1、2.1.2指数函数及其性质高中数学新课标人教高中数学新课标人教A A版必修版必修第一课时 在印度有一个古老的传说：舍罕王 打算奖赏国际象棋的发明人-宰相 西萨班达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!国王觉得这要求太容易满足了，命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。棋盘上的麦粒棋盘上的麦粒总数为：=1844674407370955
2、1615(粒)，1000粒约40克麦粒有7000多亿吨（现每年全球的小麦总量约6.5亿吨）2.2.庄子庄子天下篇中写道：天下篇中写道：“一尺之棰，日取其半万一尺之棰，日取其半万世不竭世不竭”.”.请你写出截取次后，木棰的剩留量与截取请你写出截取次后，木棰的剩留量与截取次数的关系式次数的关系式 yxxx1 1现在假设棋盘上第一格给现在假设棋盘上第一格给2 2粒麦子，第二格给粒麦子，第二格给4 4粒，第粒，第三格给三格给8 8粒粒，到第，到第 格时，格时，请写出请写出给的麦子粒数给的麦子粒数 与格子数与格子数 的关系式。的关系式。xxyx交流探讨、形成概念交流探讨、形成概念 木棰剩余量木棰剩余量麦
3、子粒数麦子粒数yxyxx2122232421)21(2)21(3)21(4)21(x)21(。域是是自变量，函数的定义函数，其中叫做指数一般地，函数Rxaaayx)1,0(:定义:以上两个函数有何设问1共同特征?;)1(均为幂的形式;)2(底数是一个正的常数.)3(在指数位置自变量xxy)21(xy2 我们把这种自变我们把这种自变量在指数位置上而底量在指数位置上而底数是一个大于数是一个大于0且不等且不等于于1的常量的函数叫做的常量的函数叫做指数函数指数函数.概念剖析说明说明1:为何规定为何规定a 0，且，且a 1?01a;0,0;0,02无无意意义义如如无无意意义义时时恒恒成成立立时时则则 x
4、xaxax;,41,21,)2(,在在实实数数范范围围内内无无意意义义当当如如值值失失去去意意义义对对某某些些 xyxaxx,0 a若若,0 a若若是是一一个个常常数数1 xay,1 a若若指数函数的特征：指数函数的特征：【提示】依据指数函数【提示】依据指数函数yax(a0且且a1)解析解析式的结构特征：式的结构特征：底数：大于零且不等于底数：大于零且不等于1的常数；的常数；指数：自变量指数：自变量x；系数：系数：1；只有一项只有一项ax.说明说明2下列函数中，哪些是指数函数？下列函数中，哪些是指数函数？2(2)yx(3)2xy (4)2xy (5)xy2(6)2xy(7)xyx(8)24xy
5、(9)(21)xya1(1)2aa且(1)2xy 底数：大于零且不等于底数：大于零且不等于1 1的常数；的常数；指数：自变量指数：自变量x；系数：系数：1.1.只有一项只有一项ax练习：练习：1.下列函数是指数函数的是下列函数是指数函数的是 （）A.y=(-3)x B.y=3x+1 C.y=-3x+1 D.y=3-x2.函数函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数，求是指数函数，求 a的值的值.解：由指数函数解：由指数函数 的定义有的定义有a2 -3a+3=1a0 a 1 a=2a=1或或a=2a0a1解得解得研究函数的一般思路：研究函数的一般思路：研究函数的一般方法是：研究函数的一般方法
6、是：从从哪哪些些角角度度研研究究？函函数数，如如何何研研究究？问问题题三三：要要研研究究一一种种新新函数的函数的图象图象函数的函数的性质性质特殊的特殊的函数函数函数的函数的定义定义用性质用性质解问题解问题探求新知、深化理解探求新知、深化理解呢呢？需需要要研研究究它它的的哪哪些些性性质质问问题题四四：研研究究一一个个函函数数特殊点特殊点 定义域定义域奇偶性奇偶性单调性单调性值域值域对称性对称性探求新知、深化理解探求新知、深化理解设问2：已知函数的解析式，怎么得到函 数的图象，一般用什么方法？列表、描点、连线作图2xy 12xy在同一直角坐标系画出在同一直角坐标系画出 ，的图象。的图象。并观察：两
7、个函数的图象有什么关系？并观察：两个函数的图象有什么关系？观察：两个函数的图象有什么关系？观察：两个函数的图象有什么关系？1()2xy 两个函数图像关于两个函数图像关于y轴对称轴对称比较图象 得出特征654321-4-224q x xh x xg x xf x x(0,1)a 的范围的范围 a 10 a 0时，时，y1x0时，时，0y1(y轴轴右右侧，在直线侧，在直线y=1下方下方)x0时，时，0y1（y轴轴左左侧，在直线侧，在直线y=1的下方）的下方）x1（y轴轴左左侧，在直线侧，在直线y=1的上方）的上方）图象图象定义域定义域值域值域定点定点单调性单调性函数值函数值的变化的变化范围范围(y
8、轴轴右右侧，在直线侧，在直线y=1上方上方)xyoxyo比较图象 得出特征探究探究1:不同底数的指数函数图象有什么特点？不同底数的指数函数图象有什么特点？比较图象 得出特征xoy123456781 2 3 4 12341 2 3 4 1234xy10 xy3xy2xy21xy31xy101当当a1时，时，a越越大，大，y=ax越靠越靠近坐标轴近坐标轴.当当0a1时，时，a越小，越小，y=ax越越靠近坐标轴靠近坐标轴.当指数函数底数大于当指数函数底数大于1时，图象上升时，图象上升，且，且底数越大时图象向上越靠近于底数越大时图象向上越靠近于y轴轴；当底数大于当底数大于0小于小于1时，图象下降，时，
9、图象下降，底数底数越小图象向右越靠近于越小图象向右越靠近于x轴轴0cd1ab.探究探究2：比较：比较a、b、c、d的大小的大小.2.指数函数的图象和性质xy0y=1y=ax(0,1)y0 x y=ax 性质 0a11.定义域为R，值域为(0,+).2.过定点（0，1）即x=0时，y=13.在R上是增函数 3.在R上是减函数4.当x0时,y1;当x0时,0y0时,0y1;当x1.5.既不是奇函数也不是偶函数.图 象(0,1)y=1例2.比较下列各题中两个值的大小：(1)1.52.5,1.5 3.2；(2)0.5 1.2,0.5 1.5(1)考察指数函数y=1.5x.由于底数1.51,所以指数函数
10、y=1.5x 在R上是增函数.解：2.53.2 1.52.5-1.5 0.5-1.27.17.135.2)3(法一法一:图象法图象法法二法二:作商法作商法 (两个指数式的商与两个指数式的商与1比较比较)3.03.0323.03.04.07.0练习练习:,)35.2(35.27.17.17.17.17.17.135.2,1)65(010,0)65(即时的性质，当根据函数yxyx0,且y1.解 (1)(2)21,012xx得由 函数的定义域为 ),21,012x125.0012x.1,0(函数的值域为xy0y=1y=ax(0,1)y0 x y=ax 性质 0a11.定义域为R，值域为(0,+).2
11、.过定点（0，1）即x=0时，y=13.在R上是增函数 3.在R上是减函数4.当x0时,y1;当x0时,0y0时,0y1;当x1.5.既不是奇函数也不是偶函数.图 象(0,1)y=12.指数函数的图象和性质练习：练习：y=ax(a0且 a1)图象必过 点_2 y=ax-2(a0且 a1)图象必 过点_y=ax+3-1(a0且 a1)图象 必过点_(0,1)(2,1)(-3,0)xy0y=1y=ax(0,1)y0 x y=ax 性质 0a11.定义域为R，值域为(0,+).2.过定点（0，1）即x=0时，y=13.在R上是增函数 3.在R上是减函数4.当x0时,y1;当x0时,0y0时,0y1;
12、当x1.5.既不是奇函数也不是偶函数.图 象(0,1)y=1求定点，先令指数为求定点，先令指数为0，再，再计算计算x,y的值的值 已知指数函数已知指数函数 的图像经过点的图像经过点 求求 的值的值.0,1xf xaaa3,013fff、待定系数法求待定系数法求a例例5：实际应用：实际应用 截止到截止到1999年底，我国人口约年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在控制在1%，那么经过，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？年份经过年数人口数（亿）19990200012001220023199
13、9+13 13（1+1%）13（1+1%）213（1+1%）3 13（1+1%）当当x=20 x=20时，时，y=13y=131.011.0120 20 1616（亿）（亿）.解：设今后人口年平均增长率为解：设今后人口年平均增长率为11，经过，经过x x年后，我国人口数年后，我国人口数为为y y亿亿.19991999年底，我国人口约为年底，我国人口约为1313亿；经过亿；经过1 1年（即年（即20002000年），人口年），人口数为数为 13+13 13+13 1=13 1=13（1+11+1）(亿亿););经过经过2 2年（即年（即20012001年），人口数为年），人口数为 1313（1+
14、11+1）+13+13（1+11+1）1 1 =13 =13（1+11+1）2 2 （亿）；（亿）；经过经过3 3年（即年（即20022002年），人口数为年），人口数为 1313（1+11+1）2 2+13+13（1+11+1）2 2 1 1 =13 =13（1+11+1）3 3 （亿）；（亿）；所以，经过所以，经过x x年后年后,人口数为人口数为 y=13y=13（1+11+1）x x=13=131.011.01x x(亿）亿）.所以，经过所以，经过2020年后年后,我国人口数最多为我国人口数最多为1616亿。亿。（1）如果人口年均增长率提高）如果人口年均增长率提高1个百分点，利个百分点，
15、利用计算器分别计算用计算器分别计算20年，年，33年后我国的人口数年后我国的人口数.y=13（1+2）x=131.02 xy2019(亿)，y3325（亿）（2）如果年均增长率保持在）如果年均增长率保持在2%，利用计算器，利用计算器计算计算20202100年，每隔年，每隔5年相应的人口数年相应的人口数.l 2020 20，2025 ,l 2030 ,2035 ,l 2100 .22242796（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？（4）你是如何看待我国的计划生育政策的？）你是如何看待我国的计划生育政策的？习题2.1B组题3 课堂小结课堂小结1.1.指数
16、函数的概念指数函数的概念2.2.指数函数的图像和性质指数函数的图像和性质3.3.指数函数性质的简单应用指数函数性质的简单应用 数形结合，由具体到一般数形结合，由具体到一般1.定义域为定义域为R，值域为，值域为(0,+).2.当当x=0时，时，y=13.3.在在R R上是增函数上是增函数3.3.在在R R上是减函数上是减函数4.非奇非偶函数非奇非偶函数x函函 数数 图图 象象1.定义域为定义域为R，值域为，值域为(0,+).2.当当x=0时，时，y=13.3.在在R R上是增函数上是增函数4.非奇非偶函数非奇非偶函数1.定义域为定义域为R，值域为，值域为(0,+).2.当当x=0时，时，y=13.3.在在R R上是增函数上是增函数4.非奇非偶函数非奇非偶函数y0 a1函数性质函数性质思想与方法思想与方法:y=1(0,1)x在第一象限内，按逆时针方向旋转，底数a越来越大0a1谢谢大家
