1、对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、基本概念一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面的投影问题曲面的投影问题:在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块 曲曲面面 S 面面在在xoyS,为为上上的的投投影影xyS)(.0cos00cos
2、)(0cos)()(时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 类似地可定义类似地可定义zxyxSSzoxyozS)()(和和面上的投影面上的投影及及在在二、概念的引入二、概念的引入实例实例:流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.(1 1)流流速速场场为为常常向向量量 v,有有向向平平面面区区域域A A,求求单单位位时时间间流流过过A A的的流流体体的的质质量量(假假定定密密度度为为 1 1).A Av 0nAvnvAvA 0cos 流量流量(2 2)设设稳稳定定流流动动的的不不可可压压缩缩流流体体(假假定定密密度度为为 1 1)的的速速度度
3、场场由由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(给给出出,是是速速度度场场中中的的一一片片有有向向曲曲面面,函函数数),(),(),(zyxRzyxQzyxP都都在在上上连连续续,求求在在单单位位时时间间内内流流向向指指定定侧侧的的流流体体的的质质量量.xyzo 1.分割分割 把曲面分成把曲面分成n小块小块is(is 同时也代表同时也代表第第i小块曲面的面积小块曲面的面积),),在在is 上任取一点上任取一点),(iii ,xyzo in),(iii iS iv则该点流速为则该点流速为 .iv法向量为法向量为 .in,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiii
4、iiiiii 该该点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 ,通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为).,2,1(niSnviii 2.求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiiSnv1iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 3.3.取极限取极限0.的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 三、概念及性质三、概念及性质定义定义 设为光滑的有向曲面设为光滑的有向曲面,函数在上有函数在上有界界
5、,把分成把分成n块小曲面块小曲面iS(iS 同时又表示第同时又表示第 i块小曲面的面积块小曲面的面积),),iS 在在xoy面上的投影为面上的投影为xyiS)(,),(iii 是是iS 上任意取定的一点上任意取定的一点,如如果当各小块曲面的直径的最大值果当各小块曲面的直径的最大值0 时时,nixyiiiiSR10)(,(lim 存存在在,则则称称此此极极限限为为函函数数),(zyxR在在有有向向曲曲面面上上对对坐坐标标yx,的的曲曲面面积积分分(也也称称第第二二类类曲曲面面积积分分)记记作作 dxdyzyxR),(,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(积分曲面积分
6、曲面被积函数被积函数有向面积元有向面积元类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),(nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),(存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在.组合形式组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(物理意义物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(性质性质:由定义可知对坐标的曲面积分具有与由定义可知对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的
7、性质对坐标的曲线积分相类似的性质1。可加性可加性 2121 RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz2。反向性反向性 dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),()(21的侧要相容的侧要相容与与 四、对坐标的曲面积分的计算法四、对坐标的曲面积分的计算法 设积分曲面是由设积分曲面是由方程方程),(yxzz 所给所给出的曲面上侧出的曲面上侧,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyD,函数函数),(yxzz 在在xyD上具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导
8、数,被积函数被积函数),(zyxR在在上连续上连续.xyzo),(yxfz xyDxys)(nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(),(,)()(,0cos,iiixyxyizS 又又取上侧取上侧 nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即,)()(,0cos,xyxyiS 取下侧取下侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则有则有给出给出由由如果
9、如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式概括为概括为：代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）面）定号：定号：由曲面的方向，即曲面的
10、侧确定二重积分由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号的正负号一代、二投、三定号一代、二投、三定号注注 积分曲面的方程必须表示为积分曲面的方程必须表示为单值显函数单值显函数 否则分片计算，结果相加否则分片计算，结果相加确定正负号的原则：确定正负号的原则：曲面取曲面取上上侧、侧、前前侧、侧、右右侧时为侧时为正正 曲面取曲面取下下侧、侧、后后侧、侧、左左侧时为侧时为负负例例1 计算计算 ydzdxxdydzzdzdy30122 zzyx及及被平面被平面是柱面是柱面 所截得的在第一卦限的部分的前侧所截得的在第一卦限的部分的前侧解解0的投影区域的面积为的投影区域的面积为在在由于由于xoy 0zd
11、xdy故故面面的的投投影影区区域域为为在在yoz 10,30:yzDyz yzDdydzyxdydz21故故 301021dyydz43 面面的的投投影影区区域域为为在在zox 10,30:xzDzx zxDdzdxxydzdx4312故故 23ydzdxxdydzzdxdy 计算计算 xyzdxdy 其中是球面其中是球面1222 zyx外侧外侧 在在0,0 yx的部分的部分.xyz1 2 解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz 例例2 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyD
12、dxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 例例3 计算计算 yzdzdxxydydzxzdxdy是是其中其中 平面平面 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 所围成的所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧空间区域的整个边界曲面的外侧oxyz解解 分成四个部分分成四个部分1,0:1 zxy 左侧左侧1,0:2 yxz 下侧下侧1,0:3 zyx 后侧后侧所截得的部分所截得的部分被被0,0,01:4 zyxzyx 上侧上侧1 2 3 4 上上在在1 10 yzdzdxxydydzxzdxdy)0,0,(1 zzoxyozxoy面上面上而在而在面上的投影为面上的投影为
13、在在因因 同理同理 20 yzdzdxxydydzxzdxdy 30 yzdzdxxydydzxzdxdy上上在在4 4)1(xyDdxdyyxxxzdxdy 1010)1(xdyyxxdx241 同理同理 4241 xydydz 4241 yzdzdx yzdzdxxydydzxzdxdy81 注注对坐标的曲面积分的对称性对坐标的曲面积分的对称性 被积表达式具有轮换对称性，即将被积被积表达式具有轮换对称性，即将被积 表达式中的所有字母按表达式中的所有字母按xyz顺序代换后原式不变顺序代换后原式不变 积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面 在各坐标面上的投影区
14、域均相同，且配给在各坐标面上的投影区域均相同，且配给 的符号也相同的符号也相同五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系 设设有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 给给出出,在在xoy面面上上的的投投影影区区域域为为xyD,函函数数),(yxzz 在在xyD 上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,),(zyxR在在上上连连续续.),(yxfz xyzoxyDdsn对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分为为 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(曲面的法向量的方向余弦为曲面的法向量的方向余弦为 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzz
15、zzzzz 对对面面积积的的曲曲面面积积分分为为 xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),(所所以以dSzyxRdxdyzyxR cos),(),(注注意意取取曲曲面面的的两两侧侧均均成成立立)两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(向量形式向量形式 dSASdAdSnASdAn或或其中其中cos,cos,cos,nRQPA为为有向曲面上点有向曲面上点),(zyx处的单位法向量处的单位法向量,dxdydzdxdydzdSnSd 称 为称 为 有有 向 曲 面向 曲 面元元,nA为向量为向量A在在n上的投影上的投影
16、.例例4 计算计算zdxdydydzxz )(2,其中是旋转其中是旋转抛物面抛物面)(2122yxz 介于平面介于平面0 z及及 2 z之间的部分的下侧之间的部分的下侧.解解 dydzxz)(2 dsxz cos)(2 dxdyxz coscos)(2有有上上在曲面在曲面,.11cos,1cos2222yxyxx dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.8 注注此例的解法具有普遍性此例的解法具有普遍性Dyxyxzz ),(,),(的方程为的方程为设光
17、滑曲面设光滑曲面 取上侧取上侧 上连续上连续在在 RQP,RdxdyQdzdxPdydz DyzyxzyxQxzyxzyxP),(,),(,dxdyyxzyxR),(,六、小结六、小结1 1、物理意义、物理意义2 2、计算时应注意以下两点、计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投,二代二代,三定号三定号”思考题思考题 设设 为球面为球面1222 zyx，若以其球，若以其球面的外侧为正侧，试问面的外侧为正侧，试问221zxy 之之左侧（即左侧（即oy轴与其法线成钝角的一侧）是正轴与其法线成钝角的一侧）是正侧吗？那么侧吗？那么221zxy 的左侧是正的左侧是正侧吗？侧吗？思考题解答思考题解答
18、此时此时 的左侧为的左侧为负负侧，侧，221zxy 而而 的左侧为的左侧为正正侧侧.221zxy 练练 习习 题题一、一、填空题填空题:1 1、dzdxzyxQdzdxzyxQ),(),(=_.2 2、第二类曲面积分、第二类曲面积分dxdyRQdzdxPdydz 化成第化成第 一类曲面积分是一类曲面积分是_，其中，其中 ,为有向为有向 曲面曲面 上点上点),(zyx处的处的_的方向角的方向角.二二、计计算算下下列列对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分:1 1、ydzdxxdydzzdxdy,其其中中 是是柱柱面面122 yx 被被平平面面0 z及及3 z所所截截得得的的在在第第一一卦卦限限内内的的
19、部部分分的的 前前侧侧；2 2、yzdzdxxydydzxzdxdy,其中其中 是平面是平面 1,0,0,0 zyxzyx所围成的空间区所围成的空间区 域的整个边界曲面的外侧；域的整个边界曲面的外侧；3 3、dxdyyxez 22,其中其中 为锥面为锥面22yxz 和和 2,1 zz所围立体整个表面的外侧所围立体整个表面的外侧.三、把对坐标的曲面积分三、把对坐标的曲面积分 dzdxzyxQdydzzyxP),(),(dxdyzyxR),(化化成对面积的曲面积分成对面积的曲面积分,其中其中 是平面是平面63223 zyx在第一卦限的部分的上侧在第一卦限的部分的上侧.练习题答案练习题答案一、一、1 1、0 0；2 2、dSRQP)coscoscos(,法向量法向量.二、二、1 1、23；2 2、81；3 3、22 e.三、三、dSRQP)5325253(.
