1、第九章第九章 多元函数微分学法及其多元函数微分学法及其应用应用准备知识：空间解析几何简介准备知识：空间解析几何简介x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符三个坐标轴的正方向符合合右手系右手系.即即以以右右手手握握住住z轴轴，当当右右手手的的四四个个手手指指从从正正向向x轴轴以以2 角角度度转转向向正正向向y轴轴时时，大大拇拇指指的的指指向向就就是是z轴轴的的正正向向.一、空间直角坐标xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表
2、示:)0,0,0(O),(zyxM xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空间两点间的距离,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距
3、离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0,0,0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M曲面方程的定义：曲面方程的定义：如果曲面如果曲面S与三元方程与三元方程0),(zyxF有下述关系：有下述关系：(1)曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；那那么么，方方程程0),(zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形.三、空间曲面与曲线三、空间曲面与曲线(2)不在曲面不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；0)z,y,x(FS S方程特点方程特点:1czbyax0DC
4、zByAx 形式：形式：空间平面方程的截距式空间平面方程的截距式式：式：空间平面方程的一般形空间平面方程的一般形、平面方程：、平面方程：1（2）圆锥面）圆锥面222zyx （1）球面）球面1222 zyx、曲面方程为、曲面方程为2（3）椭球面）椭球面1222222 czbyax(3)抛物柱面抛物柱面)0(22 ppyx(4)椭圆柱面椭圆柱面 12222 byax(2)圆柱面圆柱面 222Ryx 3、柱面、柱面 第九章第九章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本
5、概念 )(0oPPU00 PP一、一、区域区域1.邻域邻域点集点集,),(0PPU称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上在平面上,),(),(0yxPU(圆邻域圆邻域)在空间中在空间中,),(),(0zyxPU(球邻域球邻域)点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx例如，在平面上例如，在平面上 0 yx)y,x(4122 yx)y,x(0 yx)y,x(4122 yx)y,x(开区域开区域闭区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想
6、气体的压强定量理想气体的压强,2hrV,(为常数）RVTRp 0,0),(hrhr0,0),(TTVTVhr定义定义1.设非空点集设非空点集,RnD DPPfu,)(或点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域;数集数集DP,Pfuu)(称为函数的称为函数的值域值域 .特别地特别地,当当 n=2 时时,有二元函数有二元函数2R D)y,x(),y,x(fz当当 n=3 时时,有三元函数有三元函数3R D)z,y,x(),z,y,x(fu映射映射R:Df称为定义称为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数,记作记作),(21nxxxfuxzy例如例如:(1)二元函数二元函数221yxz 定义
7、域为定义域为 122 yx)y,x(圆域圆域1(3)三元函数三元函数)zyxarcsin(u222 定义域为定义域为1),(222zyxzyx单位闭球单位闭球o无无界界的的开开区区域域的的定定义义域域为为函函数数)yxln(z (2)0 yx)y,x(xyoxzy0三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2.设设 n 元函数元函数,R),(nDPPf,-)(APf则称常数则称常数A 为函数为函数(也称为也称为 n 重极限重极限)当当 n=2 时时,记记20200)yy()xx(PP 二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0若存在常数若存在常数
8、 A,记作记作，时的极限当0)(PPPfA)y,x(flimyyxx 00即即都有都有对任意正数对任意正数 ,总存在正数总存在正数 ,例例1.设设0)y(xyx1sin)y(xy)f(x,222222 求：求：.y)f(x,lim0y0 x例例2.x)xysin(lim),()y,x(20求求 若当点若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解:设设 P(x,y)沿直线沿直线 y=k x 趋于点趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点在点(0,0)的极限的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则可以
9、断定函数极限则有则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同!在在(0,0)点极限不存在点极限不存在.以不同方式趋于以不同方式趋于,),(000时yxP不存在不存在.例例3.讨论函数讨论函数函数函数四四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3.设设 n 元函数元函数)(Pf定义在定义在 D 上上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续,则称此函数则称此函数在在 D 上上,DP0 点点如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,0P此时此时称为称为间断点间断点.则称则称 n 元函数元函数连续连续.连续连续,例如例如,函数0,0
10、0,),(222222yxyxyxyxyxf在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数11),(22yxyxf上间断上间断.122 yx 故故(0,0)为其间断点为其间断点.在圆周在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若定理：若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则,0)1(K)()2(Pf,Mm;,)(DPKPf使在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m;(3)对任意对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理有界性定理)(最值定理最值定理)(介值定理介值定理)闭域闭域上多元连续函数有与一元函数
11、类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:.yxyxlimyx1100 解解:原式原式)11(1)1(lim200yxxyyxyx21例例4.求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例5.求函数求函数的连续域的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2oyx2;exylim;xyxylim;yx)exln(lim;yxxylim:Pxy),()y,x(),()y,x(y),()y,x(),()y,x(12442321163000022012210 ）（）（）（）（求下列各极限：求下列各极限：.)yx(yxyxlim;y)xytan(lim),()y,x(),()y,x(22222000265 ）（）（
