性两平面有积聚性 表表4-1 4-1 空间几何元素对投影面处于有利于解题位置的一些情况空间几何元素对投影面处于有利于解题位置的一些情况kbXab
4、ef accefkbckmXanckbmanbdcaecdbfeaXf nnmmm(n)ccbaddXefmabenf 4.1投影变换的方法投影变换的方法4.1.24.1.2常用方法常用方法当直线或平面处于不利于解题位置时，通常可进行投影变换，使变换后的位置有利于解题。常用的投影变换有换面法和旋转法。XX1V1VXHHVaAbBa1b1Cc1cabcABCA1ac(b)a1cbaa1(a)(a)换面法换面法 (b)(b)旋转法旋转法 图图4-14-1投影变换常用方法投影变换常用方法4.2换面法换面法 换面法就是保持空间几何元素在原投影体系中的位置不动，用新的投影面代替旧的投影面，使空间几何元素
5、对新的投影面的相对位置变成有利于解题的位置，然后作出在新投影面上的投影，以达到方便解题的目的。cCAXbBbcaXb1c1a1V11aV图图4-2变换投影面法变换投影面法注意：新投影面的选择必须符合以下两个条件：(1)新投影面必须处于有利于解题位置。(2)新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面，以组成一个新的两投影面体系。4.2换面法换面法4.2.14.2.1换面法基本规律换面法基本规律1）点的一次变换（1）变换H面-Y坐标值不变。VHXaxax1a1aaAVXX1H1VX1a1ax1axaa(a)(b)(a)(b)图图4-3 4-3 点的一次变换（变换点的一次变换（变换H H面）面）4
6、.2换面法换面法（2）变换V面-Z坐标值不变。VHXaxax1a1V1aaAVXX1V1HX1a1ax1axaa(a)(b)(a)(b)图图4-4 4-4 点的一次变换（变换点的一次变换（变换V V面）面）4.2换面法换面法综上所述，无论变换H面或V面，点的换面法的基本投影规律可归纳如下：点的新投影与不变投影的连线垂直于新投影轴。点的新投影到新投影轴的距离等于原（被代替的）投影到原投影轴的距离。4.2换面法换面法2）点的二次变换顺序变换两次投影面求点的新投影的方法，其原理和作图方法与变换一次投影面相同。但必须注意，要交替变换投影面，不能同时变换两个投影面，也不能两次都变换同一投影面，否则不能按
7、点的投影规律来求出新投影，究竟先换哪个面以有利于解题来决定。ZaXxaa2aAaAX1aVX1H2H11aX1V1aX22a1aX2V1XaHVXa2XaYA1a（原投影）（第一次不变投影）（第一次新投影）（第二次新投影）（第二次原投影）（第二次不变投影）X1X22H(a)(b)(a)(b)图图4-54-5点的二次变换点的二次变换4.2换面法换面法4.2.2 4.2.2 换面法可以解决的六个基本问题换面法可以解决的六个基本问题1）将一般位置直线变换成投影面平行线（1）求一般位置直线的实长和角VHXaxV1aaAVXV1HX1axaaX1bbb1a1Bbxax1bx1bb1a1bbxax1bx1
8、实长 (a)(b)(a)(b)图图4-6 4-6 一般位置直线变换成新投影面一般位置直线变换成新投影面(V1(V1面面)的平行线（求的平行线（求角）角）注意：设置新投影轴时，应使直线在新投影面体系中的两个投影分别位于新投影轴的两侧。4.2换面法换面法（2）求一般位置直线的实长和角 如果要求出直线AB的实长和对V面的倾角，则要变换H面，建立V/H1体系，使直线AB在新的投影面H1上成为水平线。作图时应以X1ab，如图4-7所示。VHXH1VX1axaaBbbbxax1bx1a1b1X1VXHabbaAa1b1H1实长 (a)(b)(a)(b)图图4-7 4-7 一般位置直线变换成新投影面一般位置
9、直线变换成新投影面(H1(H1面面)的平行线（求的平行线（求角）角）4.2换面法换面法2）将投影面平行线变换为投影面垂直线。将投影面平行线变换为投影面垂直线，可使直线投影积聚为一个点，从而解决求两直线间的距离、直线和平面的交点等度量和定位问题。分析投影面垂直线的投影特性可知，其反映实长的投影与投影轴垂直，因此建立新投影轴的关键是垂直于投影面平行线的反映实长的投影。VHXV1aaAVXHV1HX1aabba1(b1)BbbX1a1(b1)(a)(b)(a)(b)图图4-8 4-8 投影面平行线变换成新投影面（投影面平行线变换成新投影面（V1V1面）的垂直线面）的垂直线4.2换面法换面法3）把一般
10、位置直线变换成投影面垂直线 若取新投影面与一般位置直线垂直，则此新投影面既不能垂直V面，又不能垂直H面，违反了新投影面的设置原则。由上述两个变换可知，将一般位置直线变换成投影面垂直线，必须经过二次变换，第一次是将一般位置直线变换成投影面平行线，第二次是将投影面平行线变换成投影面垂直线。VHXaaAVXHaabba2(b2)BbbX1a2(b2)a1b1V1H2a1b1实长V1H2X2HX1V1X2 (a)(b)(a)(b)图图4-9 4-9 一般位置直线两次变换成为投影面垂直线一般位置直线两次变换成为投影面垂直线4.2换面法换面法4）将一般位置平面变换成投影面垂直面 为使一般位置平面变为投影面
11、垂直面，只需将属于该平面的任意一条直线变为新投影面的垂直线，从直线的换面方法可知，为简化作图，应在平面上任取一条投影面平行线为辅助线，然后取新投影面与辅助线垂直，则平面就是新投影面的垂直面。DbXbBdacVdCaAXbdccd11b111acbXHVadaVH1b11ac1Vc1d11XH (a)(b)(a)(b)图图4-104-10一般位置平面变换成投影面垂直面一般位置平面变换成投影面垂直面4.2换面法换面法5）将投影面垂直面变换成投影面平行面 将投影面垂直面变换成投影面平行面的目的是求其实形，分析投影面平行面的特性可知，其具有积聚性的投影与投影轴平行，因此建立新投影轴的关键是平行于投影面
12、垂直面的积聚成直线的投影。VHXaaAVXHaabbBbbX1a1b1V1a1b1实形HX1V1Cc1ccccc1 (a)(b)(a)(b)图图4-114-11投影面垂直面变换成投影面平行面投影面垂直面变换成投影面平行面4.2换面法换面法6）将一般位置平面变换成投影面平行面 要将一般位置平面变换成投影面平行面，只作一次换面是不行的。因为若取一新投影面平行于一般位置平面，则这个新投影面在V/H体系中也必定是一般位置平面，它与V面及H面均不垂直，不符合设置新投影面的原则。要解决这个问题，必须更换两次投影面。即第一次把一般位置平面变换成投影面垂直面，第二次再把该垂直面变换成投影面平行面。VHXaab
13、ba1b1(d1)实形HX1V1ccc1a2b2c2ddX2V1H2图图4-124-12一般位置平面变换成投影面平行面一般位置平面变换成投影面平行面4.2换面法换面法表表4-2 4-2 投影变换的方案选择投影变换的方案选择4.2换面法换面法4.2.34.2.3换面法应用实例换面法应用实例【例4-1】求K点到AB直线的距离（图4-13a）。(a)(a)题设题设akbabkk2a2(b2)(m2)XVHHV1H2X2akbakXVHKAMBa(b)(m)k距离实距akbabkk1a1b1m1XVHHV1X1mma1b1V1X1k1图图4-13 4-13 求点到直线的距离求点到直线的距离分析:如图4
14、-13b所示,只要将直线AB变为投影面的垂直线，则K点到AB的垂线KM必为该投影面的平行线，它在此投影面上的投影反映实长，即为所求距离，由已知可见AB是一般位置直线，需要两次变换。akbabkk2a2(b2)(m2)XVHHV1H2X2akbakXVHKAMBa(b)(m)k距离实距akbabkk1a1b1m1XVHHV1X1mma1b1V1X1k1 (b)(b)空间分析空间分析 (c)(c)一次变换一次变换 (d)(d)二次变换二次变换4.2换面法换面法【例4-2】求一般位置直线MN与一般位置平面ABC的交点K（图4-14a）aHXVmcnbnacmbaHXVcnbnacmbX1HV1n1m
15、1a1b1c1k1mkkeee1 （a a）图图4-14 4-14 求一般位置直线与一般位置平面的交点求一般位置直线与一般位置平面的交点分析：已知直线和平面都处于不利于求交点的位置，可一次变换将ABC变换成投影面垂直面，利用具有积聚性的投影可方便求出交点。aHXVmcnbnacmbaHXVcnbnacmbX1HV1n1m1a1b1c1k1mkkeee1(b)(b)4.2换面法换面法【例4-3】求ABC和ABD之间的夹角（图4-15）。HVXdbabccdaHVXdbabccdadcb(a)CDBAd1c1a1b1b2(a2)d2c2V1X1V1H2X2(a)图图4-15 4-15 求两三角形平
16、面之间的夹角求两三角形平面之间的夹角HVXdbabccdaHVXdbabccdadcb(a)CDBAd1c1a1b1b2(a2)d2c2V1X1V1H2X2(b)分析：当两三角形平面同时垂直于某投影面时，它们在该投影面上的投影分别积聚成两条直线，这两条直线的夹角即是两平面的夹角。作图时只要将两平面的交线变换为投影面的垂直线，便可求得它们的夹角，由ABC和ABD的交线AB是一般位置直线，需要两次变换，空间分析如图4-15b 所示。HVXdbabccdaHVXdbabccdadcb(a)CDBAd1c1a1b1b2(a2)d2c2V1X1V1H2X2(c)4.2换面法换面法【例4-4】求交叉两直线
17、AB和CD间的距离（图4-16）。分析：交叉两直线的距离即两直线公垂线的实长，由图4-16b空间分析可见，若将直线之一变换成投影面垂直线，则公垂线必平行于该投影面，在该投影面上的投影反映实长。cbdcbXVHCKDc(d)(k)g距离aadHGABab(a)(a)题设题设cbdcbXVHCKDc(d)(k)g距离aadHGABab(b)(b)空间分析空间分析图图4-16 4-16 求交叉两直线求交叉两直线ABAB和和CDCD间的距离间的距离4.2换面法换面法V1H2X2平行a1b1HV1X1cbdcbXVHaadc1d1c2(d2)(k2)a2b2g2k1g1gkkga1b1HV1X1cbdcbXVHaadc1d1实距 (c)(c)一次变换一次变换 (d)(d)二次变换并返回二次变换并返回cbdcbXVHCKDc(d)(k)g距离aadHGABab(a)(a)题设题设 (b)(b)空间分析空间分析图图4-16 4-16 求交叉两直线求交叉两直线ABAB和和CDCD间的距离间的距离Thanks!Thanks!
