1、目 录第1章质点运动学第2章牛顿运动定律第3章动 量 守 恒第4章能 量 守 恒第5章刚体的定轴转动目 录第一节功 和 功 率第二节动能 动能定理第三节保守力 势能第四节功能原理 机械能守恒定律第四章第四章 能能 量量 守守 恒恒前面讨论了牛顿运动定律和动量定理.牛顿运动定律给出了质点受力和它的运动状态变化之间的瞬时关系.动量定理则从力的时间累积作用入手，讨论冲量和动量.本章将在前面内容的基础上，从力的空间累积作用入手，讨论功和能及它们之间的转换关系.能量守恒定律是自然界最基本的定律之一，从能量关系分析问题，是物理学中的一种重要方法.因此，本章的内容对学习物理学是十分重要的.第一节第一节 功功
2、 和和 功功 率率 功 一、一、功是人类在长期的生产实践中逐渐形成的概念.下面先讨论恒力做功的情形.第一节第一节 功功 和和 功功 率率恒力的功恒力的功1.如图4-1所示，设一质点做直线运动，在恒力F的作用下，发生一段位移r，则恒力F所做的功W为 W=F rcos （4-1）图4-1 恒力做功图示第一节第一节 功功 和和 功功 率率力做的功等于力的大小与位移沿力的方向的分量的乘积.由此看出，功是力的空间累积作用.功也可以用力F与位移r的标积表示，即 W=Fr （4-2）功是一个标量，但有正负之分，功的正负由F与r之间的夹角决定.在国际单位制中，功的单位是牛顿米（Nm）.第一节第一节 功功 和和
3、 功功 率率变力的功变力的功2.式（4-2）为恒力做功的定义式，但在一般情况下作用在物体上的力不一定都是恒力，质点也不一定做直线运动.这时，不能直接用式（4-2）来讨论变力的功，那么如何计算变力的功呢？设有一个质点，在大小和方向都随时间变化的力F作用下，沿任意曲线从a点运动到b点，如图4-2所示.图4-2 变力的功第一节第一节 功功 和和 功功 率率可以把整个曲线分成许多小段，任取一小段位移，称为位移元，用dr表示.只要每段都足够短，就可以把这段路程近似看成直线，可以认为质点在dr这一段上移动的过程中，作用在它上面的力仍为恒力.这样，对这段位移dr可按照式（4-2）计算力所做的元功为dW=Fd
4、r=Fdrcos=Fdscos （4-3）式中,dr=ds，ds是与dr相对应的路程元.第一节第一节 功功 和和 功功 率率那么，在质点由位置a沿曲线路径运动到位置b的整个过程中，力F做的总功应当是各段位移元上的元功之和.当dr无限小时，总功就是对元功的积分，即式（4-4）称为变力做功的表达式.在直角坐标系中，变力做功可表示为（4-4）第一节第一节 功功 和和 功功 率率功的计算是积分运算，功的几何意义为F-r图中曲线下所包围的面积，如图4-3所示.如果一个质点同时受到几个力的作用，设质点所受的各力分别为F1，F2，Fn,沿任一路径由a运动到b时,合力为则合力的功为所以W=W1+W2+Wn由上
5、式可知，合力的功等于每个分力功的代数和.第一节第一节 功功 和和 功功 率率图4-3 变力做功图第一节第一节 功功 和和 功功 率率 一对相互作用的力的功 二、二、如果研究对象是由若干质点构成的质点系，可以把作用在这些质点上的力分为内力和外力，根据牛顿第三定律，内力总是成对出现的.那么，在质点系范围内考察，这些成对出现的内力所做的功具有怎样的特征？是不是也和内力的冲量一样，一定等于零呢？设有两个质点m1和m2相互作用，把它们看成一个系统，若m1受到m2的作用力是f1，发生的位移为dr1；m2受到m1的作用力是f2,发生的位移为dr2,则这一对相互作用的内力的功为 dW=dW1+dW2第一节第一
6、节 功功 和和 功功 率率因为 f1=-f2所以dW=f1dr1+f2dr2=f1dr1-f1dr2=f1（dr1-dr2）=f2dr12（4-5）在式（4-5）中,dr12是m1相对于m2的位移，此相对位移与参考系的选择无关.由式（4-5）分析可知，系统内的质点没有相对位移时，一对相互作用力的功等于零；若系统内质点间有相对位移，但是相互作用力与相对位移垂直，则一对相互作用力的功也为零，除此之外，一对相互作用力的功不等于零.第一节第一节 功功 和和 功功 率率可见，一对相互作用力所做的功只与作用力及相对位移有关，而与各个质点各自的运动无关.这说明，任何一对相互作用力所做的功具有与参考系选择无关
7、的不变性质，只要是一对作用力和反作用力，无论从什么参考系去计算，其做功的结果都一样，这是个很重要的性质.例如，若把人体看成一个质点系，一举手、一投足，都使构成人体的质点有了相对位移，而在这些相对位移发生的同时，人体各部分之间的内力都做了功，从而消耗了存储于身体的能量，转换为人体运动的机械能和热能等.第一节第一节 功功 和和 功功 率率 功率 三、三、在实际问题中，不仅要知道做功的大小，而且要知道做功的快慢.单位时间内所做的功称为功率，用P表示，则有 （4-6）由式（4-3）得 （4-7）即力对质点的瞬时功率等于作用力与质点在该时刻速度的标积.在国际单位制中，功率的单位是瓦特（W）.第一节第一节
8、 功功 和和 功功 率率【例例4-14-1】第一节第一节 功功 和和 功功 率率【例例4-24-2】第一节第一节 功功 和和 功功 率率图4-4 例4-2图第一节第一节 功功 和和 功功 率率解：取物体为研究对象，它受三个作用力：重力G、绳的拉力F和地面支持力FN，如图4-4（b）所示.取物体初位置（绳与水平面的夹角为30）为坐标原点O，作水平向右的x轴.物体处于位置x时，绳与x轴的夹角为，绳作用在物体上的拉力F在物体位移方向上的分量为 Fx=Fcos可见，绳的拉力对物体所做的功是变力做功问题，需要用积分方法进行计算.第二节第二节 动能动能 动能定理动能定理 质点的动能定理 一、一、由前面的学
9、习可知，力的时间累积效应，即冲量引起了质点的动量变化.那么，力的空间累积效应，即做功将产生怎样的效果呢？设质量为m的质点在合外力F的持续作用下从a点运动到b点，如图4-5所示.同时，它的速度从v0变为v,则当质点产生位移元dr时，相应地，合外力所做的元功为第二节第二节 动能动能 动能定理动能定理图4-5 质点的动能定理则质点在从a点运动到b点的过程中，合外力F做的总功为（4-8）第二节第二节 动能动能 动能定理动能定理在式（4-8）中，就是动能Ek,它是质点由于运动而具有的能量，式（4-8）可改写为 W=Ek-Ek0（4-9）式（4-9）说明，合外力对质点所做的功等于质点动能的增量，这个结论称
10、为质点的动能定理.（1）质点的动能定理适用于质点的任何运动过程.物体在合外力的持续作用下，在某一段路程中，就得合外力所做的功等于质点的末动能与初动能之差.这样，动能定理就可以用于讨论一个过程中力对质点做的功与质点始末状态的动能之间的关系，而无须详细分析过程中的细节，这对于解决某些力学问题比直接应用牛顿运动定律要方便得多.第二节第二节 动能动能 动能定理动能定理以上分析也说明一个重要概念，功不是与动能Ek相联系，而是与动能的增量Ek相联系的.物体动能的变化是通过做功的过程来实现的，动能是描述物体运动状态的量，而功则是一个与状态变化过程相联系的过程量.（2）对于一个质量为m、以速度v运动的质点，可
11、以用两个物理量来描述它，一个是动量，另一个是动能.这两个量都是由物体的质量和速度决定的，它们也都是运动状态的函数，但是它们的物理意义不同.第二节第二节 动能动能 动能定理动能定理动量是矢量，不但有大小，而且有方向，这是机械运动的性质；动能是标量，而且永远为正，它是能量的一种形式，能量并不限于机械运动.除了动能外，还有其他各种形式的能量，如电能、热能、光能、原子能等.动能与这些能量是可以相互转化的.另外，与动量变化相联系的是力的冲量，冲量是力的时间累积作用，其效果是使物体的动量发生变化.而与动能变化相联系的是力所做的功，功是力的空间累积作用，其效果是使物体的动能发生变化.这两个物理量各自遵从一定
12、的规律，它们是从不同侧面来描写物体机械运动的物理量.第二节第二节 动能动能 动能定理动能定理当然，动量和动能还是有联系的，动量p=mv，因为它们都是物体运动状态的函数，所以，不难看出，这两个物理量在数量上的关系为动量和动能还具有共同的特征，力的冲量与经历的时间有关，但是由它所造成的动量改变却仅由物体的始末状态决定；同样地，力做的功与物体经历的空间有关，但是由功所造成的动能的改变也仅由物体的始末状态决定.（3）由于动能定理是从牛顿运动定律导出的，因此动能定理只在惯性参考系中才成立.第二节第二节 动能动能 动能定理动能定理 质点系的动能定理 二、二、质点系由很多质点组成，对其中每个质点应用动能定理
13、，就可以得出质点系的动能定理.为简单起见，先研究由两个相互作用的质点 m1 和m2组成的质点系，如图4-6所示.设F1和F2分别表示作用于m1和m2的合外力,f12和f21 分别表示两质点的相互作用内力，这两个内力对每个质点而言仍属外力，对每个质点应用动能定理.第二节第二节 动能动能 动能定理动能定理第二节第二节 动能动能 动能定理动能定理如果把质点系从两个质点扩大为n个质点，式（4-10）依然成立.这说明，一切外力对质点系做的功和一切内力对质点系做的功之和等于质点系动能的增量，这个结论称为质点系的动能定理.图4-6 质点系的动能定理图示第二节第二节 动能动能 动能定理动能定理在式（4-10）
14、中,尽管根据牛顿第三定律有f12=-f21，但是，因为系统内各质点的位移元一般不相同，即dr1dr2，所以系统内力做功的代数和并不一定为零,即W内0,因而可以改变系统的总动能.比较质点系的动能定理和上一章讨论的质点系的动量定理，可以看到，系统动量的改变仅仅决定于系统所受的外力，而系统动能的变化不仅与外力有关，而且与内力有关.例如，地雷爆炸后，弹片向四面八方飞散，它们的总动能显然比爆炸前增加了.在这里，火药的爆炸力也就是内力对各个弹片做了正功.因此，内力能够改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量.第三节第三节 保守力保守力 势能势能 保守力的功 一、一、无论什么性质的力做功，均会引起物体动能的
15、变化，但进一步研究发现，不同性质的力所做的功有不同的特点，因此根据做功的特点，可以把作用力分为保守力和非保守力.第三节第三节 保守力保守力 势能势能重力的功重力的功1.设一个质量为m的物体，在重力作用下，从a点沿任意路径acb运动到b点,a点和b点距地面的高度分别为y1和y2，如图4-7所示，把曲线acb分成许多位移元，在位移元dr中，重力所做的元功为dW=mgdr=mgdrcos=mgdrcos=-mgdy式中，为mg与dr的夹角，所以drcos=y.那么，质点由a点到b点，重力做的总功为 （4-11）第三节第三节 保守力保守力 势能势能图4-7 重力的功不论质点从acb还是从adb,或者其
16、他路径，只要始末位置不变重力做的功都是上述结果.这就说明重力所做的功与路径无关，只与始末位置有关.第三节第三节 保守力保守力 势能势能同重力一样，若某种力做的功与路径无关，只与始末位置有关，则这种力称为保守力，不具有这种特性的力称为非保守力或耗散力.因此，重力属于保守力.若某一个力F为保守力，则它沿任一闭合路径的功可表示为 Fdr=0 （4-12）式中，符号表示沿闭合曲线的积分，即质点沿任一闭合路径绕行一周，保守力对其所做的功恒为零.第三节第三节 保守力保守力 势能势能如果力所做的功与路径有关，或沿闭合路径的功不为零，即不满足式（4-12）的力，称为非保守力.例如，摩擦力所做的功与路径有关.当
17、把放在地面上的物体从一处拉到另一处时，若经历的路径不同，则摩擦力所做的功不同.因此，摩擦力属于非保守力.第三节第三节 保守力保守力 势能势能弹性力的功弹性力的功2.将劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端与一质量为m的物体相连，当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不发生形变，此时，物体位于O点，即x=0处，这一位置为平衡位置，如图4-8所示.图4-8 弹性力做功图示第三节第三节 保守力保守力 势能势能当弹簧被拉伸或压缩时，物体将受到弹簧所产生的弹性力的作用，根据胡克定律可表示为 F=-kx负号表示弹性力的方向总是指向原点O.在物体由位置a运动到位置b的过程中，弹性力为变力，但弹簧伸长dx时的弹性
18、力可近似看成不变的.于是，物体发生位移dx时，弹性力做的元功为 dW=Fdx=-kxdx第三节第三节 保守力保守力 势能势能那么，在物体由a运动到b的整个过程中，弹性力做的总功为 （4-13）式（4-13）说明，弹簧的弹性力所做的功只与弹簧的始末位置有关，而与弹簧形变的过程无关.因此，弹性力也是保守力.第三节第三节 保守力保守力 势能势能万有引力的功万有引力的功3.人造地球卫星运动时受到地球对它的万有引力，太阳系的行星运动时受到太阳的万有引力，这类问题可归结为运动质点受到来自另一个固定质点的万有引力作用，现在来计算万有引力对运动质点所做的功.如图4-9所示.图4-9 万有引力做功图示第三节第三
19、节 保守力保守力 势能势能设有两个质量分别为M和m的质点，假定质点M固定不动，m在万有引力作用下由a点沿任意路径acb运动到b点,m相对于固定质点M的位矢为r,er为沿位矢r的单位矢量，a、b两点相对M的位矢分别为r1和r2.在质点运动过程中，它所受到的万有引力的大小和方向都在改变，当m沿路径移动位移元dr时，万有引力做的元功为第三节第三节 保守力保守力 势能势能式（4-14）表明，万有引力做功同样与质点的运动路径无关，只取决于物体的始末位置.因此，万有引力也属于保守力.（4-14）第三节第三节 保守力保守力 势能势能 势能 二、二、动能是机械运动形式中能量的一种，它由运动的状态决定.与位置有
20、关的另一种机械运动的能量是势能.前面已讨论，重力、弹性力和万有引力都具有做功与路径无关，而仅取决于质点始末位置的特点，从这一特点出发分别引出重力势能、弹性势能和万有引力势能的概念.势能是由物体之间的相互作用和相对位置决定的能量.第三节第三节 保守力保守力 势能势能前面已经讨论过，有关重力做功、弹性力做功和万有引力做功的公式分别为 W重=-（mgy2-mgy1）上面三个式子表明了保守力做功的特点，它们等号的右边有着相似的形式，都是两个与位置有关的函数之差，可以共同地写成 W保=Ep1-Ep2=-Ep （4-15）式中，Ep是一个与位置有关的函数，称为势能；Ep1和Ep2分别是物体在始位置和末位置
21、的势能.第三节第三节 保守力保守力 势能势能式（4-15）表明，保守力对物体做的功等于势能增量的负值.保守力做正功，势能减少；保守力做负功，势能增加.不同的保守力，各自势能的函数形式不同.式（4-15）定义了两个位置的势能之差与保守力做功的关系.如果选定质点在某一位置的势能为零，即Ep2=0，那么三个第三节第三节 保守力保守力 势能势能保守力对应的势能形式分别如下：（1）重力势能 Ep=mgy （4-16）此式是选取某一位置为势能零点，质点相对于势能零点的高度为y时的重力势能.（2）弹性势能 （4-17）此式是选取弹簧自然长度时的位置为势能零点，弹簧发生形变x时的弹性势能.（3）万有引力势能
22、（4-18）此式是选取无限远为势能零点，物体m与M相距r时的引力势能.第三节第三节 保守力保守力 势能势能势能是一个标量，单位是焦耳（J）.由于势能的概念反映了保守力做功与路径无关的特性，因此只能对保守力引入势能，对非保守力不能引入势能.为了正确理解势能的概念，需说明以下几点：（1）势能是状态的函数.我们知道，质点在某时刻的位置及速度表示该时刻质点的运动状态，而势能只与位置有关.因此，势能是状态的函数，即 EP=EP（x,y,z）第三节第三节 保守力保守力 势能势能（2）势能的物理意义.在保守力做功的过程中，只要质点的始末位置确定了，保守力做的功就确定了.如果质点长期处于保守力场中的某个位置，
23、那么，势能便会长期保持恒定.可见势能是一种可以长期储存的能量.如果保守力做正功，说明势能减少，表明保守力做功是以势能的减少为代价的；如果保守力做负功，说明势能增加，表明外力做正功并以势能的形式储存了起来.第三节第三节 保守力保守力 势能势能（3）势能具有相对性.势能的数值与势能零点的选取有关，在式（4-16）式（4-18）中，势能的公式就已经事先选定了势能零点.实际上，势能零点可以任意选取，但选取不同的势能零点，势能的值将有所不同.所以，势能具有相对意义.但是，不论势能零点的位置如何选取，任意两个给定位置的势能之差都是一定的，与势能零点的选择无关.第三节第三节 保守力保守力 势能势能（4）势能
24、属于系统.势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的.因此，它属于系统的，单独谈单个物体的势能是没有意义的.例如，由EP=kx2可知，弹性势能是由物体间的形变决定的.所以，弹性势能不属于某一个质点，而属于由保守力相互作用的质点所组成的系统的能量.第四节第四节 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律 功能原理 一、一、前节已经得出了质点系的动能定理公式，即 W外+W内=Ek-Ek0现在，对质点系的动能定理做进一步讨论，W外表示系统的外力对各物体做功之和，W内表示系统的内力对各物体做功之和.而Ek和Ek0分别表示系统末状态和始状态的总动能.而对于W内，在系统的内力中可能既有保守力又有非
25、保守力.因此，内力的功W内可以写成保守内力的功W保内和非保守内力的功W非保内之和.于是有 W内=W保内+W非保内第四节第四节 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律那么，质点系的动能定理公式可以改写为 W外+W保内+W非保内=Ek-Ek0 （4-19）根据保守力做功的特点，人们定义了势能的概念，即 W保內=-Ep=Ep0-Ep将W保內=-Ep=Ep0-Ep代入式（4-19）中，可得 W外+（Ep0-Ep）+W非保內=Ek-Ek0移项整理后，得 W外+W非保內=（Ek+Ep）-（Ek0+Ep0）（4-20）第四节第四节 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律人们把系统的动能与势能
26、之和称为系统的机械能，用符号E表示，则 E=Ek+Ep （4-21）用E0和E分别表示系统在初、末两个状态时的机械能，则式（4-20）可表示为 W外+W非保內=E-E0 （4-22）式（4-22）表明，质点系在运动过程中，它所受的所有外力与系统内非保守力做功的代数和等于系统机械能的增量.这一结论称为质点系的功能原理.功能原理指出：外力和非保守内力做功的代数和等于系统机械能的增量.这就全面概括了力学中的功能关系.因为它把力学中所有类型的力的功和所有类型的能量都考虑到了.为了进一步理解功能原理的物理定义，需说明以下几个问题：第四节第四节 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律（1）功能原理
27、表明，外力和系统的非保守力做功都可以引起系统机械能的变化.外力对系统做功是外界物体的能量与系统的机械能之间的传递或转化，外力做正功时，有能量由外界传入系统，使系统的机械能增加；外力做负功时，外界从系统吸收能量，使系统的机械能减少.而系统内非保守力做功则反映了系统内部机械能与其他形式能量的转化.非保守内力做正功时，其他形式的能量转化为机械能；非保守内力做负功时，机械能转化为其他形式的能量.因此，非保守力做功意味着发生了机械能与其他形式能量的转化过程.第四节第四节 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律例如，用升降机提升重物，重物由静止开始上升到某高度并且具有了一定的机械能.若将地球和重物
28、看成一个质点系，则系统机械能的增加是升降机对系统做正功的结果.又如，若将电动机的定子和转子看成一个质点系，通电后，转子从静止转动起来，系统的机械能增加，这是电动机内的电流产生磁场力（属于非保守内力）做正功的结果；断电后，电动机的转子慢慢停止转动，系统的机械能减少，这是摩擦力（非保守内力）做了负功的结果.第四节第四节 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律（2）功能原理是在质点系的动能定理中引入势能而得出的.因此，它们的物理本质是一致的，功能原理和质点系的动能定理都给出了系统的能量改变与功的关系.它们的区别在于从不同的角度来处理保守内力.质点系的动能定理反映的是动能的变化与功的关系，应当
29、把所有力的功都计算在内，包括保守内力，强调了保守内力做功引起系统动能的变化；功能原理反映的是机械能的变化与功的关系，保守内力的作用体现在势能的变化中.保守内力的功通过势能的变化表现了出来.因此，只有外力和非保守内力才会改变系统的机械能.所以，应用功能原理解决问题时，只需要考虑除保守内力之外其他力的功.（3）功能原理和质点系的动能定理一样，在惯性参考系中才成立.第四节第四节 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律 机械能守恒定律 二、二、由功能原理W外+W非保内=E-E0可以看出，一个系统的机械能可以通过外力对系统做功而发生变化，也可以通过系统的非保守内力做功而发生变化，即 若W外+W非
30、保内0，系统的机械能增加；若W外+W非保内0，系统的机械能减少.那么，当W外+W非保内=0,也就是说，在外力和非保守内力都不做功或两者做的总功等于零，即只有保守力做功的情况下，有 E=E0=常量 （4-23）第四节第四节 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律或者 Ek+Ep=Ek0+Ep0=常量上式表明，在外力和非保守内力都不做功或所做功的代数和为零的情况下，系统动能和势能之和保持不变，即系统的机械能保持恒定，这个结论称为机械能守恒定律.机械能守恒定律还有进一步的物理意义，如果将式Ek+Ep=Ek0+Ep0改写为 Ek-Ek0=Ep0-Ep即 Ek=-Ep第四节第四节 功能原理功能原
31、理 机械能守恒定律机械能守恒定律在机械运动范围内，所涉及的能量只有动能和势能.由于物体运动形式的多样性，人们还将遇到其他形式的能量,如热能、电磁能、化学能、原子能等.若系统内有非保守力做功，则系统的机械能必将发生变化，但在机械能增加或减少的同时，必然有等值的其他形式的能量在减少或增加.在总结各种自然过程中，得出一个更为普遍的能量守恒定律：能量既不能消灭，也不能创生，它只能从一个物体传递给另一个物体,或从物体的一部分传递给另一部分，由一种形式转化为另一种形式，但总的能量保持不变.第四节第四节 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律【例例4-54-5】图4-11 例4-5图第四节第四节 功
32、能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律解：设小球摆至位置b处，细线断了，小球此时的速度大小为v,选取b处为重力势能零点.以小球与地球为系统，绳子对小球的拉力FT是系统的外力，由于它在小球运动过程中处处垂直于小球的轨迹，因此不做功，即W外=0，又据题意，不计各种阻力，则W非保内=0，因而系统机械能守恒，即在水平位置时系统的重力势,在b点处系统的动能为12mv2，则按机械能守恒定律的表达式，有第四节第四节 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律本本 章章 提提 要要功功1.本本 章章 提提 要要动能动能2.质点的动能：质点的动能定理：W=Ek-Ek0.质点系的动能定理：W外+W内=Ek-Ek0.本本 章章 提提 要要功能原理功能原理3.W外+W非保内=E-E0本本 章章 提提 要要保守力保守力4.保守力的功：Fdr=0.本本 章章 提提 要要势能势能5.本本 章章 提提 要要机械能守恒定律机械能守恒定律6.只有保守力做功或者W外+W非保内=0时，E=Ek+Ep=Ek0+Ep0=常量
