1、1趣题找次品找次品：有有12个外形相同的乒乓球，其中只有个外形相同的乒乓球，其中只有1个重量不标准。请用一架不带砝码的个重量不标准。请用一架不带砝码的天平，最多三次使用该天平，找出上述天平，最多三次使用该天平，找出上述次品乒乓球，并判断它是重于标准球，次品乒乓球，并判断它是重于标准球，还是轻于标准球。还是轻于标准球。2思考题思考题 如果只要求找出次品乒乓球，并不要如果只要求找出次品乒乓球，并不要求判断次品是过重还是过轻，那么三次求判断次品是过重还是过轻，那么三次使用该天平，最多可以使用该天平，最多可以从多少个从多少个乒乓球乒乓球中中找出找出唯一唯一的次品？的次品？3 趣题填骨牌：填骨牌：用个用
2、个 矩形骨牌挤满矩形骨牌挤满 矩形盒，矩形盒，有多少种方法？如下图。有多少种方法？如下图。（矩形骨牌矩形骨牌）（矩形盒矩形盒）21210 4 答:(1)；(2)，；(3)，；5 用个用个 矩形骨牌挤满矩形骨牌挤满 矩形盒，矩形盒，有多少种方法？如下图。有多少种方法？如下图。210 6第三章第六节第三章第六节希尔伯特和他的希尔伯特和他的23个问题个问题7一、一、希尔伯特的希尔伯特的23个问题个问题 希尔伯特（德国，希尔伯特（德国，18621943年）年）是是19世纪末和世纪末和20世纪上半叶最伟大的数世纪上半叶最伟大的数学学家之一。他提出的家之一。他提出的23个问题更是功勋卓个问题更是功勋卓著、
3、影响深远。著、影响深远。那是那是1900年年8月在月在巴黎巴黎召开的召开的国际数国际数学家大会上，年仅学家大会上，年仅38岁的希尔伯特做了题岁的希尔伯特做了题为为数学问题数学问题的著名讲演，的著名讲演，根据根据19世纪世纪数学研究的成果和发展趋势数学研究的成果和发展趋势提出提出23个问个问题，题，成为数学史上的一个重要里程碑。成为数学史上的一个重要里程碑。8 在世纪之交提出的这在世纪之交提出的这23个问题，涉个问题，涉及现代数学的许多领域。一个世纪以来，及现代数学的许多领域。一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对趣，对20世纪数学的发展起着巨大
4、的推动世纪数学的发展起着巨大的推动作用。作用。（由于我们这个课的同学绝大多数不（由于我们这个课的同学绝大多数不是数学专业的，我们不想在这里一一介绍是数学专业的，我们不想在这里一一介绍这这23个问题，而是统一展示一下。）个问题，而是统一展示一下。）9希尔伯特的希尔伯特的23个问题个问题1.证明证明“连续性假设连续性假设”，即证明任一实数，即证明任一实数集或者能与自然数集建立一一对应，或集或者能与自然数集建立一一对应，或者能与全体实数集建立一一对应。者能与全体实数集建立一一对应。2.研究算术公理的相容性。研究算术公理的相容性。3.两个等底等高的四面体的体积相等。两个等底等高的四面体的体积相等。4.
5、直线作为两点间最短距离的问题。直线作为两点间最短距离的问题。105.李（李（S.Lie）的连续变换群概念，不要）的连续变换群概念，不要定义群的函数的可微性假设。定义群的函数的可微性假设。6.物理学的公理化。物理学的公理化。7.某些数的无理性和超越性。某些数的无理性和超越性。8.素数问题。素数问题。9.在任意数域中证明最一般的互反定律。在任意数域中证明最一般的互反定律。10.丢番图方程的可解性。丢番图方程的可解性。11.系数为任意代数数的二次型。系数为任意代数数的二次型。1112.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代 数有理域上的推广。数有理域上的推广。13.不可能用
6、仅有两个变数的函数解一般不可能用仅有两个变数的函数解一般 的七次方程。的七次方程。14.证明某类完全函数系的有限性。证明某类完全函数系的有限性。15.舒伯特舒伯特(Schubert)计数演算的严格基计数演算的严格基 础。础。16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。代数曲线与代数曲面的拓扑问题。1217.正定形式的平方和表示。正定形式的平方和表示。18.用全等多面体构造空间。用全等多面体构造空间。19.正则变分问题的解一定是解析的吗？正则变分问题的解一定是解析的吗？20.一般边值问题。一般边值问题。21.具有指定单值群的线性微分方程解的具有指定单值群的线性微分方程解的 存在性证明。存在性证明。22.
7、通过自守函数使解析关系单值化。通过自守函数使解析关系单值化。23.变分法的进一步发展。变分法的进一步发展。13二、二、适当的问题对科学发展的价值适当的问题对科学发展的价值 1 有问题的学科才有生命力有问题的学科才有生命力 问题，在学科进展中的意义是不可否问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充满问题，它就充满生命认的。一门学科充满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的衰落。衰落。正是通过解决问题，人们才能够发正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方法、新观点和新方向，达到现学科的新方法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。更
8、为广阔和高级的新境界。14 2 提出一个提出一个“好的问题好的问题”是不容易是不容易的的 这是因为在解决问题前，要想预先判这是因为在解决问题前，要想预先判断一个问题的价值是困难的，断一个问题的价值是困难的，问题的价值问题的价值最终取决于科学从该问题得到的收益。最终取决于科学从该问题得到的收益。因因此，只有对该学科的知识有广泛而深入了此，只有对该学科的知识有广泛而深入了解的学者，对该学科的发展有清醒的认识解的学者，对该学科的发展有清醒的认识和深刻洞察力的学者，才能提出有较大价和深刻洞察力的学者，才能提出有较大价值的值的“好的问题好的问题”15 3“好的问题好的问题”的标准的标准 尽管有困难，人们
9、仍希望给出尽管有困难，人们仍希望给出“好的好的问题问题”的一般标准。希尔伯特在他的演讲的一般标准。希尔伯特在他的演讲中就提出了这样的标准。我们把它归纳叙中就提出了这样的标准。我们把它归纳叙述如下：述如下：16 1）清晰易懂）清晰易懂 即，问题本身应很容易解释清楚，即，问题本身应很容易解释清楚，让让别人听懂。希尔伯特说：别人听懂。希尔伯特说：“一个清晰易懂一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题使人们望而生畏。使人们望而生畏。”2）难而又可解决）难而又可解决 希尔伯特说：希尔伯特说：“为了具有吸引力，一为了具有吸引力，一个数学问题应该是困难的，但又不应
10、是完个数学问题应该是困难的，但又不应是完全不可解决，而使我们劳而无功的。全不可解决，而使我们劳而无功的。”3）对学科发展有重大推动意义）对学科发展有重大推动意义17三、三、“希尔伯特问题希尔伯特问题”解决的现状解决的现状 经过一个世纪加十年，希尔伯特的经过一个世纪加十年，希尔伯特的23个问题中，个问题中，将近一半已经解决或基本解决。将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决，但也取得了重要有些问题虽未解决，但也取得了重要进展。进展。能够解决一个或基本解决一个希尔伯能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的数学家，就自然地被公认为世界特问题的数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，由此也可
11、见希尔伯特一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。问题的特殊地位。18 希尔伯特问题的研究与解决，希尔伯特问题的研究与解决，大大推大大推动了许多数学分支的发展动了许多数学分支的发展，这些分支包，这些分支包括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等。第二问题和第十问题的研究，变分法等。第二问题和第十问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长。还促进了现代计算机理论的成长。19 重要的问题，历来是推动科学前进
12、的重要的问题，历来是推动科学前进的杠杆。但杠杆。但一位科学家，如此自觉、如此集一位科学家，如此自觉、如此集中地提出如此一整批问题，并且如此持久中地提出如此一整批问题，并且如此持久地影响了一门学科的发展，这在科学史上地影响了一门学科的发展，这在科学史上是仅有的。是仅有的。20 在在20世纪末，人们也想模仿世纪末，人们也想模仿19世纪世纪末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问题。但由于题。但由于20世纪数学的发展，数学的分世纪数学的发展，数学的分支越来越细，已没有一个人能像当年的希支越来越细，已没有一个人能像当年的希尔伯特那样涉及数学的广泛领域。于是人尔伯特那样涉
13、及数学的广泛领域。于是人们想到了组成一个数学家的小组，来做这们想到了组成一个数学家的小组，来做这件事，并且已经付诸行动，但最终并没有件事，并且已经付诸行动，但最终并没有做成这件事。这也反衬出希尔伯特的伟做成这件事。这也反衬出希尔伯特的伟大。大。21 当然，希尔伯特当年也不是尽善尽美当然，希尔伯特当年也不是尽善尽美的。一些评论者认为，其的。一些评论者认为，其局限性局限性是，希尔是，希尔伯特问题未包括拓扑学和微分几何，而这伯特问题未包括拓扑学和微分几何，而这两者在两者在20世纪也成了数学的前沿和热点，世纪也成了数学的前沿和热点，这是希尔伯特没有预见到的。此外，希尔这是希尔伯特没有预见到的。此外，希
14、尔伯特问题除数学物理外，很少涉及应用数伯特问题除数学物理外，很少涉及应用数学。学。22四希尔伯特的人品四希尔伯特的人品 希尔伯特不仅是一位伟大的数学家，希尔伯特不仅是一位伟大的数学家，而且有很高尚的品德，令人尊敬的不只是而且有很高尚的品德，令人尊敬的不只是他的数学成就，也包括他优秀的人品。他的数学成就，也包括他优秀的人品。23 1第一次世界大战时拒绝在第一次世界大战时拒绝在“宣言宣言”上签字上签字 在第一次世界大战爆发时，德国政府在第一次世界大战爆发时，德国政府让它的一批最著名的科学家和艺术家出来让它的一批最著名的科学家和艺术家出来发表一个发表一个“宣言宣言”，声明他们拥护德国皇，声明他们拥护
15、德国皇帝威廉二世。帝威廉二世。“宣言宣言”的第一句是：的第一句是：“说说德国人发动了战争，这不是事实德国人发动了战争，这不是事实”。24 “宣言宣言”的题目是的题目是告文明世界告文明世界，邀请了一批知名人士签字。当局认为，知邀请了一批知名人士签字。当局认为，知名人士中的数学家，大半只是为他们的同名人士中的数学家，大半只是为他们的同行所了解而不为外界熟知，因而行所了解而不为外界熟知，因而只邀请了只邀请了世界声望最高的世界声望最高的希尔伯特和克莱因两人签希尔伯特和克莱因两人签名。名。前边提到过的发表埃尔朗根纲领、用前边提到过的发表埃尔朗根纲领、用不变量观点统一几何学的那位数学家克莱不变量观点统一几
16、何学的那位数学家克莱因，没有什么怀疑就签了名。但因，没有什么怀疑就签了名。但希尔伯特希尔伯特仔细阅读后，仔细阅读后，却却表示他不能判断表示他不能判断“宣言宣言”内容的真实性，从而内容的真实性，从而拒绝签字。拒绝签字。25 在宣言上签字的，除了克莱因，还有在宣言上签字的，除了克莱因，还有德国的另一些著名的科学家，如普朗克，德国的另一些著名的科学家，如普朗克，伦琴等。这份伦琴等。这份1914年年10月月15日发表的日发表的“宣言宣言”，使文明世界震惊：，使文明世界震惊：那些素来受那些素来受人尊敬的科学家们怎么会同意在这样一份人尊敬的科学家们怎么会同意在这样一份欺骗文明世界的欺骗文明世界的“宣言宣言
17、”上签字？上签字？26 希尔伯特拒绝签字，也特别引人注希尔伯特拒绝签字，也特别引人注目。在国内，似乎他是一个卖国贼。当目。在国内，似乎他是一个卖国贼。当1914年年11月开学时，许多学生不再来听月开学时，许多学生不再来听希尔伯特的课。但是希尔伯特的大多数同希尔伯特的课。但是希尔伯特的大多数同行理解和同情他。克莱因也很快就后悔自行理解和同情他。克莱因也很快就后悔自己的所谓己的所谓“爱国爱国”行动。行动。当时世界上最著当时世界上最著名的巴黎科学院开除了克莱因，希尔伯特名的巴黎科学院开除了克莱因，希尔伯特则更加受到尊重。则更加受到尊重。27 2为法国数学家达布写悼念文章为法国数学家达布写悼念文章 “
18、达布上和达布上和”、“达布下和达布下和”，在定，在定积分理论中为大家所熟知。达布是法国人，积分理论中为大家所熟知。达布是法国人，而当时法国是与德国交战的敌国。所以而当时法国是与德国交战的敌国。所以1917年达布逝世时，德国人不敢悼念他。年达布逝世时，德国人不敢悼念他。而希尔伯特对达布非常敬佩，他写了一篇而希尔伯特对达布非常敬佩，他写了一篇悼念文章。悼念文章。28 文章发表后，一群学生到希尔伯特的文章发表后，一群学生到希尔伯特的家门口示威，要他收回和销毁这篇悼念家门口示威，要他收回和销毁这篇悼念“敌人数学家敌人数学家”的文章。希尔伯特断然拒的文章。希尔伯特断然拒绝这一无理要求，并且到校长那里提出
19、辞绝这一无理要求，并且到校长那里提出辞职。结果希尔伯特很快收到了校方的道歉职。结果希尔伯特很快收到了校方的道歉信。悼念达布的文章也继续刊登。信。悼念达布的文章也继续刊登。希尔伯希尔伯特一生只写过四篇悼念文章特一生只写过四篇悼念文章，除这篇外，除这篇外，其余三篇分别是悼念魏尔斯特拉斯（创造其余三篇分别是悼念魏尔斯特拉斯（创造 语言者）、闵可夫斯基（苹果树下语言者）、闵可夫斯基（苹果树下散步者）和赫尔维茨（苹果树下散步者）。散步者）和赫尔维茨（苹果树下散步者）。29 3对女数学家爱米对女数学家爱米诺特的支持诺特的支持 当时的德国，对女科学家和资历较浅的学当时的德国，对女科学家和资历较浅的学者是有一
20、定歧视的。现在公认的著名女数学家者是有一定歧视的。现在公认的著名女数学家爱米诺特，爱米诺特，1916年从埃尔朗根来到哥廷根，年从埃尔朗根来到哥廷根，就遇到这样的歧视。但希尔伯特和克莱因很重就遇到这样的歧视。但希尔伯特和克莱因很重视她，要为诺特争取一个讲师的职位，却遭到视她，要为诺特争取一个讲师的职位，却遭到大学评议会的反对。希尔伯特在会上说：大学评议会的反对。希尔伯特在会上说：“我我无法想象候选人的性别，竞成了反对她升任讲无法想象候选人的性别，竞成了反对她升任讲师的理由。师的理由。”30 后来，后来，希尔伯特以自己的名义申请希尔伯特以自己的名义申请一一门课，让爱米诺特来讲授。门课，让爱米诺特来
21、讲授。诺特很快显诺特很快显示出她的才能，后来也成为世界著名的数示出她的才能，后来也成为世界著名的数学家，在代数方面有巨大的贡献，做了许学家，在代数方面有巨大的贡献，做了许多奠基性的工作。多奠基性的工作。31 4对康托集合论的支持对康托集合论的支持 康托的集合论打出实无限的旗帜，遭康托的集合论打出实无限的旗帜，遭到另一些持潜无限观点的数学家的反对，到另一些持潜无限观点的数学家的反对，包括他的老师克罗涅克尔的反对。克罗涅包括他的老师克罗涅克尔的反对。克罗涅克尔利用他的威望和权势压制康托，所以克尔利用他的威望和权势压制康托，所以康托当年的地位和待遇都不好。而希尔伯康托当年的地位和待遇都不好。而希尔伯
22、特则对康托的成就大加赞誉、有力支持，特则对康托的成就大加赞誉、有力支持，这这表现了希尔伯特的学术公正和为人正表现了希尔伯特的学术公正和为人正直。直。32 5攻克果尔丹问题中的表现攻克果尔丹问题中的表现 果尔丹问题是关于不变量的一个问果尔丹问题是关于不变量的一个问题。果尔丹解决了二次型的有限完备不变题。果尔丹解决了二次型的有限完备不变量系，下一个问题是：对于给定的二次量系，下一个问题是：对于给定的二次型，是否存在一组有限的基，使所有不变型，是否存在一组有限的基，使所有不变量都能够用这组基的有理整式表达。称之量都能够用这组基的有理整式表达。称之为果尔丹问题。为果尔丹问题。33 果尔丹本人后来解决了
23、二元、三元二果尔丹本人后来解决了二元、三元二次型的这一问题，用的是次型的这一问题，用的是“构造性证明构造性证明”。后人继续用这一思路，德、英、法、意许后人继续用这一思路，德、英、法、意许多数学家，经过多数学家，经过20年的努力，也未最终解年的努力，也未最终解决果尔丹问题。而决果尔丹问题。而希尔伯特另辟奚经，出希尔伯特另辟奚经，出奇制胜，奇制胜，统一地对任意元的给定的型，证统一地对任意元的给定的型，证明了果尔丹定理。当时希尔伯特还是讲明了果尔丹定理。当时希尔伯特还是讲师，师，学术权威们认为，没有构造的存在性学术权威们认为，没有构造的存在性证明不算是数学上的存在性证明证明不算是数学上的存在性证明。
24、34 希尔伯特不畏权势，坚持真理。希尔伯特不畏权势，坚持真理。随着随着时间的推移，人们逐渐认识到，这种纯粹时间的推移，人们逐渐认识到，这种纯粹性证明比构造性证明更有价值、更本质。性证明比构造性证明更有价值、更本质。希尔伯特本人，后来也在这种纯粹性证明希尔伯特本人，后来也在这种纯粹性证明的思路启发下，给出了一个构造性证明。的思路启发下，给出了一个构造性证明。这有力地改变了人们的看法，果尔丹也从这有力地改变了人们的看法，果尔丹也从过去说希尔伯特的方法过去说希尔伯特的方法“是神学是神学”，转而，转而表示敬意。表示敬意。35数学发展中心的迁移数学发展中心的迁移36 数学发展的历史上，常常有这样的情数学
25、发展的历史上，常常有这样的情形：一个时期，可能在某一个地域，集中形：一个时期，可能在某一个地域，集中了大批优秀的数学家；数学在那里得到长了大批优秀的数学家；数学在那里得到长足的发展，水平居于世界领先的地位；各足的发展，水平居于世界领先的地位；各地的数学工作者，向往和来到这一地域学地的数学工作者，向往和来到这一地域学习或工作。我们称这一地域为这一时期的习或工作。我们称这一地域为这一时期的“数学发展中心数学发展中心”。本节简单介绍历史上数学发展中心的本节简单介绍历史上数学发展中心的迁移和变化迁移和变化 37一数学发展中心迁移的规律一数学发展中心迁移的规律 数学的发展与其它科学的发展一样，数学的发展
26、与其它科学的发展一样，有一些要素：第一要有客观需求，第二要有一些要素：第一要有客观需求，第二要有经济保障，第三要有文化环境，第四要有经济保障，第三要有文化环境，第四要有大批人才。有大批人才。第四点是标志，而前三点是产生第四第四点是标志，而前三点是产生第四点的基础。点的基础。38 因此，纵观数学的发展，历史上的数因此，纵观数学的发展，历史上的数学发展中心，基本上与世界上政治、经济学发展中心，基本上与世界上政治、经济繁荣的地域，是相吻合的。随着社会政繁荣的地域，是相吻合的。随着社会政治、经济中心的迁移，数学发展中心也往治、经济中心的迁移，数学发展中心也往往会随之迁移。有时略有滞后，有时也有往会随之
27、迁移。有时略有滞后，有时也有例外。例外。39二粗线条的迁移路径二粗线条的迁移路径 公元前公元前600年年公元前后公元前后 古希腊古希腊 （古代奴隶制社会鼎盛的中心古代奴隶制社会鼎盛的中心）泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里得、阿泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯基米德、阿波罗尼奥斯40 公元前后公元前后公元公元14世纪世纪 中国、印度、阿拉伯中国、印度、阿拉伯 （封建经济的繁荣封建经济的繁荣）中国：中国：刘徽、祖冲之、泰九韶、刘徽、祖冲之、泰九韶、杨辉、沈括、李冶、朱世杰杨辉、沈括、李冶、朱世杰 印度：印度：阿耶波多、波罗摩笈多、阿耶波多、波罗摩笈多、马哈维拉、婆什迦罗马哈维拉、婆什
28、迦罗 阿拉伯：阿拉伯：花拉子米、奥马花拉子米、奥马海亚姆海亚姆41 15世纪世纪17世纪世纪 意大利、法国意大利、法国 （资本主义兴起、文化复兴资本主义兴起、文化复兴）意大利：意大利：达达芬奇、塔塔利亚、卡尔丹芬奇、塔塔利亚、卡尔丹 法法 国：国：韦达、笛卡儿、费马、卡瓦列里韦达、笛卡儿、费马、卡瓦列里42 17世纪世纪18世纪世纪 英国英国 （资产阶级革命带来的海上霸权资产阶级革命带来的海上霸权）纳皮尔、巴罗、牛顿、泰勒、麦克劳林纳皮尔、巴罗、牛顿、泰勒、麦克劳林43 18世纪世纪19世纪前半世纪前半 法国、德国法国、德国 （法国大革命法国大革命）达朗贝尔、格普拉斯、拉格朗日、勒达朗贝尔、格
29、普拉斯、拉格朗日、勒让德、柯西、傅立叶、伽罗瓦、欧拉（端让德、柯西、傅立叶、伽罗瓦、欧拉（端士）、高斯士）、高斯44 19世纪后半世纪后半20世纪世纪30年代年代 德国、法国德国、法国 （德国统一运动德国统一运动）黎曼、克莱因、魏尔斯特拉斯、克罗黎曼、克莱因、魏尔斯特拉斯、克罗涅克尔、勒贝格、康托、庞加莱、希尔伯涅克尔、勒贝格、康托、庞加莱、希尔伯特、嘉当特、嘉当45 20世纪世纪40年代年代现在现在 美国美国 （资本主义的高度发达资本主义的高度发达）冯冯诺依曼、诺特、波利亚、阿廷、外尔诺依曼、诺特、波利亚、阿廷、外尔46作业作业：查资料补充以上各时期的有代表查资料补充以上各时期的有代表 性的
30、数学家姓名。性的数学家姓名。如，戴德金、罗素（英）、哥德如，戴德金、罗素（英）、哥德 尔（奥）、哈代（英）、维纳尔（奥）、哈代（英）、维纳47思思：查资料补充以上五十多个数学家查资料补充以上五十多个数学家 相应的数学成就。相应的数学成就。48三哥廷根数学的兴衰三哥廷根数学的兴衰 哥廷根是德国中部一座大学城。哥廷根是德国中部一座大学城。1737年建立哥廷年建立哥廷根根大学。大学。1795年，年，18岁的岁的高斯高斯入学并终身在这里工作，入学并终身在这里工作，成为一颗明星，并从此开创了哥廷根的数学传统。但成为一颗明星，并从此开创了哥廷根的数学传统。但他不善于交往，他去世后，他不善于交往，他去世后，
31、狄利克雷狄利克雷和和黎曼黎曼继承并推继承并推进了他的事业，哥廷根的影响扩大了，但却仍然未融进了他的事业，哥廷根的影响扩大了，但却仍然未融入欧洲的学术中心。入欧洲的学术中心。49 1886年，年，克莱因克莱因到了哥廷根，他除了到了哥廷根，他除了数学水平高以外，组织才能也高。他首先数学水平高以外，组织才能也高。他首先注重网罗人才，第一个选中的就是注重网罗人才，第一个选中的就是希尔伯希尔伯特特。之后在他们两人的共同努力下，大批。之后在他们两人的共同努力下，大批青年学者涌向哥廷根，青年学者涌向哥廷根，哥廷根哥廷根成为名副其成为名副其实的实的国际数学中心国际数学中心。50 陈省身陈省身当时在清华念研究生
32、，考取了当时在清华念研究生，考取了庚子赔款派往美国的留学生。但他自己认庚子赔款派往美国的留学生。但他自己认为当时最好的数学在德国，自己就为当时最好的数学在德国，自己就改向选改向选择去德国择去德国，师从几何学家布莱施开。陈省，师从几何学家布莱施开。陈省身在老年还多次谈到这一选择对他一生的身在老年还多次谈到这一选择对他一生的重大意义。他说，要尽可能向最好的老师重大意义。他说，要尽可能向最好的老师学习。学习。一个好老师，可能会影响学生的一一个好老师，可能会影响学生的一生。生。51 克莱因克莱因1914年就提出年就提出筹建数学研究所筹建数学研究所的计划，终在的计划，终在1929年建成。当时克莱因年建成
33、。当时克莱因已已经去世，但哥廷根数学研究所成为了各国经去世，但哥廷根数学研究所成为了各国数学家神往的地方。那里的一批数学家，数学家神往的地方。那里的一批数学家，人称哥廷根学派。人称哥廷根学派。52 陈省身陈省身由此悟到数学发展、兴旺的一由此悟到数学发展、兴旺的一条道路条道路依靠数学研究所。他依靠数学研究所。他一生创办一生创办了三个有影响的数学研究所了三个有影响的数学研究所，一个是解放，一个是解放前的前的中央研究院数学研究所中央研究院数学研究所（1946年），年），一个是一个是美国国家数学研究所美国国家数学研究所（1980年），年），一个是一个是南开数学研究所南开数学研究所（1985年）。年）。
34、它们都对培养人才，交流学术，推动数学它们都对培养人才，交流学术，推动数学的兴旺，发挥了重大的作用。的兴旺，发挥了重大的作用。53 哥廷根哥廷根这个盛极一时的世界数学中这个盛极一时的世界数学中心，后来在法西斯的浩劫下心，后来在法西斯的浩劫下毁于一旦毁于一旦。1933年希特勒上台年希特勒上台，疯狂打击犹太人。，疯狂打击犹太人。哥哥廷根数学学派中有不少犹太人，他们纷纷廷根数学学派中有不少犹太人，他们纷纷逃离德国，有的被迫害致死。逃离德国，有的被迫害致死。1943年，年，希希尔伯特也在悲愤中去世。尔伯特也在悲愤中去世。54 由此由此得益最大的是美国得益最大的是美国。几乎所有希尔伯。几乎所有希尔伯特学派
35、的成员，都移民到美国，如：特学派的成员，都移民到美国，如：阿廷（阿廷（E.Artin）、库朗（）、库朗（R.Courant）、）、德恩（德恩（M.Dehn）、勒维（）、勒维（H.Lewy）、）、弗里德里希（弗里德里希（K.O.Friedrichs）、）、诺依格包尔（诺依格包尔（O.Neugebauer）、）、冯冯诺依曼（诺依曼（J.von Neumann）、）、诺特（诺特（E.Noether）、外尔（）、外尔（H.Weyl）波利亚（波利亚（G.Polya）.等等。等等。这这一批世界顶尖级数学家一批世界顶尖级数学家，对美国数学的，对美国数学的发展，是至关重要的。发展，是至关重要的。55 1943
36、年，赫曼年，赫曼外尔在美国创建了外尔在美国创建了“普林斯顿高等研究院普林斯顿高等研究院”，以数学为主，以数学为主（建议：建议：“支持数学花钱最少支持数学花钱最少”）。）。理查理查库朗则在纽约建立了库朗则在纽约建立了“库朗应用数库朗应用数学研究所学研究所”。这两者都继承了哥廷根数学。这两者都继承了哥廷根数学的传统，成为世界上最先进的数学研究所的传统，成为世界上最先进的数学研究所之一。陈省身说，他一生最重要的工作，之一。陈省身说，他一生最重要的工作，就是在普林斯顿高等研究院做出的。就是在普林斯顿高等研究院做出的。56国际数学家大会和菲尔兹奖国际数学家大会和菲尔兹奖57一、国际交流的必要性一、国际交
37、流的必要性 19世纪末，数学杂志已有世纪末，数学杂志已有900种。但种。但是，是，“从论文中只能知道别人做成了什从论文中只能知道别人做成了什么，从交往中才能知道别人正在做什么，从交往中才能知道别人正在做什么么”，国际数学家大会就应运而生了。，国际数学家大会就应运而生了。58 二、国际数学家大会二、国际数学家大会（ICM：International Congress of Mathemetician）国际数学家大会简记为国际数学家大会简记为ICM，除两次，除两次世界大战中断外，基本上世界大战中断外，基本上每四年举行一每四年举行一次。次。1897年，第一届年，第一届国际数学家大会国际数学家大会在瑞
38、在瑞士苏黎世举行士苏黎世举行，有约，有约200名代表与会。名代表与会。59 1900年，第二届年，第二届ICM在法国巴黎举在法国巴黎举行。行。这次大会上，希尔伯特的著名演讲提这次大会上，希尔伯特的著名演讲提出了出了23个问题，具有重大的意义。个问题，具有重大的意义。1950年的年的ICM共有共有2000多名代表，多名代表，是是1897年第一届大会的年第一届大会的10倍，这倍，这标志着标志着ICM已真正成为世界性的会议。已真正成为世界性的会议。60 2002年的第年的第24届届ICM，在中国北京举行，在中国北京举行，表明了中国数学地位的上升。表明了中国数学地位的上升。南开大学南开大学的众多的众多
39、学者学者跟这次会议有密切关系跟这次会议有密切关系，陈省身陈省身是大会名是大会名誉主席，誉主席，侯自新侯自新是大会筹款委员会主席，是大会筹款委员会主席，胡国胡国定定是大会顾问，是大会顾问，张伟平、龙以明张伟平、龙以明在大会上做在大会上做45分钟报告。中国作为东道主，有分钟报告。中国作为东道主，有11位数学家在位数学家在大会上做大会上做45分钟报告，除指定做数学史、数学分钟报告，除指定做数学史、数学教育的两位外，做学术报告的数学家有教育的两位外，做学术报告的数学家有9位。位。61第第24届届“国际数学家大会国际数学家大会”（ICM）International Congress of Mathema
40、ticians 6263三、菲尔兹奖三、菲尔兹奖 1重要性重要性 每届每届ICM的第一项议程，就是宣布菲的第一项议程，就是宣布菲尔兹奖获奖者的名单，介绍他们的业绩。尔兹奖获奖者的名单，介绍他们的业绩。人称这是人称这是数学界的诺贝尔奖数学界的诺贝尔奖。64 2由来由来 菲尔兹菲尔兹（J.C.Fields）1863年生于加年生于加拿大拿大的渥太华。他在加拿大的多伦多大学的渥太华。他在加拿大的多伦多大学获学士学位，在美国获博士学位。获学士学位，在美国获博士学位。1892-1902年游学欧洲后，回多伦多大学执教。年游学欧洲后，回多伦多大学执教。他的科研组织上的贡献，比学术上的贡献他的科研组织上的贡献，
41、比学术上的贡献大得多。大得多。65 1932年，菲尔兹成功地在多伦多举办年，菲尔兹成功地在多伦多举办ICM。大会的经费有结余，菲尔兹提出设立一。大会的经费有结余，菲尔兹提出设立一个数学奖金。由于组织大会的劳累，他身体一个数学奖金。由于组织大会的劳累，他身体一直不好，直不好，1932年去世。去世前他立下设数学奖年去世。去世前他立下设数学奖的遗嘱，并留下一大笔钱加进上述的剩余经费的遗嘱，并留下一大笔钱加进上述的剩余经费中。中。1932年在瑞士苏黎世召开的年在瑞士苏黎世召开的ICM，决定接，决定接受这笔奖金。受这笔奖金。菲尔兹曾要求，奖金不要以个菲尔兹曾要求，奖金不要以个人、国家或机构来命名，而用人
42、、国家或机构来命名，而用“国际奖金国际奖金”的的名义。但是，大家仍然决定名义。但是，大家仍然决定叫叫“菲尔兹奖菲尔兹奖”，第一次颁奖是在第一次颁奖是在1936年挪威奥斯陆的年挪威奥斯陆的ICM上进上进行的。行的。66 菲尔兹提出设立这样一个国际数学奖菲尔兹提出设立这样一个国际数学奖的原因，有两种说法，一种是的原因，有两种说法，一种是诺贝尔奖没诺贝尔奖没有设数学奖有设数学奖；另一种是；另一种是菲尔兹看重数学研菲尔兹看重数学研究的国际性。究的国际性。67 3菲尔兹奖的声誉不断提高菲尔兹奖的声誉不断提高 1936年第一次颁发菲尔兹奖时，及此后几年第一次颁发菲尔兹奖时，及此后几次颁奖，并没有引起世人的
43、特别关注，科学杂次颁奖，并没有引起世人的特别关注，科学杂志一般也不报道。但是七十余年后的今天，就志一般也不报道。但是七十余年后的今天，就很不一样了。每届很不一样了。每届ICM的召开，从数学杂志到的召开，从数学杂志到一般的科学杂志，以至报纸，都争相报道获奖一般的科学杂志，以至报纸，都争相报道获奖人物。菲尔兹奖的声誉在不断提高；从开始设人物。菲尔兹奖的声誉在不断提高；从开始设奖的二、三十年后，就被人们认为是奖的二、三十年后，就被人们认为是“数学界数学界的诺贝尔奖的诺贝尔奖”。68 这个奖项声誉提高的原因，是因为得这个奖项声誉提高的原因，是因为得奖人的出色，是因为评奖的准确、公正。奖人的出色，是因为
44、评奖的准确、公正。任何一个奖项，从来都是先靠获奖者任何一个奖项，从来都是先靠获奖者的成就给该奖带来荣誉，其次才是奖项的的成就给该奖带来荣誉，其次才是奖项的名声给获奖者以荣誉。名声给获奖者以荣誉。这些获奖人不仅在这些获奖人不仅在当时做出重大成果，而且日后不断取得成当时做出重大成果，而且日后不断取得成果，证明他们不是昙花一现的人物。果，证明他们不是昙花一现的人物。69 4菲尔兹奖的特点菲尔兹奖的特点 菲尔兹倡议，得奖人应已获得重大成果，但同时菲尔兹倡议，得奖人应已获得重大成果，但同时还应有进一步获得成就的希望。因此获奖者应是中青还应有进一步获得成就的希望。因此获奖者应是中青年。当时获奖者都不超过年
45、。当时获奖者都不超过40岁，开始是不成文的，后岁，开始是不成文的，后来则对此作了明文规定。（华人：来则对此作了明文规定。（华人：丘成桐，陶哲轩丘成桐，陶哲轩）(1994年证明费尔马大定理的英国数学家维尔斯，当年证明费尔马大定理的英国数学家维尔斯，当年刚过年刚过40岁，这使他错过了获菲尔兹奖的机会。在岁，这使他错过了获菲尔兹奖的机会。在1998年国际数学家大会上，他被授予了特别荣誉奖。）年国际数学家大会上，他被授予了特别荣誉奖。）70在在1998年国际数学家大会上，年国际数学家大会上，维尔斯被授予了特别荣誉奖。维尔斯被授予了特别荣誉奖。71 有人可能说，岁数大的数学家没有得奖机会，似有人可能说，
46、岁数大的数学家没有得奖机会，似乎也不公平。其实，世界上还有一个乎也不公平。其实，世界上还有一个沃尔夫奖沃尔夫奖（沃尔（沃尔夫，以色列人）。这个奖夫，以色列人）。这个奖奖给那些在数学上终身成就奖给那些在数学上终身成就突出的数学家。突出的数学家。既然说到终身成就，自然是岁数大的既然说到终身成就，自然是岁数大的人，一般都是人，一般都是60岁以上的数学家。（例外：维尔斯岁以上的数学家。（例外：维尔斯42岁时成为最年轻的沃尔夫奖得主。）岁时成为最年轻的沃尔夫奖得主。）陈省身陈省身1984年获年获得了沃尔夫奖。得了沃尔夫奖。南开大学数学楼二楼中厅曾有两个大镜框，分别南开大学数学楼二楼中厅曾有两个大镜框，分
47、别贴有历届菲尔兹奖和沃尔夫奖得主的名单贴有历届菲尔兹奖和沃尔夫奖得主的名单。727374趣题找次品找次品：有有12个外形相同的乒乓球，其中只有个外形相同的乒乓球，其中只有1个重量不标准。请用一架不带砝码的个重量不标准。请用一架不带砝码的天平，最多三次使用该天平，找出上述天平，最多三次使用该天平，找出上述次品乒乓球，并判断它是重于标准球，次品乒乓球，并判断它是重于标准球，还是轻于标准球。还是轻于标准球。75思考题思考题 如果只要求找出次品乒乓球，并不要如果只要求找出次品乒乓球，并不要求判断次品是过重还是过轻，那么三次求判断次品是过重还是过轻，那么三次使用该天平，最多可以使用该天平，最多可以从多少个从多少个乒乓球乒乓球中中找出找出唯一唯一的次品？的次品？76 趣题填骨牌：填骨牌：用个用个 矩形骨牌挤满矩形骨牌挤满 矩形盒，矩形盒，有多少种方法？如下图。有多少种方法？如下图。（矩形骨牌矩形骨牌）（矩形盒矩形盒）21210 77 答:(1)；(2)，；(3)，；78 用个用个 矩形骨牌挤满矩形骨牌挤满 矩形盒，矩形盒，有多少种方法？如下图。有多少种方法？如下图。210 7980本节结束本节结束 谢谢！谢谢！
