1、1.2命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲考情考向分析1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；两个
2、命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即Ax|p(x)，Bx|q(x)，则由AB可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系提示若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件题组一思考辨析1判断下
3、列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“对顶角相等”是命题()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真()题组二教材改编2下列命题是真命题的是()A矩形的对角线相等B若ab，cd，则acbdC若整数a是素数，则a是奇数D命题“若x20，则x1”的逆否命题答案A3命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是_答案两直线不平行，同位角不相等4“x30”是“(x3)(x4)0”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要题组
4、三易错自纠5设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案C解析xyx|y|(如x1，y2)，但当x|y|时，能有xy.“xy”是“x|y|”的必要不充分条件6已知p：xa是q：2x3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_答案(，2解析由已知，可得x|2xa，a2.题型一命题及其关系1某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是()A不拥有的人们会幸福 B幸福的人们不都拥有C拥有的人们不幸福 D不拥有的人们不幸福答案D2已知下列三个命题：若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；若两组数据的平均数相等，
5、则它们的方差也相等；直线xy10与圆x2y2相切其中真命题的序号是_答案3有下列四个命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中真命题为_(填写所有真命题的序号)答案解析“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”，显然是真命题，故正确；“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故正确；若x22xm0有实数解，则44m0，解得m1，所以“若m1，则x22xm0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故正确；若ABB，
6、则BA，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故错误4设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是_答案若方程x2xm0没有实根，则m0思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假题型二充分、必要条件的判定例1 (1)已知，均为第一象限角，那么“”是“sin sin ”的()A充分
7、不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D解析取，成立，而sin sin ，sin sin 不成立充分性不成立；取，sin sin ，但”是“sin sin ”的既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x1或xx2，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由5x6x2，得2x3，即q：2x3.所以qp，pq，所以pq，qp，所以p是q的充分不必要条件，故选A.思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进
8、行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题跟踪训练1 (1)王安石在游褒禅山记中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A充要条件 B既不充分也不必要条件C充分不必要条件 D必要不充分条件答案D解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件(2)设p：x1，q：log2x0，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由x0，所以p对
9、应的集合为(0，)，由log2x0知0x1，所以q对应的集合为(0,1)，显然(0,1)(0，)，所以p是q的必要不充分条件题型三充分、必要条件的应用例2 已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，求m的取值范围解由x28x200，得2x10，Px|2x10由xP是xS的必要条件，知SP.则当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件解若xP是xS的充要条件，则PS，方程组无解，即不存在实数m，使xP是xS的充要条件思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时
10、需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验跟踪训练2 (1)设p：|2x1|0)；q：0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_答案(0,2解析由|2x1|0)，得m2x1m，x0，得x1.p是q的充分不必要条件，又m0，0a1或xap是q的必要不充分条件，或0a.方法二命题p为A，命题q为Bx|axa1p是q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件，即AB.或0a.素养提升例题中得到实数a的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰1已知命题p：若a1
11、，则a21，则下列说法正确的是()A命题p是真命题B命题p的逆命题是真命题C命题p的否命题是“若a1，则a21”D命题p的逆否命题是“若a21，则a1，命题p为假命题，A不正确；命题p的逆命题是“若a21，则a1”，为真命题，B正确；命题p的否命题是“若a1，则a21”，C不正确；命题p的逆否命题是“若a21，则a1”，D不正确故选B.2已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A逆命题 B否命题C逆否命题 D否定答案B解析命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题3(2018天津)设xR，
12、则“”是“x31”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由，得0x1，则0x31，即“”“x31”；由x31，得x1，当x0时，即“x31”“”所以“”是“x31”的充分不必要条件故选A.4(2018抚顺模拟)设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由(ab)a20可知a20，则一定有ab0，即ab；但ab即ab0时，有可能a0，所以(ab)a20不一定成立，故“(ab)a20”是“a0，则x0且y0”的否命题；“矩形的对角线相等”的否命题；“若m1，则mx22(m1
13、)xm30的解集是R”的逆命题；“若a7是无理数，则a是无理数”的逆否命题其中正确的是()A B C D答案C解析的逆命题“若x0且y0，则xy0”为真，故否命题为真；的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；的逆命题为“若mx22(m1)xm30的解集为R，则m1”因为当m0时，解集不是R，所以应有即m1.所以是真命题；原命题为真，逆否命题也为真6若实数a，b满足a0，b0，则“ab”是“aln abln b”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析设f(x)xln x，显然f(x)在(0，)上单调递增，ab，f(a)f(b)，aln a
14、bln b，故充分性成立；aln abln b，f(a)f(b)，ab，故必要性成立，故“ab”是“aln abln b”的充要条件，故选C.7已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析方法一数列an是公差为d的等差数列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d,2S510a120d.若d0，则21d20d,10a121d10a120d，即S4S62S5.若S4S62S5，则10a121d10a120d，即21d20d，d0.“d0”是“S4
15、S62S5”的充分必要条件故选C.方法二S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0.“d0”是“S4S62S5”的充分必要条件故选C.8已知p：xk，q：(x1)(2x)0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A2，) B(2，)C1，) D(，1答案B解析由q：(x1)(2x)0，得x2，又p是q的充分不必要条件，所以k2，即实数k的取值范围是(2，)，故选B.9有下列几个命题：“若ab，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2xsin B”是“ABC为钝角三角形”的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要
16、”“既不充分也不必要”)答案充要解析因为cos Asin B，所以cos Acos，因为角A，B均为锐角，所以B为锐角，又因为余弦函数ycos x在(0，)上单调递减，所以AB，所以AB，所以ABC为钝角三角形；若ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，则C，所以AB，所以Acos，即cos Asin B.故“cos Asin B”是“ABC为钝角三角形”的充要条件12已知集合A，Bx|1xm1，mR，若xB成立的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是_答案(2，)解析因为Ax|1x3，即m2.13已知，(0，)，则“sin sin ”是“sin()”的_条件(选填“充分不必要”“必要不
17、充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析因为sin()sin cos cos sin sin sin ，所以若sin sin ，则有sin()，故充分性成立；当时，有sin()sin 0，而sin sin 112，不满足sin sin ，故必要性不成立所以“sin sin ”是“sin()”的充分不必要条件14已知不等式|xm|1成立的充分不必要条件是x，则m的取值范围是_答案解析解不等式|xm|1，得m1xm1.由题意可得(m1，m1)，故且等号不同时成立，解得m.15已知p：实数m满足3am0)，q：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是_答案解析由2mm10，解得1m，即q：1m.因为p是q的充分条件，所以解得a，所以实数a的取值范围是.16已知集合A，Bx|xm22，p：xA，q：xB，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是_答案解析由yx2x12，0x2，得y2，A.又由题意知AB，2m2，m2.m或m.
