1、数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题11.1 三个典型方程的导出三个典型方程的导出1.2 定解问题及其适定性定解问题及其适定性1.3 通解法和行波法通解法和行波法1.4 二阶线性偏微分方程的分类和标准型二阶线性偏微分方程的分类和标准型第一章第一章 偏微分方程定解问题偏微分方程定解问题数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题2(1)偏微分方程偏微分方程 22222(,)0uuuuuF x yuxyxyx y (,)u x y 有一个未知多元函数有一个未知多元函数,x y 是未知变量；是未知变量；如果能够得到如下关系式：如果能
2、够得到如下关系式：,uuxy为为u的各阶偏导数。的各阶偏导数。上述关系式就称为上述关系式就称为偏微分方程。偏微分方程。为书写方便，通常记为书写方便，通常记22,xyxxuuuuuuxyx1.1 1.1 三个典型方程的导出三个典型方程的导出数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题3(2)方程的阶方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的程的阶阶。(3)线性方程线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的（组合）偏导数的幂次数幂次数都是一次的，就称
3、为都是一次的，就称为线性方程线性方程，高，高于一次以上的方程称为于一次以上的方程称为非线性方程非线性方程(4)自由项自由项 在在偏微分方程偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的中，不含有未知函数及其偏导数的项称为项称为自由项自由项60txxxxxuu uu22222,uuaf t xtx数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题4场位方程（拉普拉斯方程）：热传导方程：波动方程：02 uuatu22琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡 热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布),(2222xtf
4、uatu数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题5导出导出“翻译翻译”导出步骤导出步骤:i)确定物理量确定物理量u；ii)从所研究的系统中划出一个小部分，根据物理规律分从所研究的系统中划出一个小部分，根据物理规律分析邻近部分和这个小部分的相互作用；析邻近部分和这个小部分的相互作用；iii)这种相互作用在一个短时间段如何影响物理量这种相互作用在一个短时间段如何影响物理量u，把，把这种影响用算式表达出来。这种影响用算式表达出来。如何导出？如何导出？数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题6一、弦的横振动一、弦的横振动 一根弦在内部
5、张力作用之下处于平衡位置，某个微小扰动引起部分质点的位移，内部张力又使邻近的部分随之产生位移。著名二胡演奏家宋飞 演奏弦乐器(如提琴、二胡)的人用弓在弦上来回拉动。弓所接触的只是弦的很小一段，似乎应该只引起这个小段的振动。实际上，振动总是传播到整根弦，弦的各处都振动起来。人们力求用数学方法研究这种弦振动传播现象。一、波动方程的推导一、波动方程的推导数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题7理想化假设：(1)均匀常数；(2)柔软任意弯曲，没有抵抗弯曲的力，张力沿弦 的切线方向；(3)弹性抵抗拉伸的张力满足胡克定律；(4)细截面情况不考虑。可看作无粗细的线；(5)
6、微小横振动绝对位移和相对位移都很小。研究对象：，弦上某点在 t 时刻的横向位移。(,)u x t建立坐标系：确立未知函数数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题8uu 1M 2M,T t xdx ds x,T t x x dx x 牛顿运动定律：F=ma微元分析法：取微元x,x+dx，t时刻(1)(2)T1T22020,(,)d,;,t xu x txuT t xdxT t xG t x dxtTdxg t x dxuxu方向：x方向：10Tx222d,Tuxdxg t x dxtx);,(dxxtG数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微
7、分方程定解问题92211TuuTTTxx22212111uTTTTTx张力沿切线：张力沿切线：由由(1)(1)得得:11TT t（T 与与 x 无关）无关）胡克定律胡克定律每个时刻都有：每个时刻都有：ds dx，长度长度ds不随时间而变化：不随时间而变化：2221udsdxdudxdxxT=T1=常数常数代入代入(2)(2)2222,uuuTg t xTg t xtxxx22222,uuaf t xtx-理想弦的振动方程理想弦的振动方程（第一个（第一个偏微分方程偏微分方程）其中：其中：2Ta,g t xf t x数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题10一块
8、均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足其中：u(x,y,t)表示在 t 时刻、膜在(x,y)点处的位移f(x,y,t)表示单位质量所受的外力a2=T/：T表示张力、为面密度二维波动方程或二维波动方程或膜振动方程（鼓）膜振动方程（鼓）222222222(,)(,)uuuaf t x yauf t x ytxy222222222232222LaplaceLaplacexyxyzuu 称为二维算符，定义为三位算符是数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题11三维波动方程或三维波动方程或声波方程声波方程22222232222(,)
9、(,)uuuuaf t x yauf t x y ztxyz222,uauf tt 波动方程波动方程弹性介质的振动方程统称为波动方程。均匀弦的微小横振动和均匀杆的纵振动满足一维波动方程，均匀薄膜的微小振动方程是二维波动方程，弹性介质中声波的传播是三维波动方程。数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题123、考虑其他因素、考虑其他因素 T的近似问题：微小、横振动(绝对位移不远小于1)。T为常数的假设不成立。如：习题5 弦在粘稠的液体中振动，阻尼必须考虑，在建立方程时需加上阻尼项即 。tuvf阻4、任何数学模型都是相对的，超出理想化假设范围，、任何数学模型都是相对
10、的，超出理想化假设范围，则需建立新的模型。则需建立新的模型。数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题13P45 习题6 均匀杆的纵振动均匀杆的纵振动(1).纵振动与纵波的机理一张力和杆(介质)(2).均匀杆的纵振动同横向振动，除杆的振动位移在纵向外，仍然采用微元法.研究对象：t时刻杆上各质点离开平衡位置的纵位移。(,)u x t建立坐标系：以杆的中轴线为x轴。微元分析法：取微元x,x+dx，即杆上B段。xu(x,t)F2xx+dxF1ABC平衡位置平衡位置u(x+dx,t)CBAt时刻时刻牛顿运动定律：t时刻 F=ma均匀杆形变产生的应力与应变满足胡克定律。F
11、LESL数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题14相对伸长量：原长：dxt时刻长度(现长)：(,)(,)dxu xdx tu x t左端位移左端位移右端位移右端位移xu(x,t)F2xx+dxF1ABC平衡位置平衡位置u(x+dx,t)CBAt时刻时刻相对伸长量xudxdxtxutdxxudx),(),(原长原长现长222122,()u xdx tu x tuuFFFESESESdxSdxxxxt2222uuExt02xxttuauEa其中：其中：B小段分别受邻段A和C的拉力F1和 F2。数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解
12、问题15二、热传导方程的推导二、热传导方程的推导起源：起源：1919世纪，傅里叶研究工业中金属加热问题世纪，傅里叶研究工业中金属加热问题 时提出。时提出。物理模型物理模型：空间某个介质或静止流体内温度分布不均空间某个介质或静止流体内温度分布不均 匀，引起热量流动，考虑热运动如何进行。匀，引起热量流动，考虑热运动如何进行。数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题16理想化假设理想化假设：介质均匀介质均匀 常数常数各向同性各向同性c,kc,k均为常数均为常数未知函数：未知函数：温度温度取定坐标系取定坐标系),(zyxtu微元分析法微元分析法ozxy(x,y,z)(
13、x+dx,x+dy,z+dz)dxdydz微元微元 dv=dxdydzt,t+dt时间段时间段物理定律：物理定律：1、能量守恒、能量守恒放出流入QQQ2、傅里叶热传导定律傅里叶热传导定律nukQn热传导系数热传导系数热流密度矢量热流密度矢量n数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题17傅立叶热传导定律傅立叶热传导定律：在物体内部，在垂直于导热方向上，两个相距为在物体内部，在垂直于导热方向上，两个相距为h，面，面积为积为S，温度分别为，温度分别为T1、T2的平行平面，在的平行平面，在t秒内，从一个秒内，从一个平面传到另一个平面的热量平面传到另一个平面的热量Q，满
14、足下式：，满足下式：式中式中Q/t定义为传热速率，定义为传热速率，定义为该物质的导热系数，亦定义为该物质的导热系数，亦称热导率，称热导率，“-”号表示热量向低温的方向传递。号表示热量向低温的方向传递。hTTstQ12数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题18翻译翻译：对微元应用物理定律：对微元应用物理定律dttudxdydzcQdtdt时间内温度升高所需热量时间内温度升高所需热量放出流入QQQ前后上下左右流入QQQQ(,)(,)t x y zt x dx y zuuQkdtdydzkdtdydzxx 左右dtdxdydzxuk22dtdxdydzyukQ22
15、前后dtdxdydzukQ22z上下o(x,y,z)zxy(x+dx,x+dy,z+dz)dxdydzdtdxdydzuuxuk)zy222222（数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题19考虑内部有热源放出热量考虑内部有热源放出热量dtdxdydzzyxtQ),(g放出热源密度热源密度带入方程带入方程dtdxdydzzyxtdtdxdydzuuxukdxdydzdttuc),(g)zy(222222),(g)zy(222222zyxtuuxuktuc数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题20uatu2 23,uauf t
16、 x y ztfuuuauzzyyxx2t )(1)(zzyyxx2tuuuau (2)或写为：或写为：或写为：或写为：g,kafcc记：则得到热传导方程数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题21)(2yyxxtuuau xxtuau2 数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题22扩散方程扩散方程又称为又称为扩散方程扩散方程23,uauf t x y zt数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题23说明说明：1、推导过程回顾、推导过程回顾),(32zyxtfuatu2、考虑其他因素、考虑其他
17、因素c,k的近似问题：各向同性。一阶偏导数也可能存在，变系数),(222xtfuatu3、比较、比较考虑稳恒情况，考虑稳恒情况，0tu),(12zyxtfau泊松泊松(场位场位)方程方程若若f(x,y,z)=00uLaplace方程方程发展（演化）方程发展（演化）方程数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题24数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题25dttusdxcQ1dtdxxukSQ222数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题26luukxtxuksttxusc )(),(),(11
18、22)(),(),(12222uubxtxuattxu ldxdtuukQ)(113数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题27三、静电场的场位方程三、静电场的场位方程物理模型：物理模型：真空中的电荷分布真空中的电荷分布(x,y,z)(x,y,z)，求：电场求：电场E(x,y,z)整体考虑：整体考虑：ozxy取定坐标系取定坐标系任取区域任取区域v v物理定律：物理定律：1、高斯定律：、高斯定律：通过任意封闭曲面的电通量等于通过任意封闭曲面的电通量等于该曲面包围体积内的电荷总量除以介电常数。该曲面包围体积内的电荷总量除以介电常数。dvzyxsdEv,10高斯公式
19、高斯公式dvEv00dvEv0 EV任意任意(1)散度积分散度积分数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题282、法拉第定律：、法拉第定律：静电场绕任意闭路的电动势为静电场绕任意闭路的电动势为0无旋场一定有势函数无旋场一定有势函数,令：令：0l dEL斯托克斯公式斯托克斯公式0sE ds0EL任意任意(2)L0E把把(2)带入带入(1)(22222220uzuyuxugraduuu上式为泊松方程（场位方程）上式为泊松方程（场位方程）数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题29fuatu222fuatu20uumti2常系数的线
20、性偏微分方程KdV方程06xxxxtuuuuuuttsin变系数的线性偏微分方程非线性偏微分方程薛定谔波动方程上面三个方程是物理学中最常遇到的偏微分方程，每一个都描写了多种具体的物理过程，尽管过程的物理背景不同，但其数学表达式完全一致，这三个方程是历史上最早系统研究的方程，也是本课程的重点。数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题30一、通解和特解一、通解和特解1.2 定解问题及其适定性定解问题及其适定性0,212111nmnmmmnnxxxuxuxuuxxF古典解：如果能找到函数 u，使上面方程在区域V中成为恒(广义解)等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。
21、(其中 必须满足函数，在V内u 的各阶偏导数也连续。)例1：，求解，满足一阶偏微分方程设0,uuu fduu00解：整个实轴上的连续函数函数。为任意其中，RCRCf数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题31例2：，求解，满足二阶偏微分方程设0,2uuu GFgdfufuuu02解：偏导数函数整个实轴上的一阶连续。其中，RCRCGF11,数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题32通解：m阶偏微分方程含有m个任意函数的解。特解：不含任意函数或任意常数的解。通过定解条件确定了解中的任意函数后得到的解。两个个任意函数两阶偏微分方程
22、一个任意函数一阶偏微分方程任意函数偏微分方程任意常数常微分方程解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意函数的解。对于一般偏微分方程，找通解非常困难。根据方程的物理背景或数学特点，找出某些特定形式的特解常常有意义。数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题33同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。二、泛定方程和定解条件二、泛定方程和定解条件泛定方程：反映系统内部作用导出的偏微分方程。定解条件：确定运动的制约条件。泛定方程定解条件定解问题边界条件初始条件数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方
23、程定解问题章偏微分方程定解问题34初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件A、波动方程的初始条件00|()()ttuxuxt1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度zyxzyxtut,02ttuau2tuau0u 数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题35初始条件：给出未知函数u及其关于某个自变量t的若干阶偏导数在同一点t=t0的值。如：k阶的偏微分方程，初始条件即为：的值给出00011,ttkktttttutuu数学物理方程数学物理方程第第1
24、 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题36特别地特别地：端点固定在平衡位置。：端点固定在平衡位置。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、波动方程的边界条件波动方程的边界条件：两端运动已知两端运动已知 x1,x2：端点受力已知。端点受力已知。以左端为例以左端为例 tuutuuxxxx2121,021xxxxuu第第类齐次边界条件类齐次边界条件如果弦的左端如果弦的左端x=x1点受横向外力点受横向外力F1(t)。取微元取微元x1,x1+dx,分析分析u0方向受力。方向受力。0F1(t)x1x1+dxxuT(t,x1+dx)第第类边界条件类边界条件数学物理方程数学
25、物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题37u0方向方向0F1(t)x1x1+dxxuT(t,x1+dx)12121211121122,1xtTxtTdxxtTdxxtgtFdxxtTdxxtgtFtudxxxxuTT12忽略一阶无穷小量，令忽略一阶无穷小量，令dx趋于趋于0，得边界条件，得边界条件 111TtFxuxx dxxuTxuTdxxtgtFxxxx11221111,第第类边界条件类边界条件01xxxu第第类齐次边界条件类齐次边界条件数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题38：端点弹性支承：端点弹性支承如果弦的左端如果弦的左端x=
26、x1点弹性系数为点弹性系数为k 的弹簧的支承的弹簧的支承取微元取微元x1,x1+dx,分析分析u0方向受力。方向受力。u0方向方向0F1(t)x1x1+dxxuT(t,x1+dx)dxxuTxuTdxxtgxtkutFtudxxxxxxx111221111122,忽略一阶无穷小量，令忽略一阶无穷小量，令dx趋于趋于0，得边界条件，得边界条件 111,1TxtkutFxuxx第第类边界条件类边界条件11,1Txtkuxuxx第第类齐次边界条件类齐次边界条件数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题39综合：综合：12ix xx xix xuuF txuuF tn
27、tFxuTkuxx111左端点左端点 tFxuTkuxx221右端点右端点的线性组合和xuu记忆：记忆：法边界的外法向法边界的外法向数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题40特别地特别地：边界温度保持为零（放在冰里）。：边界温度保持为零（放在冰里）。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况B、热传导方程的边界条件热传导方程的边界条件：边界温度已知边界温度已知：边界热流密度已知边界热流密度已知,VVux y z0VuVVnnukQnVVnVzyxtfkzyxtQnu,数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定
28、解问题41特别地特别地：边界绝热。：边界绝热。：与外界自由热交换与外界自由热交换0Vnun微元分析法：微元分析法：在边界面上在边界面上(x,y,z)处取一小微元处取一小微元ds,厚厚度基本上没有，在度基本上没有，在t,t+dt内内外入内入QQQdsdtnukQzyxt,内入从物体内部流入面元从物体内部流入面元ds的热量的热量dsdtuhQzyxt,外入根据根据牛顿冷却定律牛顿冷却定律：单位时间从周围介质传到边界上单位面积的热：单位时间从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比量与表面和外界的温度差成正比,即即 热交换系数热交换系数外界的温度外界的温度从外部流入面元的热量从外部
29、流入面元的热量dQhu sdt数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题42考虑面元考虑面元ds的厚度趋于零，即的厚度趋于零，即：热量不能在面元上积累。热量不能在面元上积累。0VVukdsdthudsdtn0VVuhnukVVhnukhu统一式统一式VVzyxtfnuu,非齐次项非齐次项数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题432、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况C、场位方程的边界条件场位方程的边界条件：边界上电位已知边界上电位已知：边界上的电荷面密度已知边界上的电荷面密度已知0Vu*边界条件和初
30、始条件的比较边界条件和初始条件的比较例如：弦振动方程，例如：弦振动方程，x1 xx2x1x2x tuutuuxxxx2121,xuxuttttt00,给出了边界上的情况给出了边界上的情况给出同一时刻的情况给出同一时刻的情况常用的常用的：边界接地。：边界接地。zyxuV,数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题443、衔接条件、衔接条件有时在研究的物理系统中由于某种原因在某些部分发生了有时在研究的物理系统中由于某种原因在某些部分发生了突变，那么在突变点就要给出不同的条件。突变，那么在突变点就要给出不同的条件。例例1：一根杆由两段不同材料的杆连接而成，则连接点两边
31、的总振动：一根杆由两段不同材料的杆连接而成，则连接点两边的总振动 需满足不同方程需满足不同方程lxxxuatuxxxuatu0222222220212212120连接点条件：连接点条件：0lx0纵向应力连续位移连续0000221121xxxxxxxxxuExuEuu数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题45例例2：静电场中，在两种电介质的交界面：静电场中，在两种电介质的交界面S上，电位应连续：上，电位应连续：SSuu21交界面不带自由电荷时，电位移矢量交界面不带自由电荷时，电位移矢量D的法向分量也应连续：的法向分量也应连续：SSnunu2211数学物理方程数
32、学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题46例例3：一根长为：一根长为l的弦，两端固定于的弦，两端固定于x=0和和x=l,在距离坐标原点为在距离坐标原点为b的位的位置将弦沿着横向拉开距离置将弦沿着横向拉开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。始条件。0,0,0tttu t xux解：解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有意初始速度为零，即有 0,0hxxbbu xhlxbxllb x u o b l h 初始位移如图所示：初始位移如图所示：数学物理方程数学物理方程第第1 1
33、章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题47 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的适定性定解问题的适定性 如果一个定界问题的解是存在存在、唯一唯一和稳定稳定的，则称此定界问题是适定的适定的。三、定解问题及其适定性三、定解问题及其适定性边值问题稳定方程边界条件无界弦初值问题初始条件发展方程*混合问题(有界弦)数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题48解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数；
34、条件多了，将会破坏解的存在性；条件少了，将会破坏解的唯一性。不适定性不适定性为整数nnxnyuuuuyxyuxuyyxx,sin1,0,0,0,0000022221917年阿达玛曾给出著名例子。初始条件nxshnynyxusin1,2唯一解，但不稳定。数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题494 本节重点：利用特征线特征线求通解，然后用定解条件定特解。2 基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。3 关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。1.4 通解法通解法和行波法和行波法1
35、研究对象：一阶线性偏微分方程，一维波动方程。数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题50一、一阶一、一阶线性偏微分方程线性偏微分方程的通解的通解Cfxfutuxtuu),(,0),(.1解：求通解例,2.(,),p x y dxp x y dxuuu x yp x y uq x yxueq x y edxfy例求通解解：23.(,),0uuuu x yx yx 例，求通解思路：思路：把偏微分把偏微分 方程降阶方程降阶 yhxgeuyfuyuvvuyuxvuyuxxuyxuy002解：数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题51
36、1,1001,xtxtxataJtx t 解：令且4.0,uuaatx例为常数,求通解 0.uuuuuatttuuuuuxxxuff xatfC ，-右行波右行波通常通常，绝大多数的方程不能直接分解降阶，且降阶后也不能积分出通解，通常需要作变量代换，化简为可求解形式。数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题52一阶线性偏微分方程的一般形式：一阶线性偏微分方程的一般形式：nnjnjnjxxxfuxxxcxuxxxb,2121121n=2,1,0uua x yb x yc x y uf x yxya x yb x y其中，不同时为,x yx y设方程方程(1)变为
37、变为,2uuababC x y uFxyxy方程方程(4)的解的解任取的，须保证任取的，须保证0,yxJAB 03Aabxy令 数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题53,hx y那么沿着曲线，即两边微分得,3,zx yhx yhzx yxy若是的解，是高度为 的平面在曲面上所截得的平面曲线在平面的投影。0*xydxdyxzy法向量法向量切向量切向量,0(4),dxdya x y dyb x y dxa x yb x y,即：dx，dy与与a，b平行，成比例平行，成比例,4hx y即此曲线是常微分方程的一条积分曲线。整体反过来考虑同样成立。则得定理整体反过来
38、考虑同样成立。则得定理(1.4.1)数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题541.4.1,(3),(),0(),ux yx yha x y dyb x y dxdxdya x yb x y定理：是偏微分方程的解的充要条件是常数 为常微分方程，或的积分曲线 族。常微分方程常微分方程(4)称为一阶线性偏微分方程称为一阶线性偏微分方程(3)的的特征方程特征方程，其积分，其积分 曲线曲线 称为方程称为方程(1)的的特征曲线特征曲线。hyx,1uua x yb x yc x y uf x yxy,x yx y设 AB,2uuC x y uF 03Aabxy令 ,0,a
39、 x y dyb x y dxhx y即找特征曲线的积分曲线。数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题551、n=2，齐次，齐次0,)3.4.1(0,不同时为，其中，yxbyxayuyxbxuyxa讨论：讨论：1,00(),ua x yuf xfCy、如果，方程化为，通解为2,0,(1.4.3)0,()(,),a x yb x yx yux yuffx yfC、如果，都不为，则需寻找变量代换，令，使方程化为通解为数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题56讨论：讨论：,1,0,p x y dyp x y dyua x yb x
40、 yc x y uf x yyueq x y edyg x、如果，方程化为，通解为 gdeqeuFuCuByxbyxadpdp,)1(0,2通解为，化为使方程，则需寻找变量代换，都不为，、如果2、n=2，非齐次，非齐次0,)3.4.1(,不同时为，其中，yxbyxayxfuyxcyuyxbxuyxa数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题574.例求解右行单波方程的初值问题01101,atxJtatxtxtx且令01dtdxdxadtaxatc解：特征方程特征(积分)曲线为常数其中0sin,000axuxtxuatut 函数。是任意，其中积分得通解：则方程简化
41、为：10Cfatxffuu数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题58 atxuxxfutsinsin0得特解：代入初始条件：右行波解求解初值问题例.52011,00cosxuxtxutxtutcxecxecxttdtxdxtxdxdtttsinsin,lnsincos,cos1特征曲线：解：特征方程：010cossinsinsinsinttttetxeeJtxe且令数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题59 函数。是任意，其中积分得通解：则方程简化为：1sin0Cfxeffuut ttexuxxfusin22201111得
42、特解：代入初始条件：求解初值问题例.6 xuxtuxuttuxt00,0数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题60ctxxdxtdttdxxdt22,特征曲线：解：特征方程：02102222xtxJttx且令 222arcsin22arcsin120txtdetxcececuuuuuxxxbtaBA通解：即：化简后方程为：，则新方程中：数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题61 22arcsin2220txttetxuxxcu得特解：代入初始条件：cxx得令,23、推广，、推广，n2一阶线性偏微分方程的一般形式：一阶线性偏
43、微分方程的一般形式：)1.4.1(,2121121nnjnjnjxxxfuxxxcxuxxxb12,1,2,0jjnx xxjnJ作变量代换：FCuuBjnjj1得新方程：变量代换目的是：使得变量代换目的是：使得B中大中大部分为部分为0，可将方程化简为：，可将方程化简为：FCuun121,21,2121nndCndCgdeFeunnnn通解：1nkjjjjBbx=0数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题62考虑简单的情况考虑简单的情况(C=F=0C=F=0)，则一般方程，则一般方程)6.4.1(0,121jnjnjxuxxxb5.4.12211nnbdxbd
44、xbdx特征方程：n-1个一阶常微分方程组，则特征曲线也为个一阶常微分方程组，则特征曲线也为n-1个。个。作变量代换：作变量代换：0,1,2,1,212121Jxxxxxxnjxxxnnnnnnjj任取，满足其中011111 knknjjkjknkjknjjjnjjuxbuxbxub得：数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题63的一个首次积分。特征方程是常数的解得充要条件是方程是一阶线性齐次偏微分：定理nnnjnjnjnxdxxdxxdxhxxxxuxxxbxxxu22112112121)(,)1(0,1.4.1nnnnnxxxxxxxxxffu,21121
45、2211121通解：nnnnjnjxxxxxxxxxfunnjhxxx,)6.4.1(1)5.4.1(1,2,1,1.4.221121221121的通解为次线性方程个首次积分，则一阶齐的是特征方程：设定理0nu得新方程：数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题64求解初值问题例.2.4.1xyuzuzyuyxuxz 1,021ln2czycyxzdzydyxdx，首次积分解：特征方程：任取令zyyxln2zyyxffuln2,通解：221ln21ln21ln2,zyzxuxyzyyxfuz得特解：代入初始条件：数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解
46、问题章偏微分方程定解问题65求解初值问题例.3.4.1.,0yxuuyuyxuxtut121ttxecdtdxdyxyyec 解：特征方程：，首次积分tyexett令ttteyexefefu,通解：tttteyexeuyxyxfu,0得特解：代入初始条件：,uu得新方程：数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题661.3 二阶线性偏微分方程的分类和标准型二阶线性偏微分方程的分类和标准型一般形式：一般形式：2,121212,1112,(1.3.1)nni jnjnni jjijjnuuax xxbx xxc x xxux xxf x xx 1.3.1 1.3.1
47、 特征方程和特征线特征方程和特征线考虑两个自变量的情况：考虑两个自变量的情况：u=u(x,y)2221112221222,2,1.3.2uuuuuax yax yax yb x ybx yxx yyxyc x y uf x y 数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题67yxyx,令0 xyxyJ使得2221112221222,21.3.5uuuuuAAABBCuF 其中其中二阶导项系数二阶导项系数221111122212111222222211122221.3.62AaaaxxyyAaaaxxxyyxyyAaaaxxyy数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏
48、微分方程定解问题章偏微分方程定解问题68为了化简为了化简(1.3.5)中的二阶偏导数，若选取中的二阶偏导数，若选取(x,y)、(x,y)是一阶线性偏是一阶线性偏微分方程微分方程22111222201.3.8zzzzaaaxx yy 的解，则的解，则A11A22至少有一个为至少有一个为0。则上式的求解归结为下式求解。则上式的求解归结为下式求解式式(1.3.2)的特征方程的特征方程1.3.1,(1.3.8),()1.3.9zx yx yh定理：是偏微分方程的解的充要条件是常数 为常微分方程的隐式通解。22111222201.3.9adya dxdyadx数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方
49、程定解问题章偏微分方程定解问题6900,(1.3.8),(1.3.8),0,1.3.9,1.3.9,1.3.9xyzx yDx yDx yhdydxdyxydxx yhhx yh：设是方程在平面区域 上的解，即对于D内的任意一点，都成立。在 内曲线上，代入后得式成立。即是方程的一条积分曲线。当 取不同值时，为方程的隐式通解。，成立。证证反反之之其中，其中，(1.3.9)式为方程式为方程(1.3.2)的的特征方程，特征方程，其积分曲线为方程的其积分曲线为方程的特征曲线。特征曲线。1.3.2 1.3.2 方程的分类、化简和标准型方程的分类、化简和标准型特征方程特征方程(1.3.9)式的解取决于它的
50、判别式式的解取决于它的判别式21211221.3.11aa a 且方程经过变量代换后得到的新方程类型不变，即判别式符号不变。且方程经过变量代换后得到的新方程类型不变，即判别式符号不变。22121122AA AJ 数学物理方程数学物理方程第第1 1章偏微分方程定解问题章偏微分方程定解问题700 xy 若，则称二阶线性偏微分方程在平面为。双双曲曲型型方方程程此时，特征方程可分解为两个一阶常微分方程。设此时，特征方程可分解为两个一阶常微分方程。设a110.1211adydxa解得两族特征曲线解得两族特征曲线12,x yhx yh和作变量代换作变量代换,x yx y令则则J 0，A120，A11=A2
