1、第第2章章 土中土中 应应 力力 计计 算算自重应力：自重应力：附加应力：附加应力：由土体由土体重力重力引起的应力引起的应力由于建筑物荷载在土中引起的应力由于建筑物荷载在土中引起的应力 要求：正确理解自重应力、要求：正确理解自重应力、附加应力、基底压力、附加应力、基底压力、基底附加压力的概念基底附加压力的概念及影响因素。及影响因素。掌握各种应力的计算公式、掌握各种应力的计算公式、计算方法及分布规律计算方法及分布规律 。M(x,y,z)法向应力以法向应力以压压应力应力为正为正，拉拉应力应力为负为负；剪应力以剪应力以逆时针逆时针方向方向为正为正，顺时针方向为负，顺时针方向为负。x、y、z，xy=y
2、x、yz=zy、zx=xz，xyzrmxyz=0 第一节第一节 土中应力状态土中应力状态由土体由土体重力重力引起的应力称为自重应力。自重引起的应力称为自重应力。自重应力一般是自土体形成之日起就产生于土中。应力一般是自土体形成之日起就产生于土中。一、均质地基土的竖向自重应力一、均质地基土的竖向自重应力cz 竖向自重应力竖向自重应力s scz，其值等于单位面积上土柱体的，其值等于单位面积上土柱体的重力重力W。深度。深度z处土的自重应力为：处土的自重应力为：ZFZFFWcz s s 式中式中 为土的重度，为土的重度，kN/N/m3；F为土柱体的截面积为土柱体的截面积m2。2.2 土的自重应力土的自重
3、应力 自重应力自重应力cz的分布的分布:随深度随深度z线性增加，呈三角形分布。线性增加，呈三角形分布。均质土的自重应力均质土的自重应力Zcz s s 二、二、成层地基土的自重应力成层地基土的自重应力地基土通常为成层土。当地基为成层土体地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层的厚度为时，设各土层的厚度为hi，重度为，重度为 i，则在深，则在深度度z处土的自重应力计算公式处土的自重应力计算公式地下水位以上的土层取天然重度地下水位以上的土层取天然重度，地下水位，地下水位以下的土层取有效重度以下的土层取有效重度(=sat-w)w=10kN/m3或或9.8kN/m3 iiczhhhh s s33
4、2211二、二、成层地基土的自重应力成层地基土的自重应力 iiczhhhh s s332211成层土地基中，竖成层土地基中，竖直向自重应力也是直向自重应力也是随深度的增加而增随深度的增加而增大，但沿铅垂线的大，但沿铅垂线的分布图是一条折线，分布图是一条折线，转折点在不同土层转折点在不同土层的分界面上的分界面上 三、土层中有不透水层时的自重应力三、土层中有不透水层时的自重应力在地下水位以下，如果埋藏有不透水层在地下水位以下，如果埋藏有不透水层（坚硬的粘土、基岩），该层面处的自重应力（坚硬的粘土、基岩），该层面处的自重应力应按上覆土层的应按上覆土层的水土总重水土总重计算。计算。wwiiczhh s
5、 swwiiczhh s s四、水平向自重应力四、水平向自重应力 式中式中K0为侧压力系数，也称静止土压力系数为侧压力系数，也称静止土压力系数表表2-1 常见土侧压力系数参考值表常见土侧压力系数参考值表 松砂松砂0.400.45密砂密砂0.450.50密实填土密实填土0.81.5正常固结粘土正常固结粘土0.50.6超固结粘土超固结粘土1.04.0土中自重应力的计算土中自重应力的计算ZFZFFWcz s s iiczhhhh s s332211wwiiczhh s s例题例题2-1某土层及其物理性质指标如图所示，地下水位某土层及其物理性质指标如图所示，地下水位在地表下在地表下1.0m，计算土中自
6、重应力并绘出分布，计算土中自重应力并绘出分布a点：点：b点：点：c点：点：d点：点：0 hcz s skpahcz6.1816.1811 s skpahhcz4.271)108.18(6.182211 s skpahhhcz6.523)104.18(4.27332211 s sa点：点：b点：点：c点：点：d点：点：0 czs skpacz6.18 s skpacz4.27 s skpacz6.52 s sz018.6kpa27.4kpa52.6kpaczs s例题例题2-2某地基土层的地质剖面如图所示，某地基土层的地质剖面如图所示，计算各土层的自重应力并绘出分布计算各土层的自重应力并绘出分布
7、50m处处：48m处处：45m顶顶：45m不透水层面不透水层面：43m处：处：0 hcz s skpahcz3621811 s skpa5.613)105.18(36hh2211cz s skpa5.913105.61hhhww2211cz s skpa5.1292195.91hhhh33ww2211cz s s例题例题2-2某地基土层的地质剖面如图所示，某地基土层的地质剖面如图所示，计算各土层的自重应力并绘出分布计算各土层的自重应力并绘出分布50m处处：48m处处：45m顶顶：45m不透水层面不透水层面：43m处：处：0 czs skpacz36 s skpacz5.61 s skpacz5
8、.91 s skpacz5.129 s szkpa36kpa5.61kpa5.91kpa5.129czs s【课堂讨论【课堂讨论】土的性质对自重应力有何影响土的性质对自重应力有何影响?地下水位的升降是否会引起土中自重地下水位的升降是否会引起土中自重应力的变化？如何影响？应力的变化？如何影响？建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称为建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称为基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的反作用力称为地基反力。反作用力称为地基反力。第三节第三节 基础底面压力基础底面压力地基地基基础基础FG建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称为建筑物荷载通
9、过基础传递给地基的压力称为基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的反作用力称为地基反力。反作用力称为地基反力。第三节第三节 基础底面压力基础底面压力地基地基基础基础FG基底压基底压力力p基础基础建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称为建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称为基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的反作用力称为地基反力。反作用力称为地基反力。第三节第三节 基础底面压力基础底面压力地基地基基础基础FG地基反地基反力力FG基底压力与地基反力大小相等、方向相反，基底压力与地基反力大小相等、方向相反，是作用力和反
10、作用力，用是作用力和反作用力，用p表示。表示。第三节第三节 基础底面压力基础底面压力地基反地基反力力FG基底压基底压力力p一、基底压力的分布一、基底压力的分布 p的的分布规律主要取决于基础的刚度、分布规律主要取决于基础的刚度、荷载大荷载大小与分布、基础的埋深以及地基土的性质等小与分布、基础的埋深以及地基土的性质等。第三节第三节 基础底面压力基础底面压力对于绝对柔性基础（对于绝对柔性基础（EI=0），基底压力的分布与作），基底压力的分布与作用在基础上的荷载分布完全一致。用在基础上的荷载分布完全一致。1、柔性基础、柔性基础计算土路堤、土坝计算土路堤、土坝底部的基底压力分底部的基底压力分布时，可认为
11、与土布时，可认为与土路堤、土坝的外形路堤、土坝的外形轮廓相同轮廓相同。第三节第三节 基础底面压力基础底面压力对于绝对刚性基础（对于绝对刚性基础（EI=），由于其刚度很大，不），由于其刚度很大，不能适应地基土的变形，其基底压力分布将随上部荷能适应地基土的变形，其基底压力分布将随上部荷载的大小、基础的埋深和地基土的性质而异载的大小、基础的埋深和地基土的性质而异。2、刚性基础、刚性基础二、基底压力的简化计算二、基底压力的简化计算实用上，通常将基底压力假设为线性分布情况实用上，通常将基底压力假设为线性分布情况按下列公式进行简化计算：按下列公式进行简化计算：AGFp WMAGFppminmax 2、偏心
12、荷载作用下基、偏心荷载作用下基底压力：底压力：1、中心荷载作用下基底、中心荷载作用下基底压力：压力：6lbW2 b b为荷载为荷载偏心方偏心方向向二、基底压力的简化计算二、基底压力的简化计算式中式中l，b为基底平面的长边与宽边尺寸。为基底平面的长边与宽边尺寸。在在b b方向偏心方向偏心.AGFp )be61(lbGFWMAGFppminmax Fk作用在基础顶面形心的竖向力值作用在基础顶面形心的竖向力值.Gk-基础自重及台阶回填土总重，基础自重及台阶回填土总重，3GGkm/kN20AdG 1、中心荷载作用下基底压力：、中心荷载作用下基底压力：2、偏心荷载作用下基底压力、偏心荷载作用下基底压力:
13、荷载偏心方向边长为荷载偏心方向边长为b.b.)be61(blGFppminmax 基底地基反力出现拉力。此时基底与地基土局部脱开，基底地基反力出现拉力。此时基底与地基土局部脱开，使基底压力重新分布。根据偏心荷载与基底压力的平使基底压力重新分布。根据偏心荷载与基底压力的平衡条件，得衡条件，得pmax为：为：aa=b/2-eal3)GF(2pmax 二、基底压力的简化计算二、基底压力的简化计算偏心荷载作用下的基底压力：偏心荷载作用下的基底压力：)be61(blGFppminmax 1）当）当eb/6时时,即荷载作用点在截面核心外，即荷载作用点在截面核心外，pmin0；应力重分布，得；应力重分布，得
14、pmax为：为：a为竖向荷载作用点至为竖向荷载作用点至最大压力边缘的距离最大压力边缘的距离al3)GF(2pmax a=b/2-e三、基底附加压力三、基底附加压力 基础通常是埋置在天然地面下一定深度的。基础通常是埋置在天然地面下一定深度的。由于天然土层在自重作用下的变形已经完由于天然土层在自重作用下的变形已经完成，故只有超出基底处原有自重应力的那成，故只有超出基底处原有自重应力的那部分应力才使地基产生附加变形，部分应力才使地基产生附加变形，使地基使地基产生附加变形的基底压力称为基底附加压产生附加变形的基底压力称为基底附加压力力p p0 0。三、基底附加压力三、基底附加压力p0dpppcz0 s
15、 s 因此，基底附加压力是上部结构和基础传到因此，基底附加压力是上部结构和基础传到基底压力与基底处原先存在于土中的自重应力基底压力与基底处原先存在于土中的自重应力之差，按下式计算：之差，按下式计算：d-从天然地面算起的基础埋深。从天然地面算起的基础埋深。使地基产生附加变形的基底压力称为基底附加压力使地基产生附加变形的基底压力称为基底附加压力p0。基底标高以上基底标高以上天然土层按分层天然土层按分层厚度的加权重度（基础底面在地厚度的加权重度（基础底面在地下水位以下，地下水位以下的土下水位以下，地下水位以下的土层用有效重度计算）；层用有效重度计算）；1、基底压力、基底压力p：中心荷载作用下中心荷载
16、作用下偏心荷载作用下偏心荷载作用下 e b/6时时2、基底附加压力、基底附加压力p0AGFp )be61(blGFppminmax al3)GF(2pmax dpp0 要求：会正确地使用公式进行要求：会正确地使用公式进行p及及p0的计算的计算例例2-3 已知某基础的底面尺寸为已知某基础的底面尺寸为3m2m，基底，基底中心处的偏心力矩中心处的偏心力矩=147KN.m，在，在3m方向偏方向偏心，竖向力心，竖向力F+G=490kN,求基底压力求基底压力p。解：解：m5.0636bm3.01049010147GFMe33 2minmaxm/kN67.3267.130)33.061(23490)be61
17、(blGFpp 若已知基础埋深若已知基础埋深2.0米，米，=16kN/m3，计算基，计算基底附加压力底附加压力p0。2minmin02maxmax0m/kN67.021667.32dppm/kN67.9821667.130dpp 例题例题24 某柱基础，作用在设计地面处的柱某柱基础，作用在设计地面处的柱荷载、基础尺寸、埋深及地基条件如图示，荷载、基础尺寸、埋深及地基条件如图示，计算基底压力和基底附加压力。计算基底压力和基底附加压力。)be61(blGFppminmax G=？e=？偏心方向偏心方向?b=？dpp0 GFMe 解解 G3212211m/kN69.168.05.18.0185.11
18、6hhhh 一般设计上偏心方向取较长边方向，一般设计上偏心方向取较长边方向，b=3.5m2minmin02maxmax0m/kN3.653.269.167.103dppm/kN9.1493.269.163.188dpp kpa7.103kpa3.188)5.3169.061(0.35.34831050)be61(blGFppminmax AdG kN4833.25.30.320 m169.048310503.267105 m583.065.36b 基底压力基底压力p-基底附加压力基底附加压力p0p0p0maxp0minp0max?1、土中附加应力是由建筑物荷载在地基内引、土中附加应力是由建筑物
19、荷载在地基内引起的应力。起的应力。2、由基底附加压力引起的地基中任一点的附、由基底附加压力引起的地基中任一点的附加应力如何确定？加应力如何确定？计算地基中的附加应力时，假定：计算地基中的附加应力时，假定：地基是半无限空间弹性体地基是半无限空间弹性体;地基是连续、均匀、各向同性的线性变形体。地基是连续、均匀、各向同性的线性变形体。采用弹性力学解答。采用弹性力学解答。基础刚度为零，即基底作用的是柔性荷载；基础刚度为零，即基底作用的是柔性荷载；第四节第四节地基中的附加应力地基中的附加应力 一、一、竖向集中力竖向集中力P作用下的地基附加应力作用下的地基附加应力以集中力以集中力P的作用点为原点的作用点为
20、原点,以以P的作用线为的作用线为Z轴建轴建立起三轴坐标系立起三轴坐标系(Oxyz)，则，则M点的坐标为点的坐标为(x,y,z)POxyzM(x,y,z)rzRmxyPOxyzM(x,y,z)rzRmxy布辛奈斯克推出了布辛奈斯克推出了M点的点的与与 的的6个应力分量和三个个应力分量和三个位移分量的表达式。对沉降计算意义最大的是法向应位移分量的表达式。对沉降计算意义最大的是法向应力分量力分量z:225253zzPzr1123R2Pz3 s s集中力作用下土中附加应力系数，是集中力作用下土中附加应力系数，是(r/z)的函数的函数,可由表查得。可由表查得。2225253112323zPzPzrRPz
21、z s s 2521123 zr 2zPz s s 第四节第四节地基中的附加应力地基中的附加应力 1 1、在荷载的轴线上，、在荷载的轴线上，离荷载越远，附加应离荷载越远，附加应力越小；力越小；2 2、在地基中任一深度、在地基中任一深度处的水平面上，沿荷处的水平面上，沿荷载轴线上的附加应力载轴线上的附加应力最大，向两边逐渐减最大，向两边逐渐减小。（应力扩散）小。（应力扩散）附加应力在地基中的分布规律如图。附加应力在地基中的分布规律如图。大大小小1、在集中力的作用线上，附加应力随着深度、在集中力的作用线上，附加应力随着深度的增加而递减；的增加而递减；2、在地面下任意深度的水平面上，在集中力作、在地
22、面下任意深度的水平面上，在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减小；用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减小；附加应力在地基中的分布规律如图。附加应力在地基中的分布规律如图。、在、在r的竖直线上，随着的竖直线上，随着的增加，附的增加，附加应力从小逐渐增大，至一定深度后又随的加应力从小逐渐增大，至一定深度后又随的增加而逐渐变小；增加而逐渐变小；、距离地面越远，附加应力分布的范围越广、距离地面越远，附加应力分布的范围越广 附加应力在地基中的分布规律如图。附加应力在地基中的分布规律如图。、在、在r的竖直线上，随的竖直线上，随的增加，的增加，z z从从小增大，至一定深度后又随的增加而变小；小增大，至一
23、定深度后又随的增加而变小；、距离地面越远，附加应力分布的范围越广、距离地面越远，附加应力分布的范围越广 1.在集中力作用线上在集中力作用线上,z z随深度增加而递减；随深度增加而递减；2、在地面下水平面上、在地面下水平面上,z z向两侧逐渐减小；向两侧逐渐减小；附加应力向深部、向四周扩散附加应力向深部、向四周扩散一、一、竖向集中力竖向集中力P作用下的地基附加应力作用下的地基附加应力POM(x,y,z)集中力作用下土中附加应力系数，是集中力作用下土中附加应力系数，是(r/z)的函数的函数,可由表查得。可由表查得。2521123 zr 2zPz s s POPOp0z=？当地基表面作用有几个集中力
24、时，可分别当地基表面作用有几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后根据根据应力叠加原理应力叠加原理求出附加应力的总和。求出附加应力的总和。在实际工程中，建筑物荷载都是通过一定尺寸在实际工程中，建筑物荷载都是通过一定尺寸的基础传递给地基的。对于不同的基础形状和的基础传递给地基的。对于不同的基础形状和基础底面的压力分布，都可利用布氏公式，通基础底面的压力分布，都可利用布氏公式，通过积分法或等代荷载法求得地基中任意点的附过积分法或等代荷载法求得地基中任意点的附加应力值加应力值z。具体求解时又分为空间和平面问具体求解时又分为空间和平面问题。题
25、。若基础的长度与宽度之比若基础的长度与宽度之比 10时，地基中时，地基中的附加应力计算问题属于空间问题。的附加应力计算问题属于空间问题。二、矩形面积受竖直均布荷载时的附加应力二、矩形面积受竖直均布荷载时的附加应力1、角点下的附加应力、角点下的附加应力在基底内取一微元面积在基底内取一微元面积dxdy，微面积上的荷载为，微面积上的荷载为pdxdy，则矩形基础底面，则矩形基础底面角点角点O下下z深度处的附加应力深度处的附加应力z可按下式计算。可按下式计算。为计算方便，可将上式写成：为计算方便，可将上式写成：式中式中c为矩形面积受竖直均布荷载作用角点下附为矩形面积受竖直均布荷载作用角点下附加应力系数。
26、加应力系数。由由m=l/b,n=z/b查表得到查表得到.l 恒为基础长边，恒为基础长边，b为基础短边。为基础短边。dxdy)zyx(z2p3Rz2dP3d2/5222353z s s L0B02/52223zdxdy)zyx(z2p3 s s 2222222zn11nm1nm1nmnm1nmarctan2p s s式中式中m=l/b,n=z/b，l为矩形的长边，为矩形的长边，b为矩形的短边为矩形的短边。pcz s s pcz s s l=3.2m,b=2m,z=4mz=？pcz s s 对于均布矩形荷载下的附加应力计算点不位于角对于均布矩形荷载下的附加应力计算点不位于角点下的情况，可利用上式以
27、点下的情况，可利用上式以角点法角点法求得。求得。通过通过O点将荷载面分成若干个矩形面积，点将荷载面分成若干个矩形面积，O点就必然点就必然是各个矩形的公共角点，然后再计算每个矩形角点下是各个矩形的公共角点，然后再计算每个矩形角点下同一深度同一深度z处的附加应力处的附加应力z，并求其代数和。，并求其代数和。1、O点在荷载面边缘点在荷载面边缘 2、O点在荷载面内点在荷载面内 3、O点在荷载面边缘外侧点在荷载面边缘外侧 4、O点在荷载面角点外侧点在荷载面角点外侧OOOO应用上述角点法时应注意的问题：应用上述角点法时应注意的问题：划出的每一个矩形，都有一个角点为划出的每一个矩形，都有一个角点为O点；点；
28、所有划出的各矩形面积的代数和，应所有划出的各矩形面积的代数和，应等于原有受荷的面积；等于原有受荷的面积；所划出的每一个矩形面积中，所划出的每一个矩形面积中，l为长边为长边，b为短边。为短边。bznblm 例题例题 某矩形基础，长某矩形基础，长2.0 m，宽，宽.0，基，基底的附加压力为底的附加压力为100 kPa，如图所示，计算，如图所示，计算此矩形面积的角点此矩形面积的角点A、边点、边点E、中点、中点O，矩形，矩形面积外面积外F点和点和G点下，深度点下，深度z=2.0处的附加处的附加应力。应力。(1)计算角点计算角点A下的附加应力下的附加应力:查得查得c=0.1202 =0.12021001
29、2 kPa0.20.10.2 bl0.20.10.2 bzpcAz s s 0.10.10.1 bl0.20.10.2 bzpcEz s s2(2)计算边点计算边点E下的附加应力下的附加应力作辅助线作辅助线IE，将原来的矩形，将原来的矩形ABCD划分为两个相等划分为两个相等的小矩形的小矩形EADI和和EBCI。查得查得c c=0.084=0.084=2 20.0840100=16.8100=16.8kPa0.25.00.1 bl0.45.00.2 bzpcOz s s4(3)计算中点计算中点O下的附加应力下的附加应力作辅助线作辅助线JK，IE将原来的将原来的矩形矩形ABCD划分为四个相等的划分
30、为四个相等的小矩形小矩形OEAJ、OJDI、OICK和和OEBK。，查得查得c c=0.0474=0.0474=4 40.04740.04741001910019kPa55.05.2 bl0.45.00.2 bz15.05.0 bl0.45.00.2 bzpccFz)(221 s s (4)计算矩形面积外计算矩形面积外F点下的附加应力点下的附加应力作辅助线作辅助线CH、JF、BG和和HG，将原来的矩形，将原来的矩形ABCD划分为两划分为两个相等的长矩形个相等的长矩形FHDJ、FGAJ和两个小矩形和两个小矩形FHCK、FGBK。，查得查得c1c1=0.0732=0.0732,c2c2=0.027
31、0=0.0270=2 2(0.0732-0.0270)(0.0732-0.0270)1009.21009.2kPa5.20.15.2 bl0.20.10.2 bz0.25.00.1 bl0.45.00.2 bzpcczG)(21 s s (5)计算矩形面积外计算矩形面积外G点下的附点下的附加应力加应力作辅助线作辅助线CH、BG、HG，将原来的矩形将原来的矩形ABCD划分为一划分为一个大矩形个大矩形GHDA和一个小矩形和一个小矩形GHCB。，查得查得C1C1=0.1258=0.1258,查得查得c2c2=0.0474=0.0474=（0.1258 80.04740.0474）1007.81007
32、.8kPa作业 3假定基底附加应力假定基底附加应力相同，比较如图中相同，比较如图中O点下点下深度为深度为4m处的土中附加应力大小？处的土中附加应力大小？0PO解题步骤解题步骤 求基底压力求基底压力p 求基底附加压力求基底附加压力p0 用角点法求附加应力用角点法求附加应力z例例23以角点法计算图所示矩形基础甲的基底中心以角点法计算图所示矩形基础甲的基底中心点垂线下不同深度处的地基附加应力点垂线下不同深度处的地基附加应力z的分布，并考虑的分布，并考虑两相邻基础乙的影响两相邻基础乙的影响(两相邻柱距为两相邻柱距为6m，荷载同基础甲，荷载同基础甲)。解解：（：（1)计算基础甲对应于荷载标准值的基底压力
33、计算基础甲对应于荷载标准值的基底压力基础及其上回填土的总重：基础及其上回填土的总重：基底压力基底压力基底处土的自重应力基底处土的自重应力基底附加压力基底附加压力 (3)计算基础甲中心点计算基础甲中心点O下由相邻基础乙的荷载引起的下由相邻基础乙的荷载引起的z三、矩形面积受竖直三角形荷载作用三、矩形面积受竖直三角形荷载作用 在矩形面积一边在矩形面积一边b方方向上作用着三角形向上作用着三角形分布的垂直荷载，分布的垂直荷载，另一边另一边l的荷载分布的荷载分布不变，最大荷载强不变，最大荷载强度为度为pt。三、矩形面积受竖直三角形荷载作用三、矩形面积受竖直三角形荷载作用 t1tzp s s 2、三角形分布
34、荷载最大边、三角形分布荷载最大边角点角点2下的附加应力为下的附加应力为:t2tzp s s 1、将荷载强度为零的角点、将荷载强度为零的角点1作为坐标原点，则三角形分作为坐标原点，则三角形分布荷载角点布荷载角点1下的附加应力下的附加应力为为:。bzbl、tt的函数的函数为为载的附加应力系数载的附加应力系数矩形面积三角形分布荷矩形面积三角形分布荷),(21 zM1M2b方向上作用着三角形分布的垂直荷载，方向上作用着三角形分布的垂直荷载，另一边另一边l的荷载分布不变的荷载分布不变例题例题 某方形基础边长为某方形基础边长为2.0m，荷载及地基情况，荷载及地基情况如图所示，试求如图所示，试求A点下点下2
35、.0m深处的附加应力。深处的附加应力。例题求解时要通过两次叠加计算例题求解时要通过两次叠加计算,第一次是荷载作用第一次是荷载作用面积的叠加，即前述的角点法，第二次是荷载分布面积的叠加，即前述的角点法，第二次是荷载分布图形的叠加。图形的叠加。F+G=840kNe=0.1m（1）基底压力计算）基底压力计算kpa147kpa273)21.061(22840)be61(AGFPmaxmin (2)基底附加压力及分布基底附加压力及分布kPaPkPaP111218147237218273min0max0 F+G=840kNe=0.1m(3)荷载作用面积叠加荷载作用面积叠加 作辅助线作辅助线BA，使，使A成
36、为两个相等矩形的公共角点成为两个相等矩形的公共角点(4)荷载分布图形的叠加荷载分布图形的叠加基底附加压力分布图形可分解为均布荷载（基底附加压力分布图形可分解为均布荷载（ABDE）和三角形荷载（和三角形荷载（CDE）(5)A点的附加压力计算点的附加压力计算F+G=840kNe=0.1m(5)A点的附加压力计算点的附加压力计算均布荷载：均布荷载：KPaPP111min00 0.2120.212 bz，bl1202.01 c KPa7.261202.011121z s sKPaPPPt126min0max0 12/2/5.02/1/b，zbl0745.02 t KPaz8.180745.012622
37、 s sKPazA5.458.187.26 s s三角形分布：三角形分布：F+G=840kNe=0.1m 求求O点下点下2.0m深处深处 的附加应力的附加应力?F+G=840kNe=0.1m设圆形基础半径为设圆形基础半径为r0，其上作用有，其上作用有均布荷载均布荷载p0。1、圆心点、圆心点O下下z深度处的附加应力深度处的附加应力z可按下式计算：可按下式计算：四、圆形面积受垂直均布荷载作用四、圆形面积受垂直均布荷载作用00pz s s。rz，的函数的函数是是数数圆心点下的附加应力系圆心点下的附加应力系00 2、圆周边点下、圆周边点下z深度处的附加应力深度处的附加应力z可按下式计算：可按下式计算：
38、0prz s s。rz，r的函数的函数是是应力系数应力系数圆形荷载周边下的附加圆形荷载周边下的附加0 M1 平面问题的附加应力计算平面问题的附加应力计算当一定宽度的无限长条面积承受均布荷载时，当一定宽度的无限长条面积承受均布荷载时，在土中垂直于长度方向的任一截面附加应力分布在土中垂直于长度方向的任一截面附加应力分布规律均相同，且在长条延伸方向地基的应变和位规律均相同，且在长条延伸方向地基的应变和位移均为零，这类问题称为平面问题。只要算出任移均为零，这类问题称为平面问题。只要算出任一截面的附加应力，即可代表其他平行截面。一截面的附加应力，即可代表其他平行截面。在实际工程中并没有无限长的荷载面积。
39、研在实际工程中并没有无限长的荷载面积。研究表明，当基础的长宽比究表明，当基础的长宽比l/b10时，计算的地基时，计算的地基附加应力值与按附加应力值与按l/b=时的解相当接近。时的解相当接近。故墙基、路基、挡土墙基础等均可按平面问故墙基、路基、挡土墙基础等均可按平面问题计算地基中的附加应力。题计算地基中的附加应力。五、条形面积受均布竖向荷载五、条形面积受均布竖向荷载在土体表面分布宽度为在土体表面分布宽度为b的均布条形荷载的均布条形荷载P0时，时，坐标原点坐标原点O取在条形面积中点，土中任一点的竖取在条形面积中点，土中任一点的竖向应力可采用弹性理论中的弗拉曼公式在荷载分向应力可采用弹性理论中的弗拉
40、曼公式在荷载分布宽度范围内积分得到：布宽度范围内积分得到：0szzp s s szbzm bxn -条形面积均布荷载作用下条形面积均布荷载作用下附加应力系数，由附加应力系数，由查表得到查表得到，zx 0szzp s s bzm bxn zx 六、条形面积受三角形分布荷载六、条形面积受三角形分布荷载如图所示为条形基础是三角形分布的垂直如图所示为条形基础是三角形分布的垂直荷载作用的情况，荷载最大值为荷载作用的情况，荷载最大值为p0。将坐标原。将坐标原点取在条形面积中点，同样可以通过积分的方点取在条形面积中点，同样可以通过积分的方法求得附加应力为：法求得附加应力为：Ptzzstz bxbz条形面积三
41、角形分布荷载条形面积三角形分布荷载作用下的附加应力系数，由作用下的附加应力系数，由 查取查取zx例例:某条形基础，其荷载分布如图所示，计算某条形基础，其荷载分布如图所示，计算G点下深度为点下深度为3m处的附加应力。处的附加应力。例例:某条形基础，其荷载分布如图所示，计算某条形基础，其荷载分布如图所示，计算G点下深度为点下深度为3m处的附加应力。处的附加应力。解解:本题需对荷载分布图形进行分解计算，然后叠加本题需对荷载分布图形进行分解计算，然后叠加（1）均布荷载（）均布荷载（ABDC）作用）作用kPa150P 224 bx5.123 bz0550.sz kPaz5.8215055.01 s s5
42、.035.1 bx133 bz16.0 tz kPa2415016.02z s skPazG5.106245.82 s s（2）三角形分布荷载（）三角形分布荷载（ACG）作用）作用2.4土中附加应力的有关问题土中附加应力的有关问题2.4.1土中附加应力的分布规律土中附加应力的分布规律地基中附加应力不仅发生在荷载面积之下，而且分布地基中附加应力不仅发生在荷载面积之下，而且分布在荷载面积以外相当大的范围之内，即地基中的应力扩在荷载面积以外相当大的范围之内，即地基中的应力扩散问题。散问题。不同深度不同深度z处的各个水平面上，以基底中心点下轴线处的各个水平面上，以基底中心点下轴线处的附加应力最大，随着
43、距离中轴愈远，其值愈小；处的附加应力最大，随着距离中轴愈远，其值愈小；沿垂线的附加应力，随着深度越大，其值越小；沿垂线的附加应力，随着深度越大，其值越小；方形荷载引起的附加应力影响深度比条形荷载小得多方形荷载引起的附加应力影响深度比条形荷载小得多切应力在基础两边先出现，中间没有，说明土体的塑切应力在基础两边先出现，中间没有，说明土体的塑性变形先从基础边缘开始，在基础边缘下，土最容易发性变形先从基础边缘开始，在基础边缘下，土最容易发生剪切生剪切.2.4.2地基的非均质性与各向异性对附加应力的影响地基的非均质性与各向异性对附加应力的影响非均质性和各向异性地基与均质各向同性地基相比非均质性和各向异性
44、地基与均质各向同性地基相比较，其对地基竖向附加应力的影响有两种情况，即较，其对地基竖向附加应力的影响有两种情况，即应应力集中现象和应力扩散现象。力集中现象和应力扩散现象。当在基底以下不深处有硬岩层存在时，则在岩层界当在基底以下不深处有硬岩层存在时，则在岩层界面以上基础轴线附近的附加应力，比没有岩层存在时面以上基础轴线附近的附加应力，比没有岩层存在时的均质地基常显著增大，而在基础边缘或边缘以外的的均质地基常显著增大，而在基础边缘或边缘以外的附加应力则显著减少，这种现象叫应力集中附加应力则显著减少，这种现象叫应力集中；反之，若在基底以下不深处有软弱土层时，则会产反之，若在基底以下不深处有软弱土层时
45、，则会产生相反的结果，即在软弱层界面基础轴线附近的附加生相反的结果，即在软弱层界面基础轴线附近的附加应力比均质地基要减少，且扩散至较大的面积上，这应力比均质地基要减少，且扩散至较大的面积上，这种现象称应力扩散种现象称应力扩散.(a)应力集中应力集中(b)应力扩散应力扩散对非均质性地基对非均质性地基(变形模量随深度增加的地变形模量随深度增加的地基基)，以砂土地基最为显著，附加应力，以砂土地基最为显著，附加应力z出现应出现应力集中现象。对各向异性地基力集中现象。对各向异性地基(薄交互层地基薄交互层地基)，天然沉积的薄交互层地基，其水平向的变形模天然沉积的薄交互层地基，其水平向的变形模量常大于竖向变
46、形模量，与均质各向同性地基量常大于竖向变形模量，与均质各向同性地基相比较，将出现应力扩散现象。相比较，将出现应力扩散现象。对双层地基，有两种情况：当上面土层软，对双层地基，有两种情况：当上面土层软，下面是刚性下卧层时，出现应力集中现象，这下面是刚性下卧层时，出现应力集中现象，这种情况在山区地基常遇到；当上层硬而下层软种情况在山区地基常遇到；当上层硬而下层软时，将出现应力扩散现象，这种情况工程中常时，将出现应力扩散现象，这种情况工程中常见，如混凝土路面，机场跑道以及表面为硬壳见，如混凝土路面，机场跑道以及表面为硬壳层的天然地基层的天然地基。土体是由固体颗粒、孔隙水和空气组成的三相土体是由固体颗粒
47、、孔隙水和空气组成的三相集合体，外荷载在土体中产生的应力集合体，外荷载在土体中产生的应力一方面一方面作用于土骨架上，通过颗粒间的接触点传递，作用于土骨架上，通过颗粒间的接触点传递，是对土体变形和强度有效的粒间应力，叫有效是对土体变形和强度有效的粒间应力，叫有效应力，用应力，用表示；另一方面，作用于孔隙水上，表示；另一方面，作用于孔隙水上，通过连通的孔隙水传递，这种由孔隙水传递的通过连通的孔隙水传递，这种由孔隙水传递的应力，叫孔隙水压力，用应力，叫孔隙水压力，用u表示。表示。2.4.3 有效应力有效应力研究表明，饱和土体中的总应力与有效应研究表明，饱和土体中的总应力与有效应力和孔隙水压力的关系如
48、下：力和孔隙水压力的关系如下：u s ss s2.4.3 有效应力有效应力太沙基有效应力原理太沙基有效应力原理 饱和土体内任意平面上受到的总应力饱和土体内任意平面上受到的总应力可以分为可以分为有效应力有效应力和孔隙水压力和孔隙水压力u两部分，且总满足上两部分，且总满足上述关系式，其中述关系式，其中可以是自重应力，也可以是附可以是自重应力，也可以是附加应力；加应力；土体的变形和强度都只取决于有效应力土体的变形和强度都只取决于有效应力的变化，的变化，孔隙水压力孔隙水压力u起浮力作用，可忽略其对土粒产生起浮力作用，可忽略其对土粒产生的变形效果。饱和土体的有效应力原理是研究土的变形效果。饱和土体的有效
49、应力原理是研究土体固结和强度的重要理论基础，不仅对预估建筑体固结和强度的重要理论基础，不仅对预估建筑物基础的沉降稳定时间和沉降随时间的变化关系物基础的沉降稳定时间和沉降随时间的变化关系有重要意义，而且对研究土体的强度和稳定性亦有重要意义，而且对研究土体的强度和稳定性亦有重要意义。有重要意义。u s ss s受荷受荷面积面积矩矩 形形圆圆 形形条条 形形荷载荷载形式形式均布均布三角形三角形均均 布布均均 布布三角形三角形坐标坐标原点原点角角 点点零荷载零荷载角点角点圆圆 心心中中 点点中中 点点计算计算点点M位置位置角点下角点下任意点任意点:角点法角点法角点下角点下任意点任意点(叠加法叠加法)圆
50、心点下圆心点下边点下边点下 任意点任意点任意点任意点计算计算公式公式系数系数取值取值备注备注l恒为长边恒为长边b恒为短边恒为短边b为荷载为荷载变化边变化边b为荷载为荷载变化边变化边0Pcz s s bzbl,0Prz s s 00Pz s s bzbx,zr0szzP s sbzbl,01Ptz s s bzbx,0ztzP s s土中自重应力的计算土中自重应力的计算Zcz s s iiczhhhh s s332211wwiiczhh s s均质土层均质土层成层土层成层土层遇不透水层遇不透水层水平方向水平方向1、基底压力、基底压力pk：中心荷载作用下中心荷载作用下偏心荷载作用下偏心荷载作用下
