1、1.11.1两个基本计数原理两个基本计数原理 问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有也可以乘汽车，一天中，火车有3 3班，汽车班，汽车有有2 2班那么一天中，乘坐这些交通工具从班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？甲地到乙地共有多少种不同的走法？解：因为一天中乘火车有解：因为一天中乘火车有3 3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2 2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有以共有 3 32 25 5 种不同的走法。种不同的走法。分类计数原理又称为加法原理。分类计数原理
2、又称为加法原理。分类计数原理分类计数原理 完成一件事，有完成一件事，有n n类方类方式，在第式，在第1 1类方式中有类方式中有m m1 1种不同的方法，在种不同的方法，在第第2 2类方式中有类方式中有m m2 2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n n类方式中有类方式中有m mn n种不同的方法，那么完成这种不同的方法，那么完成这件事共有：件事共有：种不同的方法。种不同的方法。nmmmN21 问题二：从甲地到乙地，要从甲地选乘火问题二：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有天中，火车有3 3班，汽车有班，汽车
3、有2 2班。那么两天中，班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题与前一个问题有什么区别？这个问题与前一个问题有什么区别？在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地步骤，才能从甲地到乙地 解：因为乘火车有解：因为乘火车有3 3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2 2种走法，种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，所以乘一次火车再
4、接乘一次汽车从甲地到乙地，共有共有 3 32 26 6 种不同的走法。种不同的走法。分步计数原理分步计数原理 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2 种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n n步时有步时有m mn n种种不同的方法。那么完成这件事共有不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。种不同的方法。nmmmN21 分步计数原理又称为乘法原理。分步计数原理又称为乘法原理。分类计数原理分类计数原理(加法原理加法原理)中，中，“完成一件完成一件事，有事，有n n类方式类
5、方式”，即每种方式都可以独立地，即每种方式都可以独立地完成这件事。进行分类时，要求各类方式彼此完成这件事。进行分类时，要求各类方式彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以。条件，才能直接用加法原理，否则不可以。分步计数原理分步计数原理(乘法原理乘法原理)中，中，“完成一件完成一件事，需要分成事，需要分成n n个步骤个步骤”，是说每个步骤都不足，是说每个步骤都不足以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个以完成这件事。如果完成一件事需要分成
6、几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步有即相对于前一步的每一种方法，下一步有m m种不种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。接用乘法原理。例例1 1、某班共有男生、某班共有男生2828名、女生名、女生2020名，名，从该班选出学生代表参加校学代会。从该班选出学生代表参加校学代会。（1)1)若学校分配给该班若学校分配给该班1 1名代表，有多少种名代表，有多少种不同的选法？不同的选
7、法？（2 2）若学校分配给该班若学校分配给该班2 2名代表，且男女生代表名代表，且男女生代表各各1 1名，有多少种不同的选法？名，有多少种不同的选法？应用这两个原理的关键是看完成这件应用这两个原理的关键是看完成这件事情是事情是“分类分类”还是还是“分步分步”。例例2 2、在下面两个图中，使电路接通的、在下面两个图中，使电路接通的不同方法各有多少种？不同方法各有多少种？（1 1）A AB B（2 2）B BA A 例例3 3、为了确保电子信箱的安全，在注册、为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设置的信箱中，置的信箱中，（1 1）
8、密码为密码为4 4位，每位均为位，每位均为0 0到到9 9这这1010个数字中的一个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（个数字，这样的密码共有多少个？（2 2）密码）密码为为4 4位，每位均为位，每位均为0 0到到9 9这这1010个数字中的一个，个数字中的一个，或是从或是从A A到到Z Z这这2626个英文字母中的个英文字母中的1 1个。这样的个。这样的密码共有多少个？密码共有多少个？（3 3）密码）密码为为4 4到到6 6位，每位均为位，每位均为0 0到到9 9这这1010个数字中的一个数字中的一个。这样的密码共有多少个？个。这样的密码共有多少个？例例4 4、（、（1 1）4 4名同
9、学选报跑步、跳高、跳名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？方法？（2 2）4 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军，共有多少种可能的结果？个项目的冠军，共有多少种可能的结果？例例5 5、某中学的一幢、某中学的一幢5 5层教学楼共有层教学楼共有3 3处楼处楼梯，问从梯，问从1 1楼到楼到5 5楼共有多少种不同的走法？楼共有多少种不同的走法？例例6 6、有、有n n个元素的集合的子集共有多少个元素的集合的子集共有多少个？个？1.1 1.1 两个基本计数原理（二）两个基本计数原理（二）什么是分类计数
10、原理？什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？什么是分步计数原理？应用这两个原理时应注意什么问题？应用这两个原理时应注意什么问题？例例1 1、要从甲、乙、丙三名工人中选出、要从甲、乙、丙三名工人中选出两名分别上日班和晚班，有多少种不同的两名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？选法？例例2 2、某艺术组有、某艺术组有9 9人，每人至少会钢人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中琴和小号中的一种乐器，其中7 7人会钢琴，人会钢琴，3 3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各一人，有多少种不同的选法？一人，有多少种不同的选法？例例3 3、用红、黄、蓝不同颜色的旗
11、各三、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？号？例例4 4、（、（1 1）8 8张卡片上写着张卡片上写着0,1,2,70,1,2,7共共8 8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？组成多少个不同的三位数？（2 2）4 4张卡片的正、反面分别写有张卡片的正、反面分别写有0 0与与1 1、2 2与与3 3、4 4与与5 5、6 6与与7 7，将其中的，将其中的3 3张卡片排放在张卡片排放在一起，共有多
12、少个不同的三位数？一起，共有多少个不同的三位数？例例5 5、自然数、自然数25202520有多少个正约数？有多少个正约数？例例6 6、书架上原来并排放着、书架上原来并排放着5 5本不同的书，本不同的书，现要插入三本不同的书，那么不同的插法有现要插入三本不同的书，那么不同的插法有多少种？多少种？85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，
13、我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科
14、斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。
15、JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的
16、速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：
17、自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类
18、做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过
19、程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。
20、约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
