1、公众号码：王校长资源站6.4数学归纳法最新考纲考情考向分析1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式.偶尔在高考中以解答题形式出现，属高档题.数学归纳法一般地，证明一个与自然数相关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN)时命题成立的前提下，推出当nk1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的有正整数成立.概念方法微思考1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0
2、N)时命题成立.因为n0N，所以n01.这种说法对吗？提示不对，n0也可能是2,3,4，.如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n2)时，初始值n03.2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？提示不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可.3.有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？提示不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，
3、项数都增加了一项.()(4)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(5)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.()题组二教材改编2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.3.已知an满足an1anan1，nN，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n1题组三易错自纠4.用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN)，在验证n1时，等式左边的项是()A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a3答
4、案C解析当n1时，n12，左边1a1a21aa2.5.对于不等式n1(nN)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立.(2)假设当nk(k1，kN)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，0且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN)，证明：对任意的nN，不等式成立.(1)解由题意得，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1).由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列.又a1S1br，a2b(b1)，所以当b，即b，解得r1.(2)证明由(1)及b2知an2n1.因此bn
5、2n(nN)，所证不等式为.当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立.假设当nk(k1，kN)时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由均值不等式得成立，故成立，所以当nk1时，结论成立.由可知，当nN时，不等式成立.思维升华 用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.跟踪训练1数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立.证明当n2时，左边1，右边.左边右边，不等式成立.假设当nk(k2，且kN)时不等式成立，即.则当nk1时，.当nk1
6、时，不等式也成立.由知对一切大于1的自然数n，不等式都成立.题型三归纳猜想证明命题点1与函数有关的证明问题例2设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.解由题设得g(x)(x0).(1)由已知，得g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可猜想gn(x).下面用数学归纳法证明.当n1时，g1(x)，结论成立.假设当nk(k1，kN)时结论成立，即gk(x).则当nk1时，gk1(x)g(gk(x)，即结论成
7、立.由可知，结论对nN恒成立.(2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立.设(x)ln(1x)(x0)，则(x)，当a1时，(x)0(当且仅当x0，a1时等号成立)，(x)在0，)上单调递增.又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，当a1时，ln(1x)恒成立(当且仅当x0时等号成立).当a1时，对x(0，a1，有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)0，an10，ana0，0an1，故数列an中的任何一项都小于1.(2)由(1)知0a11，那么a2a1a2，由此猜想an.下面用数学归纳法证明：当n2，且nN时猜想正确.当n2时已证；假设当nk(k
8、2，且kN)时，有ak成立，那么，ak1aka22，当nk1时，猜想正确.综上所述，对于一切nN，都有an.1.若f(n)1(nN)，则f(1)的值为()A.1 B.C.1 D.非以上答案答案C解析等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n1，则当n1时，最大分母为5，故选C.2.已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是()A.f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2B.f(k1)f(k)(k1)2C.f(k1)f(k)(2k2)2D.f(k1)f(k)(2k1)2答案A解析f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(
9、2k2)2.3.利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN)的过程中，由nk到nk1时，左边增加了()A.1项 B.k项 C.2k1项 D.2k项答案D解析令不等式的左边为g(n)，则g(k1)g(k)1，其项数为2k112k12k12k2k.故左边增加了2k项.4.用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()A.k21B.(k1)2C.D.(k21)(k22)(k23)(k1)2答案D解析等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故nk1时，最后一项是(k1)2，而nk时，最后一项是k2，应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.5.设f(x)是定义在正
10、整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，那么下列命题总成立的是()A.若f(1)2成立，则f(10)11成立B.若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立C.若f(2)，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_.答案解析观察不等式中分母的变化便知.7.已知f(n)1(nN)，经计算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，则其一般结论为_.答案f(2n)(n2，nN)解析观察规律可知f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，故得一般结论为f(2n)(n2，nN).8.用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk推导nk
11、1时，不等式的左边增加的式子是_.答案解析不等式的左边增加的式子是.9.若数列an的通项公式an，记cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn_.答案解析c12(1a1)2，c22(1a1)(1a2)2，c32(1a1)(1a2)(1a3)2，故由归纳推理得cn.10.用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN)时，从nk到nk1时左边需增乘的代数式是_.答案4k2解析用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN)时，从nk到nk1时左边需增乘的代数式是2(2k1).11.求证：(n2，nN).证
12、明当n2时，左边，不等式成立.假设nk(k2，kN)时命题成立，即.当nk1时，.当nk1时不等式亦成立.原不等式对一切n2，nN均成立.12.已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN)，且点P1的坐标为(1，1).(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN，点Pn都在(1)中的直线l上.(1)解由点P1的坐标为(1，1)知，a11，b11.所以b2，a2a1b2.所以点P2的坐标为.所以直线l的方程为2xy10.(2)证明当n1时，2a1b121(1)1成立.假设nk(k1，kN)时，2akbk1成立，则2ak1bk12akbk1bk1(2ak
13、1)1，所以当nk1时，命题也成立.由知，对nN，都有2anbn1，即点Pn都在直线l上.13.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A.n1 B.2nC. D.n2n1答案C解析1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域.14.用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A.(k3)3 B.(k2)3C.(k1)3 D.(k1)3(k2)3答案A解析假设当nk时，原式能被
14、9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除.当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可.15.已知xi0(i1,2,3，n)，我们知道(x1x2)4成立.(1)求证：(x1x2x3)9.(2)同理我们也可以证明出(x1x2x3x4)16.由上述几个不等式，请你猜测一个与x1x2xn和(n2，nN)有关的不等式，并用数学归纳法证明.(1)证明方法一(x1x2x3)339(当且仅当x1x2x3时，等号成立).方法二(x1x2x3)332229(当且仅当x1x2x3时，等号成立).(2)解猜想：(x1x2xn)n2(n2，nN).证明如下：当n2时，由已知得猜想成立；假设当nk(k2，kN)时，猜想成立，即(x1x2xk)k2，则当nk1时，(x1x2xkxk1)(x1x2xk)(x1x2xk)xk11k2(x1x2xk)xk11k21k22221 k个k22k1(k1)2，所以当nk1时不等式成立.综合可知，猜想成立.公众号码：王校长资源站
