1、第八章 多元函数微分学多元函数第一节偏导数第二节全微分第三节多元函数微分学在几何上的应用第四节第八章 多元函数微分学在前面所学的内容中我们所讨论的函数只有一个自变量，称为一元函数，但在许多实际问题中，所遇到的函数的自变量往往是两个或两个以上，这一类函数称为多元函数.本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数的微分学，主要包括多元函数的概念及二元函数的极限和连续、偏导数、全微分及其应用，重点讲解求解二元函数的偏导数和全微分的方法及其在几何上的应用.多元函数多元函数第 一节一、多元函数的概念预备知识预备知识1.在上册我们研究一元函数的微积分学时，其概念、理论和方法都是基于一维空间中(即数轴上)的点
2、集、两点间距离、区间和邻域等概念，为了将一元函数的微积分学推广到多元函数的情形，必须将上述概念加以推广，以供我们研究多元函数时使用.一、多元函数的概念1 1）平面点集和）平面点集和n n维空间维空间平面点集是指平面上满足某个条件P的一切点构成的集合.在平面解析几何中，平面上的点与有序二元实数组之间建立了一一对应，由此可借助于平面坐标来描述平面点集.例如，平面上以原点为中心，以1为半径的圆的内部就是一个平面点集(见图8-1)，它可表示成E=(x,y)|x2+y20，以P0为中心，为半径的圆的内部点P(x,y)的全体构成的点集，称为点P0的邻域，记作U(P0,)，即U(P0,)=(x,y)|(xx
3、0)2+(yy0)2.在点P0的邻域内，如果去掉中心点P0，则称为点P0的去心邻域，记作U(P0,)，即 U(P0,)=(x,y)|0(xx0)2+(yy0)2.一、多元函数的概念3 3）内点、外点、边界点）内点、外点、边界点(1)内点：设E是平面点集，P是平面上一点，如果存在P的某一邻域，此邻域内的点都属于E，则称点P为点集E的内点(见图8-2).图图 8-2 8-2一、多元函数的概念(2)外点：设E是平面点集，P是平面上一点，如果存在P的某一邻域，此邻域内的点都不属于E，则称点P为点集E的外点(见图8-3).图图 8-3 8-3一、多元函数的概念(3)边界点：设E是平面点集，P是平面上一点
4、，如果P的任一邻域内既有属于E的点，又有不属于E的点，则称点P为点集E的边界点(见图8-4).E的边界点的全体称为E的边界.图图 8-4 8-4一、多元函数的概念例如，单位圆内的点都是圆的内点，单位圆上的点都是圆的边界点，单位圆外的点都是圆的外点，单位圆周为圆的边界.边界点可能属于点集E，也可能不属于点集E.注注一、多元函数的概念4 4）开集和连通集）开集和连通集如果集合E中的每个点都是内点，则称E是开集.对于开集E，如果E中的任何两点都可以用E中的折线连接起来，则称E是连通集.一、多元函数的概念5 5）区域和闭区域）区域和闭区域连通的开集E称为区域或开区域.开区域E连同它的边界一起称为闭区域
5、.在不混淆的情况下，开区域和闭区域统称为区域.一、多元函数的概念6 6）有界区域和无界区域）有界区域和无界区域对于平面区域E，如果存在某一正数r，使得EU(O,r)，其中O是坐标原点，则称区域E为有界区域.否则，称区域E为无界区域.例如，区域E=(x,y)|x2+y21是有界区域；区域E=(x,y)|x2+y21是有界闭区域；区域E=(x,y)|x+y0,h0)内取定一对数值(a0,h0)时，根据给定的关系S就有一个确定的值S0=12a0h0与之对应.二元函数的定义二元函数的定义2.引列引列2 2设Z表示居民人均消费水平，Y表示国民收入总额，P表示总人口数，则有Z=S1S2YP，其中S1是消费
6、率(国民收入总额中用于消费的部分所占的比例)，S2是居民消费率(消费总额中用于居民消费的部分所占的比例).显然，对于每一个有序数组(Y,P)(Y0,P0并取整数)，总有唯一确定的实数Z与之对应，使得以上关系式成立.此关系式反映了一个国家中居民人均消费水平依赖国民收入总额和总人口数.抛开上述两个例题的具体含义，仅从数量关系来看，它们具有共同的属性，抽出这些共性，概括出二元函数的定义.一、多元函数的概念定义定义1 1设有三个独立的变量x，y，z和非空点集DR2，如果当变量x,y在其给定的范围D内，任取一对数值(x,y)时，变量z就按某一确定的对应法则f，总有确定的数值与它们对应，那么，变量z就称为
7、变量x,y的二元函数，记为z=f(x,y).其中x,y称为自变量，函数z也称为因变量，自变量x,y的取值范围D称为函数的定义域.二元函数可记为z=z(x,y)或z=g(x,y)等.类似地，可以给出三元函数的定义u=f(x,y,z)，(x,y,z)DR3，n元函数的定义u=f(x1,x2,xn)，(x1,x2,xn)DRn.一、多元函数的概念二元及其以上的函数统称为多元函数.二元函数z=f(x,y)在点M(x0,y0)所取的函数值记为 或f(x0,y0).同一元函数一样，函数的定义域和对应法则是二元函数的两个要素.对于以解析式表示的二元函数，其定义域就是使该式子有意义的自变量的变化范围.对于实际
8、问题，在求定义域时，除使该式子有意义外，还要符合具体问题的实际意义.二元函数的定义域比较复杂，可以是全平面，可以是一条曲线，也可以是由曲线围成的部分平面等.二元函数的定义域的求法同一元函数，可用不等式组或集合的形式表示.一、多元函数的概念【例例1 1】一、多元函数的概念所以，函数的定义域D是以x=2,y=3为边界的矩形闭区域(见图8-5).图图 8-5 8-5一、多元函数的概念即10)的图形是球心在原点、半径为a的上半球面(见图8-8).一、多元函数的概念图图 8-8 8-8二、二元函数的极限与一元函数情况类似，对于二元函数z=f(x,y)，我们需要考察当自变量x,y无限趋近于常数x0,y0时
9、，即当点P(x,y)无限逼近于点P0(x0,y0)时，对应的函数值的变化趋势，这就是二元函数的极限问题.显然，当x,y趋向于x0,y0时，可以看成点P(x,y)趋向于点P0(x0,y0)，记为PP0或(x,y)(x0,y0).若记=|PP0|，即=|PP0|=(xx0)2+(yy0)2，则可用0来表示PP0或(x,y)(x0,y0).下面给出当0时，函数f(x,y)无限逼近于确定的常数A的极限定义.二、二元函数的极限定义定义2 2设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义(点P0可以除外)，如果对于任意给定的正数，都存在正数，当0=|PP0|时，恒有|f(P)A|，则称常数
10、A为函数z=f(x,y)当P(x,y)P0(x0,y0)时的极限，记为二元函数的极限运算与一元函数类似，不再重述.下面举例说明.二、二元函数的极限【例例2 2】二、二元函数的极限【例例3 3】二、二元函数的极限【例例4 4】二、二元函数的极限【例例5 5】考察函数三、二元函数的连续性二元函数连续的定义二元函数连续的定义1.有了二元函数极限的定义，类似于一元函数的连续性定义，我们就可以很容易地给出二元函数连续的定义.三、二元函数的连续性定义定义3 3设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果当点P(x,y)趋近于点P0(x0,y0)时，函数z=f(x,y)的极限存在，且
11、等于它在点P0(x0,y0)处的函数值，即则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续，否则，称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处间断，点P0(x0,y0)称为该函数的间断点.利用函数全增量的概念，连续定义可用另一种形式表述.三、二元函数的连续性函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，当自变量x,y分别由x0变到x0+x，y0变到y0+y时，函数z=f(x,y)有增量f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)，称其为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量，记为z，即z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0).三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性定义
12、定义4 4设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果当自变量x,y的增量x,y趋向于0时，对应的函数z=f(x,y)的全增量z也趋向于0，即则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.如果函数z=f(x,y)在区域D内各点都连续，则称函数z=f(x,y)在区域D内连续.三、二元函数的连续性对于闭区域上的连续函数z=f(x,y)，则要求函数z=f(x,y)在区域D内和边界上都连续.当点P0(x0,y0)是区域D的边界点时，极限 中的PP0是指P在区域D内所取的路线趋近于点P0(x0,y0)，极限中满足0(xx0)2+(yy0)2的点P均指区域D内的点.三、二元
13、函数的连续性关于二元函数z=f(x,y)的间断点，同一元函数类似，由函数的连续性定义知,函数没有定义的点、极限不存在的点和极限值不等于函数值的点均为函数的间断点.对于二元函数z=f(x,y)与一元函数不同的是：它不仅有间断点，有时还会有间断线.例如，函数就有间断线 C=(x,y)|x2+y22=0.一元函数连续性的运算法则和结论都可以推广到二元连续函数(证明从略).三、二元函数的连续性【例例6 6】三、二元函数的连续性有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质2.与闭区间上一元连续函数的性质类似，在有界闭区域D上连续的二元函数z=f(x,y)也有如下性质(证明从略).(1)最大值、最
14、小值定理在有界闭区域D上连续的二元函数z=f(x,y)在该区域上一定能取到最大值和最小值，即一定可以找到点P1(x1,y1),P2(x2,y2)D，使f(x1,y1)f(x,y)f(x2,y2)，其中f(x2,y2)和f(x1,y1)分别为函数z=f(x,y)在D上的最大值和最小值.三、二元函数的连续性(2)介值定理在有界闭区域D上连续的二元函数z=f(x,y)必能取得介于最大值和最小值之间的任何值.以上关于二元函数f(x,y)的极限与连续的讨论完全可以推广到三元以及三元以上的函数.偏导数偏导数第 二 节第二节 偏导数在一元函数微分学中，我们已经知道函数y=f(x)的导数就是函数y对自变量x的
15、变化率.对于二元函数z=f(x,y)我们同样要研究它的“变化率”，然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂得多.在研究二元函数z=f(x,y)时，有时需要研究当一个变量固定不变时，函数关于另一个变量的变化率，此时的二元函数实际上可转化为一元函数.因此，可利用一元函数的导数概念，得到二元函数z=f(x,y)对某一个变量的变化率，即偏导数.本节我们将重点讨论二元函数偏导数的概念、求法及其在求极值方面的应用.一、偏导数的概念定义定义5 5设有二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时，相应地，函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)xz=f
16、(x0+x,y0)f(x0,y0)，如果极限 (8-2)存在，那么，此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数,记作一、偏导数的概念类似地，当x固定在x0，而y在y0处有增量y时，相应地，函数z=f(x,y)对y的偏增量yz=f(x0,y0+y)f(x0,y0)，如果极限存在，那么，此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数,记作一、偏导数的概念如果函数z=f(x,y)在区域D内的每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么，这个偏导数仍是x,y的函数，此函数称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记作类似地，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的
17、偏导函数，记作以后在不至于混淆的情况下，偏导函数也称为偏导数.偏导数的概念可以推广到二元以上的函数，不再一一赘述.读者可以类似地给出三元函数u=f(x,y,z)的偏导数 的定义.二、偏导数的求法及其几何意义偏导数的求法偏导数的求法1.由偏导数的定义可以看出，多元函数对某一个变量求偏导，实质上就是将其余自变量看作常数，而对该变量求导数.所以，求多元函数的偏导数不需要建立新的运算方法，只要把其余自变量看作常数，而对该变量按一元函数的求导法则和求导公式去求导即可.二、偏导数的求法及其几何意义【例例7 7】本例表明,在多元函数中，函数在一点连续已不再是函数在该点偏导数存在的必要条件，这是多元函数与一元
18、函数的不同点之一.注注二、偏导数的求法及其几何意义【例例9 9】二、偏导数的求法及其几何意义偏导数的几何意义偏导数的几何意义2.由一元函数y=f(x)的导数的几何意义可知，f(x0)等于曲线y=f(x)在(x0,y0)处的切线斜率.而二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)，实际上是二、偏导数的求法及其几何意义图图 8-9 8-9三、高阶偏导数定义定义6 6设函数 一般来说它们仍然是x,y的函数，如果这两个偏导函数对x,y的偏导数也存在，则称它们(一阶偏导数)的偏导数是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.根据对自变量x,y的不同求导次序，得到如下四个二阶偏导数：三、高
19、阶偏导数其中fxy(x,y)及fyx(x,y)称为二阶混合偏导数.类似地，可以定义多元函数更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.而fx(x,y),fy(x,y)称为函数f(x,y)的一阶偏导数.由于高阶偏导数的求导过程比较烦琐，本书只介绍二阶偏导数.(8-4)三、高阶偏导数类似地，可以定义多元函数更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.而fx(x,y),fy(x,y)称为函数f(x,y)的一阶偏导数.由于高阶偏导数的求导过程比较烦琐，本书只介绍二阶偏导数.三、高阶偏导数【例例1010】三、高阶偏导数定理定理1 1 如果函数z=f(x,y)在区域D上的两个二阶混
20、合偏导数fxy(x,y),fyx(x,y)连续，则在区域D上有 fxy(x,y)=fyx(x,y).三、高阶偏导数定理1说明，当二阶混合偏导数在区域D上连续时，求导结果与求导次序无关.注注三、高阶偏导数【例例1111】三、高阶偏导数【例例1212】四、复合函数与隐函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则1.在一元函数中，我们介绍了一元复合函数的求导法则.对于多元函数来说，也存在着多元复合函数求偏导的问题.下面我们从一种特殊情况开始讨论.四、复合函数与隐函数的求导法则1 1）多元复合函数的全导数）多元复合函数的全导数定理定理2 2四、复合函数与隐函数的求导法则【例例1313】如
21、果把u=sin 2x,v=x21代入z=uv中，再用一元函数的求导方法解题，将得到同样答案.注注四、复合函数与隐函数的求导法则应用上述公式时，可通过图8-10所表示函数的复合关系和求导的运算途径来进行.在图8-10中，一方面，从z引出的两个箭头指向u,v，表示z是u,v的函数；同理，u,v又同是x的函数.另一方面，从z到x的途径有两条，表示z对x的导数包括两项；每条途径有两个箭头组成，表示每项由两个导数相乘而得，其中每个箭头表示一个变量对某变量的偏导数，如zu，ux分别表示 对一元函数取导数符号，对多元函数取偏导数符号.图图 8-10 8-10四、复合函数与隐函数的求导法则2 2）多元复合函数
22、的偏导数）多元复合函数的偏导数定理定理3 3设函数z=f(u,v)关于u,v具有一阶连续的偏导数，而u=(x,y)与v=(x,y)关于x，y的一阶偏导数都存在，则复合函数z=f(x,y),(x,y)对于x，y的偏导数存在，且 (8-6)此公式可直接由定理2的结论推出.事实上，在求zx时，将y看作常量，因此中间变量u和v仍可看作一元函数而应用定理2.但是，由于复合函数z和中间变量u，v都是x，y的函数，只是把y看作常数，因此定理2中的导数符号应改为偏导数符号，这就得到定理3的结论.四、复合函数与隐函数的求导法则复合函数的结构如图8-11所示，此图表示z是关于u,v的二元函数,而u,v又是分别关于
23、x,y的二元函数，由z对x求偏导，必须分别经由u和v两条线路进行.图图 8-11 8-11四、复合函数与隐函数的求导法则【例例1414】四、复合函数与隐函数的求导法则【例例1515】四、复合函数与隐函数的求导法则这里fu和fv分别表示z=f(u,v)关于第一自变量u和第二自变量v的偏导数.通常，可以用f1和f2表示，从而在介绍复合函数求偏导数时，有时中间变量u,v并不一定都是关于x,y的二元函数，此时，复合函数的偏导公式稍有变化.四、复合函数与隐函数的求导法则下面我们介绍两种特殊情况：(1)设z=f(u,v)，而u,v依赖于一个变量x，即u=u(x),v=v(x)(复合结构图如图8-12所示)
24、，有图图 8-12 8-12四、复合函数与隐函数的求导法则【例例1616】四、复合函数与隐函数的求导法则(2)设z=f(u,v)，其中u=u(x,y),v=v(x)，由复合结构图8-13，有图图 8-13 8-13四、复合函数与隐函数的求导法则同理，若z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(y)，由复合结构图8-14，有图图 8-14 8-14四、复合函数与隐函数的求导法则【例例1717】四、复合函数与隐函数的求导法则注注四、复合函数与隐函数的求导法则复合结构图如图8-15所示.图图 8-15 8-15四、复合函数与隐函数的求导法则【例例1818】四、复合函数与隐函数的求导法则隐函数的求导
25、公式隐函数的求导公式2.设三元方程F(x,y,z)=0确定了二元隐函数z=z(x,y)，若Fx,Fy,Fz连续，且Fz0，则可仿照一元隐函数的求导公式的推导过程，得出z对x，y的两个偏导数的求导公式.将z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式 Fx,y,z(x,y)0，两端分别对x，y求偏导，得因为Fz0，解方程得 (8-7)这就是二元隐函数的求导公式.四、复合函数与隐函数的求导法则【例例1919】四、复合函数与隐函数的求导法则【例例2020】四、复合函数与隐函数的求导法则在求二阶偏导数时，z仍然看作是x,y的函数.注注四、复合函数与隐函数的求导法则【例例2222】四、复合函数与
26、隐函数的求导法则求抽象复合函数的二阶偏导数时，要特别注意关于中间变量的一阶偏导数与原来的函数具有相同的复合结构，即f1和f2仍为中间变量的函数.因此，当它们继续对自变量x(或y)求偏导时，必须再次运用复合函数的求导法则.注注五、二元函数的极值及其求法我们在第三章运用一元函数的导数知识讨论了一元函数的极值求法，类似地，我们也可以用多元函数的偏导数来研究多元函数的极值.下面我们主要研究二元函数的极值及其求法，对其他多元函数只讨论其最大值和最小值及其应用.五、二元函数的极值及其求法二元函数的极值二元函数的极值1.定义定义7 7设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果对于该邻
27、域内异于(x0,y0)的点(x,y)都有f(x,y)f(x0,y0)，则称f(x0,y0)为二元函数z=f(x,y)的极大值(或极小值).极大值和极小值统称为极值.使二元函数z=f(x,y)取得极大值(或极小值)的点(x0,y0)称为极大值点(或极小值点)，极大值点和极小值点统称为极值点.五、二元函数的极值及其求法【例例2323】五、二元函数的极值及其求法定义定义8 8使fx(x,y)=0,fy(x,y)=0同时成立的点(x0,y0)称为函数z=f(x,y)的驻点.五、二元函数的极值及其求法定理定理4 4(极值存在的必要条件)设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的偏导数fx(x0,y0
28、),fy(x0,y0)存在，且在点P0处有极值，则在点P0处的偏导数必为零，即 (8-8)证不妨设z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处取得极大值.由极大值的概念，在点P0(x0,y0)的某邻域内不等于P0(x0,y0)的点P(x,y)都满足不等式f(x,y)f(x0,y0),五、二元函数的极值及其求法特别地，在该邻域内取y=y0，而xx0的点，也适合不等式 f(x,y0)f(x0,y0),这表明一元函数z=f(x,y0)在x=x0处取得极大值，因而必有 fx(x0,y0)=0.类似地，可证明fy(x0,y0)=0.同理，可以证明对二元以上的多元函数此结论也成立.同时满足式(8-8)的点(x
29、0,y0)称为二元函数z=f(x,y)的驻点.与一元函数类似，驻点不一定是极值点.那么，在什么条件下，驻点是极值点呢？五、二元函数的极值及其求法定理定理5 5(极值存在的充分条件)设P0(x0,y0)是二元函数z=f(x,y)的驻点，且二元函数在点P0的某邻域内连续且有一阶及二阶连续的偏导数，令A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),=B2AC，则二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：(1)当0且A0时，f(x0,y0)是极大值，当0时，f(x0,y0)是极小值.(2)当0时，f(x0,y0)不是极值.(3)当=0时，函数
30、f(x,y)在点P0(x0,y0)可能有极值，也可能没有极值.证明过程用到二元函数的泰勒公式，本书从略.五、二元函数的极值及其求法综上所述，若函数z=f(x,y)的二阶偏导数连续，我们就可以按照下列步骤求该函数的极值：先求偏导数fx，fy，fxx，fxy，fyy；解方程组fx(x,y)=0fy(x,y)=0，求出驻点；求出驻点处A,B,C的值及=B2AC的符号，据此判定出极值点，并求出极值.五、二元函数的极值及其求法【例例2424】在点(0,0)处，A=0，B=3，C=0，B2AC=90，点(0,0)不是极值点.在点(1,1)处，A=6，B=3，C=6，B2AC=270，且A0,y0,z0时确
31、有最大值，且可能的极值点只有一个，所以当长为2 m、宽为2 m、高为3 m时，水槽的容积最大.全微分全微分第 三 节第三节 全微分 在第二章我们已经学习了一元函数y=f(x)微分的概念，现在用类似的思想和方法，通过多元函数的全增量，把一元函数微分的概念推广到多元函数.在研究多元函数的偏导数时，只是某一个自变量变化，而其他的自变量视为常量，但在实际问题中，往往是几个自变量同时在变动，下面我们就来研究多元函数各个自变量同时变化时函数的变化情形.以二元函数为例，为此，我们引入二元函数全微分的概念.一、全微分的概念 一般来说，计算函数的全增量是比较麻烦和复杂的，能否找到一个计算简单且准确度较高的近似表
32、达式呢？请看二元函数的全微分概念.一、全微分的概念定义定义9 9设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义，如果函数在(x0,y0)处的全增量z可以表示成 z=Ax+By+，(8-12)其中A,B与x,y无关仅与x0,y0有关，是=(x)2+(y)2的高阶无穷小，即 则称Ax+By为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记为dz，即 dz=Ax+By，(8-13)这时也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.一、全微分的概念如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都可微，则称函数z=f(x,y)在区域D内是可微的.在第二章的学习中，我们知道了一元函
33、数连续、可导与可微三者之间的关系，那么，对于二元函数连续、可导与可微三者之间的关系又如何呢？在第二节我们知道了函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在，不能保证函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续，若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微能否保证函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续且偏导数存在呢？一、全微分的概念定理定理6 6如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.证由函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，可得即函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.一、全微分的概念定理6也告诉我们，如果函
34、数z=f(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处一定不可微.连续是可微的必要条件.上面讨论了可微与连续的关系，下面来分析二元函数可微与偏导数存在的关系.如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，如何求A，B呢？一、全微分的概念定理定理7 7一、全微分的概念上面两式的右端我们分别称其为二元函数z=f(x,y)对x和对y的偏微分.(8-15)(8-14)一、全微分的概念定理定理8 8(可微的充分条件)如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数 连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.证明略.常见的二元函数一般都满足定理3的条件
35、，从而它们都是可微函数.二元函数全微分的概念可以推广到三元及其以上的函数.例如，设三元函数u=f(x,y,z)，如果三个偏导数 都连续，则它可微且其全微分为 (8-16)一、全微分的概念【例例3131】二、全微分形式的不变性设函数z=f(u,v)具有连续的一阶偏导数，则有全微分如果u,v又是x,y的函数u=(x,y)，v=(x,y)，且两个函数也具有连续的一阶偏导数，则复合函数 z=f(x,y),(x,y)的全微分为二、全微分形式的不变性又因为由此可见，无论u,v是自变量还是中间变量，全微分形式都是一样的.这个性质就是全微分形式的不变性.利用全微分形式的不变性可以降低复合函数求导的难度，在第十
36、章学习微分方程知识时还要用到.二、全微分形式的不变性【例例3232】三、全微分在近似计算中的应用与一元函数类似，当0时，二元函数z=f(x,y)的全增量与全微分之差是的高阶无穷小.由二元函数z=f(x,y)的全微分定义和全微分存在的充分条件可知，当二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续，并且|x|和|y|都较小时，就有如下的近似计算公式zdz=fx(x,y)x+fy(x,y)y.(8-17)如果所考虑的是点(x0,y0)，则有zfx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y，(8-18)这是求全增量的近似表达式.三、全微分在近似计算中的应用式(8-1
37、8)也可以写成f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)+fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y.(8-19)令x=x0+x,y=y0+y，得函数值的近似公式f(x,y)f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0).(8-20)利用式(8-18)和式(8-20)可以对二元函数做近似计算和误差估计.三、全微分在近似计算中的应用【例例3333】有一圆柱体钢锭，受压后发生变形，它的半径由10 cm增加到10.02 cm，高度由80 cm减少到79 cm，求此圆柱体钢锭体积变化的近似值.解设圆柱体的半径、高和体积依次为r，h和V，则有三、全微分在近似计算中的应用【例例
38、3434】多元函数微分学在几何多元函数微分学在几何上的应用上的应用第 四 节一、空间曲线的切线与法平面定义定义1010设M0是空间曲线上的一点，M是上的另一点(见图8-16).则当点M沿曲线趋向于点M0时，割线M0M的极限位置M0T(如果存在)称为曲线在点M0处的切线.过点M0且与切线垂直的平面，称为曲线在点M0处的法平面.图图 8-16 8-16一、空间曲线的切线与法平面下面根据曲线方程不同的形式，建立空间曲线的切线与法平面方程.(1)设曲线的参数方程为当t=t0时，曲线上的对应点为M0(x0,y0,z0).假定x(t)，y(t)，z(t)可导，且x(t0)，y(t0)，z(t0)不同时为零
39、.给t0以增量t，对应地在曲线上有一点M(x0+x,y0+y,z0+z)，则割线M0M的方程为一、空间曲线的切线与法平面上式中各分母除以t，得当点M沿曲线趋向于点M0时，有t0，对上式取极限，因为上式分母各趋向于x(t0)，y(t0)，z(t0)，且不同时为零，所以割线的极限位置存在，且为(8-21)这就是曲线在点M0处的切线M0T的方程.切线的方向向量T可取为 x(t0),y(t0),z(t0).容易知道，曲线在点M0处的法平面的方程为x(t0)(xx0)+y(t0)(yy0)+z(t0)(zz0)=0.(8-22)一、空间曲线的切线与法平面【例例3636】一、空间曲线的切线与法平面二、曲面
40、的切平面与法线若曲面上过点P0的任一曲线的切线都在同一平面上，则称这平面为曲面在点P0的切平面.过点P0而与切平面垂直的直线称为曲面在P0的法线.下面求曲线上一点处切平面和法线的方程.以下分别就所给曲面方程的两种形式来分析.二、曲面的切平面与法线隐式方程隐式方程Fx,y,z=0Fx,y,z=01.设曲面由方程Fx,y,z=0给出.为确定曲面上一点P0(x0,y0,z0)的切平面，先在曲面上，通过点P任意引一条曲线(见图8-17).图图 8-17 8-17二、曲面的切平面与法线假定的参数方程为且设t=t0对应于点P0(x0,y0,z0)，并设Fx,y,z在点P0处有连续偏导数且不同时为零，即在点
41、P0处的切向量T=(t0),(t0),(t0)不为零.二、曲面的切平面与法线由于曲线在曲面上，所以有恒等式F(t),(t),(t)0.又由于Fx,y,z在点P0(x0,y0,z0)处有连续偏导数，且(t0),(t0)和(t0)存在，所以恒等式两边对t求导，得即二、曲面的切平面与法线将上式写成向量的点积形式为说明向量n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)是与上过点P0的曲线的切线垂直的向量.因为曲线是曲面上通过点P0的任意一条曲线，所以在曲面上过点P0的所有曲线的切线都在同一平面上，故此平面就是曲面在点P0的切平面.该切平面通过点P0，且以n为它的法向量
42、.因此，切平面的方程为Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0.曲面在点P0处的法线方程为二、曲面的切平面与法线显式方程显式方程z=f(x,y)z=f(x,y)2.由多元函数定义知，二元函数z=f(x,y)的图形就是一张曲面，反之，也把二元函数z=f(x,y)称为曲面的显式方程.要求此形式下的曲面的切平面和法线方程,事实上，只需将其化为隐式方程即可.令F(x,y,z)=f(x,y)z，可见z=f(x,y)等价于Fx,y,z=0，而且有Fx(x,y,z)=fx(x,y),Fy(x,y,z)=fy(x,y),Fzx,y,z=-1,二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线【例例3838】试求抛物面z=ax2+by2在点M(x0,y0,z0)处的切平面与法线方程.解设f(x,y)=ax2+by2,则fx(x0,y0)=2ax0,fy(x0,y0)=2by0,于是，过M的切平面方程为zz0=2ax0(xx0)+2by0(yy0).又因为z0=ax20+by20，上式可简化为z+z0=2ax0 x+2by0y,过点M的法线方程是
