1、2.6 函数的连续性函数的连续性(2)定义：定义：设函数设函数f(x)f(x)在在 处及其处及其附近有定义附近有定义，而且，而且0 xx)()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数f(x)f(x)在点在点 处连续处连续，0 x称为称为函数函数f(x)f(x)的连续点。的连续点。0 x 函数函数f（x）在点）在点x0处连续必须处连续必须同时具备同时具备三个三个条件：条件：1、存在，即函数存在，即函数在点在点x0处有定义。处有定义。)(0 xf2、存在。存在。)(lim0 xfxx3、)()(lim00 xfxfxx)(xf必须同时满足。必须同时满足。二、单侧连续性：二、单侧连续性：并且并且如
2、果函数如果函数 在点在点 处及其右侧附近处及其右侧附近有定义有定义0 x)()(lim00 xfxfxx则称则称f(x)f(x)在点在点 处右连续。处右连续。0 x)(xfxyOa类似地：类似地：则称则称f(x)f(x)在在 处是左连续。处是左连续。如果函数如果函数 在点在点x x0 0处及其左侧附近处及其左侧附近有定有定义，并且义，并且)()(lim00 xfxfxx)(xf0 xxyOa三、函数的连续性：三、函数的连续性：1 1、开区间内连续：如果、开区间内连续：如果 在某一开在某一开区间区间 内内每一点处都连续，就说函每一点处都连续，就说函数数f（x）在）在开区间（开区间（a，b）内）内
3、连续，或连续，或说说f（x）是开区间）是开区间（a，b）内内的连续函数。的连续函数。)(xf),(ba2 2、闭区间上连续：如果函数、闭区间上连续：如果函数 在开区间在开区间 内连续，在内连续，在左左端点端点 处处右右连续，在连续，在右右端点端点 处处左左连续，就连续，就说函数说函数 在在闭区间闭区间 上上连连续。续。)(xf),(baaxbx)(xf,ba如图：如图：ox0 xyab)(xfy,ba 指出下列函数在开区间（指出下列函数在开区间（0，1）内或闭）内或闭区间区间0，1上是否连续：上是否连续：xxglg)()1(xxxhsin)()2(从几何直观上看，闭区间从几何直观上看，闭区间a
4、，b上的一条连续上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：如上图：对于任意对于任意 ，这时，这时我们说闭区间我们说闭区间a，b上的连续函数上的连续函数f（x）在点）在点x1处有最大值处有最大值f（x1），在点），在点x2处有最小值处有最小值f（x2）。）。)()(),()(,21xfxfxfxfbaxox2x1baxy四、闭区间上连续函数的性质：四、闭区间上连续函数的性质：)(1xf)(2xf性质性质1 1 最大值最小值定理：最大值最小值定理：如果如果f f（x x）是闭区间）是闭区间aa，bb上的连续函数，那么上的连续函数，那么f
5、 f（x x）在闭区间在闭区间aa，bb上有最大值上有最大值和最小值。和最小值。ox2x1baxy)(1xf)(2xf注注 函数的最大值、最小值可能在区间端函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得。如函数点上取得。如函数 在点在点x=1处有处有最大值最大值1，在点，在点x=-1处有最小值处有最小值-1（如图）（如图）)1,1()(xxxfxyo1-1-11再如再如对二次函数对二次函数y=ax2+bx+c来说，来说，在给定的任意一个闭区间上均有在给定的任意一个闭区间上均有最大、最小值。最大、最小值。性质性质2 如果函数如果函数f（x）、）、g（x）在某一点）在某一点x=x0处连续，那么函数处连续
6、，那么函数),()(xgxf),()(xgxf)0)(,)()(xgxgxf在点在点x0处都连续。处都连续。若若 令令)()()(xgxfxh 因为函数因为函数f（x）、）、g（x）在）在x=x0处连续，所以处连续，所以函数函数h（x）在）在x=x0处有定义处有定义)()()()(lim)(lim)()(lim)(lim0000000 xhxgxfxgxfxgxfxhxxxxxxxx我们以前学习了许多函数，如幂函数我们以前学习了许多函数，如幂函数，xyxyxyxya等三角函数tan,cos,sin,)10(aaayx且指数函数)10(logaayxa且对数函数2xy 3xy xy),(xxys
7、in),(xxycos),(xxytanZkkx,2xyalog),0(x),()10(xaaayx且 由图象可以看出，这些函数在其定义域内每由图象可以看出，这些函数在其定义域内每一点处的极限值都等于函数值，它们在其定义一点处的极限值都等于函数值，它们在其定义域内都是连续的。同样由上面的域内都是连续的。同样由上面的性质性质2，我们，我们可知，这些函数和常数经过有限次四则运算而可知，这些函数和常数经过有限次四则运算而得到的函数在其定义域内仍是连续的。例如：得到的函数在其定义域内仍是连续的。例如：二次函数二次函数 可以看作是由可以看作是由常数常数a乘以幂函数乘以幂函数x2的积，加上常数的积，加上常
8、数b乘以幂函乘以幂函数数x的积，再加上常数的积，再加上常数c而得到的，它在其定义而得到的，它在其定义域内每一点都是连续的。域内每一点都是连续的。)0(2acbxaxy 由连续函数的定义，我们可以得到计算函数极由连续函数的定义，我们可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数限的一种方法：如果函数f（x）在其定义域内是连）在其定义域内是连续的，点续的，点x0是其定义域内的一点，那么求是其定义域内的一点，那么求 时时函数函数f（x）的极限，只要求出）的极限，只要求出f（x）在点）在点x0处的函数处的函数值值f（x0）就可以了，即）就可以了，即)()(lim00 xfxfxx五、利用连续性求函数的极限：
9、五、利用连续性求函数的极限：0 xx 例：例：xxsinlim000sin练习：练习：1 利用函数的连续性，求下列极限：利用函数的连续性，求下列极限：;11lim)1(0 xxxee).4lg3(lglim)2(2100 xxx.tanlim)4(0 xxxxxee11(由于在点x=0处连续，所以有)011111111lim000eeeexxx4lg3lg2xx由于在x=100处连续，因此144100lg3100lg)4lg3(lglim22100 xxx4cos14tancos1tanlim4xxx02211xxxcos1tanlim)3(400tan0思考题：思考题：指出下列函数在哪些点处
10、不连续，为什么？指出下列函数在哪些点处不连续，为什么？;36)()1(2xxxxf.47)()2(23xxxf小结小结：1、学习了连续函数的两条性质。、学习了连续函数的两条性质。2、掌握当函数在点、掌握当函数在点x0处连续时，处连续时，的极限公式：的极限公式：)()(lim00 xfxfxx3、会用数形结合解决有关函数、会用数形结合解决有关函数的连续性问题的连续性问题作业：P104习题2.6 5只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对
11、困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩
12、展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个
13、岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了
14、对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是
15、我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的
16、绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人
17、生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。
18、不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风
19、萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的童年，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动，日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，谁会和你牵手相伴一生，
